傾斜角影響下磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)分析

萬(wàn)雨初，朱由鋒，韓 隆，靳贊成

（1.山東科技大學(xué) 交通學(xué)院，山東 青島 266590；2.山東科技大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院，山東 青島 266590）

雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于燃?xì)廨啓C(jī)和航空發(fā)動(dòng)機(jī)等動(dòng)力設(shè)備[1-2]，而使用磁懸浮軸承[3]取代傳統(tǒng)的滾動(dòng)軸承作為系統(tǒng)的支撐，可以進(jìn)一步提高其性能，這也成為近年來(lái)該領(lǐng)域一個(gè)重要的發(fā)展方向。

對(duì)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)行為進(jìn)行分析是當(dāng)下的研究熱點(diǎn)。Ebrahimi 等[4]根據(jù)拉格朗日方程推導(dǎo)出磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，研究了轉(zhuǎn)速、軸速比和重力參數(shù)對(duì)其動(dòng)力學(xué)行為的影響。Chen等[5]分析了不同基座運(yùn)動(dòng)參數(shù)對(duì)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)瞬態(tài)不平衡響應(yīng)的影響。陳毅等[6]建立了雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在復(fù)雜機(jī)動(dòng)飛行環(huán)境下的動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)該模型的正確性和適應(yīng)性進(jìn)行了驗(yàn)證。此外，部分學(xué)者圍繞特殊工況下轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的行為展開了研究。劉占生等[7]對(duì)臥式布置的轉(zhuǎn)子進(jìn)行有限元建模，對(duì)不同傾斜狀態(tài)下滑動(dòng)軸承徑向載荷引起的動(dòng)力學(xué)行為變化進(jìn)行了仿真分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。李默等[8]研究了橫傾角對(duì)非對(duì)稱支撐的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的影響，發(fā)現(xiàn)徑向力因重力的重新分配而變化，繼而對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生了影響。

上述研究并未對(duì)立式布置的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的傾斜工況展開研究，而當(dāng)磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)受到外部激勵(lì)時(shí)，傾斜角的存在使得轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)變得更為復(fù)雜。為表征在以上特殊情況下轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)特性，本文建立傾斜角影響下的磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)仿真分析轉(zhuǎn)速比和傾斜角等因素對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響。

1 系統(tǒng)模型的搭建

1.1 磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

航天器和車輛等安裝平臺(tái)在運(yùn)行過(guò)程中因受到隨機(jī)激勵(lì)都會(huì)做出一定的響應(yīng)，其響應(yīng)會(huì)影響定子的運(yùn)動(dòng)。磁懸浮軸承固定連接在定子上，與轉(zhuǎn)子之間會(huì)產(chǎn)生相對(duì)位移。而轉(zhuǎn)子在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中由于受到不平衡力[9]等各種因素影響，其自身的運(yùn)動(dòng)也會(huì)導(dǎo)致與磁軸承之間的相對(duì)位移。根據(jù)電磁力公式，電磁力作用到轉(zhuǎn)子上，重新調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)子的位置，直至轉(zhuǎn)子達(dá)到穩(wěn)定懸浮狀態(tài)。

本文建立存在外部激勵(lì)的系統(tǒng)10 自由度力學(xué)模型，即定子的1個(gè)垂直自由度，低壓和高壓轉(zhuǎn)子質(zhì)心分別沿X、Y方向的運(yùn)動(dòng)以及俯仰、側(cè)傾運(yùn)動(dòng)共8個(gè)自由度，以及將雙轉(zhuǎn)子視為一個(gè)整體的沿軸向運(yùn)動(dòng)的1個(gè)自由度。

磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型

圖1 中ms為定子質(zhì)量，ks、cs分別為懸置定子的彈簧剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)，q為定子所受到的激勵(lì)，θ為轉(zhuǎn)子Z軸與鉛垂線的夾角，β為鉛垂線在XY平面的分量與X軸的夾角，ω1和ω2為低壓和高壓轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速，kt、ct分別為中介軸承的剛度和阻尼系數(shù)。低壓轉(zhuǎn)子質(zhì)心的五個(gè)自由度分別為沿X軸的位移x1，沿Y軸的位移y1，繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ x，繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度θy，沿Z軸的位移z。高壓轉(zhuǎn)子質(zhì)心的五個(gè)自由度分別為沿X軸的位移x2，沿Y軸的位移y2，繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度φx，繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度φy，沿Z軸的位移z。A、B、C、D 分別代表四個(gè)磁軸承，磁軸承A、B 到低壓轉(zhuǎn)子質(zhì)心的距離分別為l1、l2，磁軸承C到高壓轉(zhuǎn)子質(zhì)心的距離為l3，中介軸承到高壓轉(zhuǎn)子質(zhì)心的距離為l4，磁軸承B到中介軸承的距離為l5。

