基于信號(hào)分離技術(shù)的波束形成算法研究

陳士斌，王 諦，吳 健，于 洋，賀 義

（1.中車長(zhǎng)春軌道客車股份有限公司，長(zhǎng)春 130062；2.西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，成都 610031）

聲源識(shí)別技術(shù)能夠獲取聲源位置和聲源強(qiáng)度信息，具有廣泛的應(yīng)用前景。常見的聲源識(shí)別算法有波束形成、聲全息以及反卷積等算法[1-3]。波束形成算法通常采用陣列各麥克風(fēng)同步采集的信號(hào)進(jìn)行延時(shí)求和運(yùn)算，其結(jié)果在實(shí)際聲源位置產(chǎn)生極大值，從而識(shí)別真正的聲源位置[4]。波束形成算法由于定位精度高，計(jì)算速度快等優(yōu)點(diǎn)被廣泛用于汽車、軌道交通和航空等領(lǐng)域[5-7]，并且常作為其他優(yōu)化算法的初始結(jié)果。但是，傳統(tǒng)波束形成算法計(jì)算的聲源云圖結(jié)果很難與其激勵(lì)源相關(guān)聯(lián)，尤其是激勵(lì)源與陣列之間被其他結(jié)構(gòu)遮掩的情況[8]。

在過去的研究中，為了將響應(yīng)信號(hào)中的成分與各個(gè)激勵(lì)源進(jìn)行關(guān)聯(lián)，研究信號(hào)中不同成分產(chǎn)生的機(jī)理，多種信號(hào)分離技術(shù)被提出。將信號(hào)分離技術(shù)應(yīng)用于波束形成算法的前處理，可以衍生出多種高級(jí)的波束形成算法，其結(jié)果有助于將聲源云圖與其激勵(lì)源相關(guān)聯(lián)。以下分別對(duì)特征值分解和相干輸出譜分析兩種信號(hào)分離技術(shù)進(jìn)行介紹。

特征值分解可以將信號(hào)分離成多個(gè)相互正交的不相關(guān)分量。對(duì)信號(hào)的互譜矩陣采用特征值分解[9]，原始互譜矩陣可以表示為各個(gè)特征值對(duì)應(yīng)分量的疊加，各個(gè)特征值分量之間是相互正交的。相比于相干分析技術(shù)，特征值分解技術(shù)不需要任何額外的參考信號(hào)作為輸入條件。當(dāng)激勵(lì)源產(chǎn)生的信號(hào)互不相干時(shí)，采用特征值分解技術(shù)可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行有效、準(zhǔn)確的分離[10]。

Halvorsen 和Bendat[11]提出的相干輸出譜分析技術(shù)，通過同步測(cè)量的參考信號(hào)，計(jì)算參考信號(hào)與響應(yīng)信號(hào)的相干輸出譜，進(jìn)而對(duì)信號(hào)進(jìn)行分離。相干輸出譜分析已經(jīng)在各行業(yè)被廣泛應(yīng)用于信號(hào)分離，能夠有效地研究信號(hào)產(chǎn)生的機(jī)理[12-13]。相干輸出譜分析需要采用與被分析信號(hào)同步測(cè)量的參考傳感器信號(hào)，如激勵(lì)源的結(jié)構(gòu)振動(dòng)或近場(chǎng)聲壓信號(hào)。當(dāng)參考傳感器采集的信號(hào)與其他激勵(lì)源信號(hào)不相關(guān)時(shí)，相干輸出譜分析能夠準(zhǔn)確對(duì)信號(hào)進(jìn)行分離。相干輸出譜分析技術(shù)適用于單輸入-多輸出的系統(tǒng)。

為了研究各個(gè)激勵(lì)源對(duì)傳統(tǒng)波束形成結(jié)果的貢獻(xiàn)量，分析聲源云圖產(chǎn)生的機(jī)理，特征值分解和相干輸出譜分析可以用于波束形成算法的前處理。以下部分分別介紹傳統(tǒng)的互譜矩陣和去自譜的互譜矩陣波束形成算法。在此基礎(chǔ)上，提出基于特征值分解和相干輸出譜分析的互譜矩陣和去自譜的互譜矩陣波束形成算法，并且通過試驗(yàn)驗(yàn)證算法的有效性和準(zhǔn)確性。