則低壓轉(zhuǎn)子在磁軸承A、B 上沿X、Y方向的位移，高壓轉(zhuǎn)子在磁軸承C 上沿X、Y方向的位移以及兩個(gè)轉(zhuǎn)子在磁軸承D 上沿Z軸的共同位移可表示為：

1.2 電磁支承力

一般采用對(duì)稱布置磁軸承的形式使得磁懸浮轉(zhuǎn)子實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)，這就形成一種差動(dòng)的形式。磁軸承的差動(dòng)電磁力公式[10]如下：

其中：u為空氣導(dǎo)磁率，S為有效磁面積，N為線圈匝數(shù)，I為偏置電流，δ為空氣間隙，i0為轉(zhuǎn)子處于非平衡位置時(shí)恢復(fù)到穩(wěn)定位置時(shí)的控制電流，Δδ為定子相對(duì)于磁懸浮轉(zhuǎn)子位移改變值。

對(duì)差動(dòng)電磁力公式進(jìn)行泰勒展開即可得電磁力與勵(lì)磁電流及磁懸浮轉(zhuǎn)子位移的關(guān)系：

位移剛度和電流剛度分別為：

i0是關(guān)于Δδ的函數(shù)，采用的控制方式不同則函數(shù)的形式不同，在這里采用的是工業(yè)上較為成熟的PD 控制策略，kp和kd分別為比例和微分增益。其函數(shù)形式為：

綜上可得磁軸承在PD 控制策略下所提供的電磁力如下：

即：

1.3 激擾力

將安裝平臺(tái)和定子簡(jiǎn)化為一個(gè)直接受到外部激勵(lì)的定子，該定子受到激勵(lì)q后會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)位移zs，其受到的外部激勵(lì)q為：

定子受到外部激勵(lì)后會(huì)產(chǎn)生微小運(yùn)動(dòng)，繼而改變與磁懸浮轉(zhuǎn)子之間的間隙，此過(guò)程可看作是激擾力f的作用，因定子和轉(zhuǎn)子的相對(duì)位移以定子位移改變?yōu)橹鳎士烧J(rèn)為激擾力是由定子位移的改變而引起的，定子在各方向的位移改變值是根據(jù)定子的鉛垂線方向位移zs沿各個(gè)方向分解而來(lái)：

激擾力可被視為外部激勵(lì)，且為本文重點(diǎn)研究對(duì)象，故不作線性化處理，激擾力如下：

1.4 中介軸承力

本文以線性彈簧和阻尼器的并聯(lián)為連接低壓和高壓轉(zhuǎn)子的中介軸承[11]，其內(nèi)外轉(zhuǎn)子間在X軸和Y軸的作用力分別為Fx和Fy。

1.5 磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

根據(jù)以上力學(xué)模型，得系統(tǒng)微分方程：

式中：下標(biāo)1 和下標(biāo)2 分別表示低壓轉(zhuǎn)子和高壓轉(zhuǎn)子，m1和m2為其質(zhì)量，e1和2為其偏心距，φ1和φ2分別為其偏心距與自轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的夾角，Jd1和Jd2為其直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Jp1和Jp2為其極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，m為低壓和高壓轉(zhuǎn)子的質(zhì)量之和：m=m1+m2。

2 振動(dòng)響應(yīng)分析

磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的各參數(shù)取值如表1 所示。綜合考慮剛性轉(zhuǎn)子平衡精度標(biāo)準(zhǔn)IS0 1940劃分的不平衡精度等級(jí)和本文的研究情況，設(shè)定e1=4 μm，e2=3 μm，φ1=φ2=π/2。

表1 系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)

通過(guò)MATLAB仿真軟件中4階龍格庫(kù)塔法對(duì)建立的系統(tǒng)10自由度微分方程進(jìn)行數(shù)值分析，設(shè)定低壓和高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速ω1=ω2=20 rad/s，傾斜角θ=0°，得到低壓轉(zhuǎn)子的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖2所示。