1 傳統(tǒng)波束形成理論

波束形成算法被廣泛應(yīng)用于基于麥克風(fēng)陣列的聲源識(shí)別。根據(jù)各個(gè)陣列麥克風(fēng)和被識(shí)別網(wǎng)格點(diǎn)的位置坐標(biāo)，基于聲波傳播理論，可以計(jì)算聲波到達(dá)陣列各麥克風(fēng)的相對(duì)時(shí)間差，進(jìn)而通過延時(shí)求和算法對(duì)各個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)進(jìn)行聚焦，真正的聲源位置將出現(xiàn)極大值。頻域波束形成算法包括基于自譜、互譜矩陣和去對(duì)角線元素的互譜矩陣等計(jì)算方法。其中，基于互譜矩陣和去對(duì)角線元素的互譜矩陣波束形成算法由于結(jié)果穩(wěn)定，能夠有效消除各通道間和傳聲器的不相關(guān)本底噪聲進(jìn)而提高聲源識(shí)別的空間分辨率和動(dòng)態(tài)范圍而被廣泛采用[14-16]。以下為基于互譜矩陣的波束形成算法原理闡述。

基于互譜矩陣的傳統(tǒng)波束形成算法的輸出結(jié)果通常表示為如下形式：

其中：B(r,ω)為波束形成算法在r方向的聚焦網(wǎng)格點(diǎn)，圓頻率為ω的聲壓平方的頻譜輸出結(jié)果，e(r)=[e1(r),e2(r),…,em(r),…,eM(r)]T稱為轉(zhuǎn)向列向量，其中w向量各個(gè)元素分別等于對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)向列向量元素的模的平方，G為陣列麥克風(fēng)信號(hào)組成的M階互譜方陣，I為M階元素均為1 的方陣，M為陣列麥克風(fēng)的數(shù)量，上標(biāo)“T”和“*”分別代表轉(zhuǎn)置和共軛。

波束形成若按照公式(1)的表達(dá)形式，轉(zhuǎn)向列向量中的元素表達(dá)式如下：

其中：|r-rm|表示陣列上第m個(gè)麥克風(fēng)到聚焦網(wǎng)格點(diǎn)r的向量的模，k表示波數(shù)。

根據(jù)不同的應(yīng)用場(chǎng)景，轉(zhuǎn)向列向量元素可以有多種不同的表達(dá)形式[17]。公式（2）所示的表達(dá)式能夠表征無(wú)流動(dòng)媒質(zhì)，自由場(chǎng)中聲波傳播到陣列麥克風(fēng)的幅值變化，延時(shí)和相移特征。

為了進(jìn)一步消除信號(hào)間的不相關(guān)成分，如不相關(guān)的本底電噪聲，可以將互譜矩陣G的對(duì)角線自功率譜元素進(jìn)行剔除，將剔除對(duì)角線元素的互譜矩陣應(yīng)用于波束形成的計(jì)算能夠提高聲源識(shí)別的動(dòng)態(tài)范圍，去自譜的互譜矩陣波束形成算法公式如下：

其中：Gdiag=0為陣列麥克風(fēng)信號(hào)組成的M階互譜方陣，并將對(duì)角線元素置為0，Idiag=0為M階元素均為1的矩陣，并將對(duì)角線元素置為0。

當(dāng)激勵(lì)源與麥克風(fēng)陣列之間被其他結(jié)構(gòu)遮掩，或與麥克風(fēng)陣列垂直的測(cè)試方向存在多個(gè)激勵(lì)源時(shí)，傳統(tǒng)波束形成獲取的聲源云圖結(jié)果很難與其真正的激勵(lì)源相關(guān)聯(lián)。為了克服上述傳統(tǒng)波束形成的缺點(diǎn)，以下第2部分和第3部分分別提出基于特征分解和相干輸出譜的波束形成算法，兩種算法均可對(duì)聲源云圖結(jié)果進(jìn)行分離，提高聲源識(shí)別的總體動(dòng)態(tài)范圍。第4部分通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證這兩種算法的適用場(chǎng)景和算法的有效性。

2 基于特征值分解的波束形成

陣列麥克風(fēng)信號(hào)組成的互譜矩陣為Hermite 方陣，可以對(duì)其進(jìn)行特征值分解。對(duì)陣列麥克風(fēng)信號(hào)互譜矩陣進(jìn)行特征值分解，公式如下：