根據(jù)圖2可以看出，轉(zhuǎn)子質(zhì)心沿Z軸呈現(xiàn)螺旋下降的趨勢(shì)，并最終在-6×105μm位置處保持穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)子之所以做圓周運(yùn)動(dòng)是因?yàn)樵赬-Y平面始終存在由于不平衡力激勵(lì)而產(chǎn)生的振動(dòng)；而轉(zhuǎn)子在Z方向受重力和激擾力二者共同作用，在磁軸承的電磁力的不斷調(diào)整下，最終處于平衡狀態(tài)。

圖2 低壓轉(zhuǎn)子質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡圖

由于轉(zhuǎn)子在Z方向主要受重力和激擾力影響，而決定其大小的傾斜角在改變不大的情況下，Z軸的振動(dòng)響應(yīng)基本不變，故接下來(lái)將分析低壓轉(zhuǎn)子在X-Y平面的動(dòng)力學(xué)行為。

根據(jù)圖3（a）可以看出，轉(zhuǎn)子在X方向的最大振動(dòng)幅值約為1.5 μm，呈現(xiàn)出周期運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)。從圖3（b）可以看出，轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)軌跡呈現(xiàn)為一偏移的橢圓形，且最終實(shí)現(xiàn)較為穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖3 低壓轉(zhuǎn)子質(zhì)心的時(shí)間歷程圖和X-Y平面運(yùn)動(dòng)軌跡圖

基于系統(tǒng)的特點(diǎn)，接下來(lái)將分析轉(zhuǎn)速比與傾斜角對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響。

2.1 轉(zhuǎn)速比變化對(duì)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響

低壓與高壓轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速比不同會(huì)引起低壓轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)行為的變化。選取θ=0°，取低壓轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速為20 rad/s，改變高壓轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速并觀察轉(zhuǎn)速比變化所產(chǎn)生的影響。

通過(guò)圖4可以看出，隨著轉(zhuǎn)速比的增大，轉(zhuǎn)子在X-Y平面的運(yùn)動(dòng)軌跡形狀從橢圓形趨向復(fù)雜化，逐漸呈現(xiàn)“花瓣?duì)睢薄?/p>

圖4 不同轉(zhuǎn)速比下低壓轉(zhuǎn)子質(zhì)心在X-Y平面運(yùn)動(dòng)軌跡圖

2.2 傾斜角變化對(duì)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響

當(dāng)轉(zhuǎn)子軸線與鉛垂線存在一定的夾角，即θ≠0°時(shí)，由定子位移所產(chǎn)生的激擾力和重力都會(huì)對(duì)轉(zhuǎn)子在X、Y方向的位移產(chǎn)生影響，從而導(dǎo)致轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)行為發(fā)生變化。取低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速ω1=20 rad/s，轉(zhuǎn)速比為1:1，取β=45°，即把激擾力和重力的影響在X軸和Y軸進(jìn)行平分。研究θ的變化對(duì)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)行為的影響。

通過(guò)圖5 可以看出，隨著θ的不斷增大，轉(zhuǎn)子在X-Y平面的圓周運(yùn)動(dòng)的半徑逐漸增大，沿軸線的偏移距離也增大，并最終在平衡位置處做圓周運(yùn)動(dòng)，且軸線不斷向45°靠近。

圖5 不同傾斜角下低壓轉(zhuǎn)子質(zhì)心X-Y平面運(yùn)動(dòng)軌跡圖

這是因?yàn)殡S著傾斜角的不斷增大，重力和激擾力對(duì)X-Y平面的影響越來(lái)越大，越發(fā)起到主導(dǎo)作用。重力導(dǎo)致沿軸線的偏移距離增大，隨著磁軸承的不斷調(diào)整，最終使得轉(zhuǎn)子在重力于X-Y平面的分配值處做穩(wěn)定的圓周運(yùn)動(dòng)。而來(lái)自激擾力的激勵(lì)增大了轉(zhuǎn)子的最大振動(dòng)幅值，即增大了圓周運(yùn)動(dòng)的半徑。且由于設(shè)定β=45°，軸線不斷向45°靠近。

3 非線性分析

磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中存在的不平衡力和激擾力等非線性因素可能會(huì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)子產(chǎn)生一定的非線性振動(dòng)，非線性振動(dòng)會(huì)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和安全性產(chǎn)生較大的威脅，所以在研究轉(zhuǎn)子響應(yīng)時(shí)是不可忽略的方面。

3.1 轉(zhuǎn)速比對(duì)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

轉(zhuǎn)速會(huì)導(dǎo)致不平衡力增大，為研究轉(zhuǎn)速與系統(tǒng)穩(wěn)定性的具體關(guān)系，現(xiàn)以低壓轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速ω1作為分岔參數(shù)研究轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)的分岔過(guò)程。