其中：G為M階陣列麥克風(fēng)信號(hào)的平均互譜矩陣，Q為M階方陣，每一列為矩陣G的特征向量，Λ為M階特征值對(duì)角矩陣，對(duì)角線元素為由大到小依次排列的特征值，上標(biāo)“-1”表示矩陣求逆運(yùn)算。

矩陣的特征向量之間是相互正交的，可以利用該特性對(duì)原始的陣列麥克風(fēng)信號(hào)的互譜矩陣進(jìn)行正交分解。如果各個(gè)聲源產(chǎn)生的信號(hào)互不相干，利用互譜矩陣對(duì)應(yīng)的每個(gè)正交分量進(jìn)行波束形成計(jì)算可以分別獲取各個(gè)聲源產(chǎn)生的云圖位置?；プV矩陣第i個(gè)分量的表達(dá)式如下所示：

其中：ui為Q的第i列組成的向量為Q的逆矩陣的第i列組成的向量的轉(zhuǎn)置，λi為矩陣G的第i個(gè)特征值。

另外，較小的特征值通常表示了系統(tǒng)的噪聲干擾，將前若干個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的互譜矩陣分量進(jìn)行疊加用于波束形成的計(jì)算，剔除較小的特征值分量，有利提高波束形成計(jì)算結(jié)果的動(dòng)態(tài)范圍。公式如下所示：

其中：N≤M，M為陣列麥克風(fēng)的數(shù)量。

分別采用公式(5)和公式(6)對(duì)應(yīng)的互譜矩陣分量Gi和Gsub進(jìn)行波束形成的計(jì)算，能夠?qū)Σ幌嚓P(guān)聲源產(chǎn)生的云圖進(jìn)行分離。由于較小的特征值通常表示外界噪聲干擾和信號(hào)中能量較小的成分，對(duì)其剔除后采用較大的特征值分量疊加后的互譜矩陣進(jìn)行波束形成的計(jì)算，能夠提高波束形成聲源云圖結(jié)果的動(dòng)態(tài)范圍。

基于原始互譜矩陣的某個(gè)特征值分量的波束形成公式如下所示：

對(duì)應(yīng)地剔除互譜矩陣Gi對(duì)角線自功率譜元素的波束形成公式如下所示：

基于原始互譜矩陣的前若干個(gè)特征值分量疊加的波束形成公式如下所示：

對(duì)應(yīng)地剔除互譜矩陣Gsub對(duì)角線自功率譜元素的波束形成公式如下所示：

基于特征值分解的波束形成算法，能夠?qū)Σ幌喔陕曉串a(chǎn)生的云圖結(jié)果進(jìn)行分離，有助于將聲源云圖結(jié)果與其激勵(lì)源相關(guān)聯(lián)。第4部分通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了基于特征值分解的波束形成算法的有效性。

3 基于相干輸出譜的波束形成

相干輸出譜常用于分析信號(hào)中與某一參考信號(hào)相干的成分，其表達(dá)式如下所示：

其中：Sv表示信號(hào)y中相對(duì)于參考信號(hào)x的相干輸出譜，G表示信號(hào)間的平均互譜。

與相干輸出譜對(duì)應(yīng)的噪聲輸出譜或非相干輸出譜表達(dá)式如下所示：

其中：Sn表示信號(hào)y中相對(duì)于參考信號(hào)x的非相干輸出譜。

進(jìn)行聲源定位測(cè)試的同時(shí)，可以同步測(cè)量激勵(lì)源的參考信號(hào)，如激勵(lì)源的振動(dòng)或近場(chǎng)聲壓信號(hào)，計(jì)算陣列麥克風(fēng)信號(hào)相對(duì)于激勵(lì)源參考信號(hào)的相干輸出譜或非相干輸出譜。分別采用相干輸出譜或非相干輸出譜代替原始的麥克風(fēng)頻譜進(jìn)行基于（非）相干輸出譜的波束形成的計(jì)算，公式如下所示：

其中：Gcoherence表示采用陣列麥克風(fēng)信號(hào)的相干輸出譜計(jì)算的平均互譜矩陣，Ganti-coherence表示采用陣列麥克風(fēng)信號(hào)的非相干輸出譜計(jì)算的平均互譜矩陣，其余符號(hào)與公式(1)代表相同的物理意義。

對(duì)應(yīng)地剔除互譜矩陣Gcoherence和Ganti-coherence對(duì)角線自功率譜元素的形式如下：

采用（非）相干輸出譜分析對(duì)噪聲源進(jìn)行定位，能夠通過參考信號(hào)對(duì)聲源云圖結(jié)果進(jìn)行分離，有助于將聲源云圖結(jié)果與激勵(lì)源相關(guān)聯(lián)，進(jìn)而研究聲源云圖產(chǎn)生的原因。文章的第4 部分，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證基于相干輸出譜的波束形成算法的有效性。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證基于特征值分解和（非）相干輸出譜的波束形成算法的有效性和適用場(chǎng)景，實(shí)驗(yàn)設(shè)置如下：

如圖1 所示，采用36 通道的圓形二維平面麥克風(fēng)陣列對(duì)3個(gè)人工聲源進(jìn)行定位。由于基于（非）相干輸出譜的波束形成算法需要同步測(cè)量聲源的參考信號(hào)，分別在3個(gè)聲源背面粘貼了3個(gè)振動(dòng)加速度傳感器Acc1，Acc2和Acc3采集3個(gè)聲源對(duì)應(yīng)的振動(dòng)參考信號(hào)。聲源1 與聲源2 的驅(qū)動(dòng)電信號(hào)為部分相干的信號(hào)，聲源3的驅(qū)動(dòng)電信號(hào)與聲源1和聲源2的驅(qū)動(dòng)電信號(hào)不相干，驅(qū)動(dòng)電信號(hào)均為寬頻白噪聲信號(hào)。

圖1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

各個(gè)聲源的振動(dòng)參考信號(hào)相互之間的相干函數(shù)如圖2 所示。由圖2(a)所示，由于聲源1 與聲源2 的驅(qū)動(dòng)電信號(hào)為部分相干的信號(hào)，因此Acc1 與Acc2的相干系數(shù)較大；由圖2(b)和圖2(c)所示，聲源3 的驅(qū)動(dòng)電信號(hào)與聲源1和聲源2的驅(qū)動(dòng)電信號(hào)不相干，因此Acc3與Acc1和Acc2的相干系數(shù)較小。由于聲源3與聲源2在安裝結(jié)構(gòu)上距離較近，兩者由于安裝結(jié)構(gòu)較近發(fā)生部分耦合，因此Acc3 與Acc2 的相干系數(shù)在某些頻率處高于Acc3與Acc1的相干系數(shù)。

圖2 相干函數(shù)

首先，采用基于互譜矩陣的波束形成算法對(duì)上述3 個(gè)聲源進(jìn)行定位，分析頻率范圍為2 500 Hz～4 500 Hz，顯示動(dòng)態(tài)范圍為6 dB，聲壓云圖幅值歸一化到距離識(shí)別表面1 m遠(yuǎn)處。由圖3所示，采用基于互譜矩陣波束形成算法能夠?qū)?個(gè)聲源進(jìn)行準(zhǔn)確定位。以基于互譜矩陣波束形成算法結(jié)果作為基準(zhǔn)，分別與基于特征值分解和（非）相干輸出譜的波束形成算法進(jìn)行對(duì)比分析。

圖3 互譜矩陣波束形成結(jié)果

為了驗(yàn)證基于特征值分解的波束形成算法的有效性與適用性，對(duì)相同的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用基于特征值分解的波束形成算法進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如圖4 至圖6所示。