由圖6（a）可以看出，隨著轉(zhuǎn)速的增加，系統(tǒng)依次經(jīng)歷了不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。在轉(zhuǎn)速區(qū)間（0～400）rad/s 內(nèi)系統(tǒng)為概周期運(yùn)動(dòng)，在轉(zhuǎn)速達(dá)到500 rad/s 時(shí)系統(tǒng)演變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)，隨后振動(dòng)位移逐漸收斂，進(jìn)入擬周期狀態(tài)。

圖6 不同轉(zhuǎn)速比下的轉(zhuǎn)速分岔圖

由圖7 可以看出，低壓轉(zhuǎn)子的龐加萊截面圖呈現(xiàn)發(fā)散的趨勢(shì)，故可判斷該轉(zhuǎn)速下，低壓轉(zhuǎn)子處于不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖7 低壓轉(zhuǎn)子龐加萊截面圖（轉(zhuǎn)速600 rad/s）

通過(guò)圖6（b）和圖6（c）可以看出，轉(zhuǎn)速比的增大降低了轉(zhuǎn)子進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)速，當(dāng)轉(zhuǎn)速比由1:1增大到1:1.5 和1:2 時(shí)，轉(zhuǎn)子進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)速?gòu)?00 rad/s分別降低到400 rad/s和300 rad/s，即轉(zhuǎn)速比的增大會(huì)使得轉(zhuǎn)子的不穩(wěn)定性增大。

3.2 傾斜角變化對(duì)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

激勵(lì)q的頻率ω會(huì)使得非線性激擾力發(fā)生變化，故以激勵(lì)頻率ω作為分岔參數(shù)研究轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)的分岔過(guò)程。

當(dāng)θ=0°時(shí)，非線性激擾力不對(duì)X-Y平面產(chǎn)生作用，故不受激勵(lì)頻率變化影響的低壓轉(zhuǎn)子將一直處于穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。通過(guò)圖8（a）可以看出，傾斜角的存在使得轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變。系統(tǒng)在激勵(lì)頻率區(qū)間（34～45 和50～84）rad/s 內(nèi)兩次進(jìn)入失穩(wěn)的混沌狀態(tài)，在其他區(qū)間則處于周期運(yùn)動(dòng)、概周期運(yùn)動(dòng)、倍周期運(yùn)動(dòng)交替進(jìn)行的狀態(tài)中，系統(tǒng)較為穩(wěn)定。

由圖9 可以看出，低壓轉(zhuǎn)子的龐加萊截面圖為散亂的點(diǎn)集，故可判斷該激勵(lì)頻率下，低壓轉(zhuǎn)子處于不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖9 低壓轉(zhuǎn)子龐加萊截面圖（激勵(lì)頻率70 rad/s）

通過(guò)圖8（b）和圖8（c）可以看出，轉(zhuǎn)子的徑向振動(dòng)位移隨θ的增大而持續(xù)增大，但系統(tǒng)經(jīng)歷了不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的激勵(lì)頻率區(qū)間未發(fā)生變化，即傾斜角的變化對(duì)轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性基本無(wú)影響。

圖8 不同傾斜角下的激勵(lì)頻率分岔圖

4 結(jié)語(yǔ)

本文建立了傾斜角影響下的磁懸浮雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)10自由度動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)為系統(tǒng)添加外部激勵(lì)進(jìn)行仿真分析，得到以下結(jié)論：

（1）轉(zhuǎn)子質(zhì)心沿Z軸呈現(xiàn)螺旋下降的趨勢(shì)，并最終圍繞重力的平衡位置進(jìn)行穩(wěn)定的上下振動(dòng)。

（2）轉(zhuǎn)速比和傾斜角的增大均會(huì)增大轉(zhuǎn)子到達(dá)平衡位置前沿軸線的偏移距離。不同的是，轉(zhuǎn)速比的增大會(huì)使軸心運(yùn)動(dòng)軌跡形狀變得更為復(fù)雜；而傾斜角的增大會(huì)增大圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，即最大振動(dòng)幅值，同時(shí)傾斜角還會(huì)改變軸線的角度。

（3）轉(zhuǎn)速比的增大降低了系統(tǒng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)速范圍，即降低了系統(tǒng)穩(wěn)定性；傾斜角的存在使得系統(tǒng)隨著激勵(lì)頻率的增加而產(chǎn)生不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但傾斜角的增大僅增大其振動(dòng)幅值，對(duì)穩(wěn)定性無(wú)影響。