由圖4至圖6結(jié)果可知，基于特征值分解的波束形成算法，采用各個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的相互正交的互譜矩陣分量進(jìn)行波束形成計(jì)算能夠?qū)β曉丛茍D進(jìn)行有效的分離，有助于將聲源云圖與其激勵(lì)源相關(guān)聯(lián)。由圖2(b)和圖2(c)中參考信號(hào)的相干函數(shù)可知，聲源3的參考信號(hào)與聲源1和聲源2的參考信號(hào)不相干，圖5結(jié)果表明采用第二大特征值對(duì)應(yīng)的互譜矩陣分量進(jìn)行波束形成計(jì)算能夠?qū)⒙曉?產(chǎn)生的云圖進(jìn)行準(zhǔn)確地分離，說明聲源3 對(duì)互譜矩陣的貢獻(xiàn)量可以獨(dú)立地用第二大特征值對(duì)應(yīng)的互譜矩陣分量表示；由圖2(a)中參考信號(hào)的相干函數(shù)可知，聲源1和聲源2的參考信號(hào)部分相干，圖4和6中最大的特征值和第三大的特征值對(duì)應(yīng)的互譜矩陣分量并不能獨(dú)立表示聲源1 和聲源2 的貢獻(xiàn)，因此，并沒有將聲源1 和聲源2產(chǎn)生的聲源云圖進(jìn)行準(zhǔn)確有效的分離。

圖4 基于特征值分解的波束形成：最大特征值分量

圖5 基于特征值分解的波束形成：第二大特征值分量

圖6 基于特征值分解的波束形成：第三大特征值分量

為了驗(yàn)證基于（非）相干輸出譜的波束形成算法的有效性與適用性，對(duì)相同的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，進(jìn)一步采用基于非相干輸出譜波束形成算法進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如圖7和8所示。

圖7 基于非相干輸出譜的波束形成：Acc1作為參考信號(hào)

圖8 基于非相干輸出譜的波束形成：Acc2作為參考信號(hào)

由圖7和8可知，基于非相干輸出譜的波束形成算法，能夠剔除與參考信號(hào)線性相關(guān)的聲源云圖，對(duì)聲源云圖進(jìn)行有效分離，有助于將聲源云圖與其激勵(lì)源相關(guān)聯(lián)。聲源3與聲源1和聲源2不相關(guān)，基于非相干輸出譜的波束形成算法分別對(duì)聲源1和聲源2產(chǎn)生的聲源云圖進(jìn)行剔除后，聲源3產(chǎn)生的聲源云圖的聲壓幅值幾乎沒有衰減。結(jié)果說明基于非相干輸出譜的波束形成算法能夠?qū)Σ幌嚓P(guān)聲源產(chǎn)生的云圖進(jìn)行準(zhǔn)確有效的分離。聲源1 與聲源2 產(chǎn)生的參考信號(hào)部分相干，采用基于非相干輸出譜的波束形成算法分別對(duì)聲源1或聲源2產(chǎn)生的云圖剔除時(shí)，聲源2 或聲源1 對(duì)應(yīng)的云圖的幅值也相應(yīng)地衰減了。結(jié)果說明基于非相干輸出譜的波束形成算法對(duì)某個(gè)聲源產(chǎn)生的云圖進(jìn)行剔除時(shí)，與之部分相關(guān)的聲源產(chǎn)生的云圖幅值也會(huì)隨之衰減。

5 結(jié)語(yǔ)

提出了基于特征值分解和（非）相干輸出譜的波束形成算法，分別與傳統(tǒng)的互譜矩陣波束形成算法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)對(duì)比，主要結(jié)論如下：

(1)本文研究了基于特征值分解的波束形成技術(shù)及其應(yīng)用。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于特征值分解的波束形成算法可以對(duì)不相關(guān)聲源產(chǎn)生的云圖進(jìn)行有效分離，有助于將聲源云圖與其激勵(lì)源相關(guān)聯(lián)。對(duì)于部分相關(guān)的聲源，不能用某個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的分量獨(dú)立表示，因此對(duì)部分相關(guān)的聲源云圖分離效果不佳。

(2)本文研究了基于（非）相干輸出譜的波束形成技術(shù)及其應(yīng)用。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，采用同步測(cè)量的激勵(lì)源參考信號(hào)，基于非相干輸出譜的波束形成算法可以剔除與參考信號(hào)相關(guān)的聲源云圖，能夠?qū)⒙曉丛茍D與其激勵(lì)源相對(duì)應(yīng)。

(3)基于（非）相干輸出譜的波束形成技術(shù)，能夠有效、準(zhǔn)確地分離不相關(guān)聲源產(chǎn)生的云圖；對(duì)于部分相關(guān)的聲源，基于非相干輸出譜的波束形成技術(shù)對(duì)聲源云圖進(jìn)行分離時(shí)，與之部分相關(guān)的聲源所產(chǎn)生的云圖聲壓幅值也會(huì)衰減。