行波的旋轉(zhuǎn)矢量法和駐波的可視化*

周群益

(廣州理工學(xué)院通識(shí)教育學(xué)院 廣東 廣州 510540)

肖桂英

(廣州理工學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院 廣東 廣州 510540)

王培穎

(廣州理工學(xué)院通識(shí)教育學(xué)院 廣東 廣州 510540)

莫云飛

(長沙學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院 湖南 長沙 410022)

周麗麗

(贛南醫(yī)學(xué)院醫(yī)學(xué)信息工程學(xué)院 江西 贛州 341000)

旋轉(zhuǎn)矢量法可以直觀地描述簡諧振動(dòng)，但是并沒有文獻(xiàn)用于描述簡諧波．駐波是兩列振幅相等、頻率相同、傳播方向相反的簡諧波疊加的結(jié)果．有文獻(xiàn)用旋轉(zhuǎn)矢量法研究駐波的特征[1～4]，雖然說明了一些問題，但是用旋轉(zhuǎn)矢量法研究駐波較為困難，繪制的圖像也不夠具體形象．

有文獻(xiàn)研究了駐波的能量[5～12]，推導(dǎo)了能量密度公式和能流密度公式，但是沒有用圖像說明問題．還有文獻(xiàn)用MATLAB研究駐波的能量[13]，方法很好，若充分發(fā)揮MATLAB的可視化功能，則可進(jìn)一步改進(jìn)．

本文從簡諧振動(dòng)公式推導(dǎo)了簡諧波的公式，用曲面說明簡諧波的分布規(guī)律．用振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量法的動(dòng)畫說明了簡諧波的傳播過程，用動(dòng)畫的截圖說明了駐波的形成過程，用曲面表示了能量和能流密度的分布規(guī)律，用動(dòng)畫的截圖說明了能流的方向與能量分布之間的關(guān)系．

1 簡諧振動(dòng)和簡諧波的旋轉(zhuǎn)矢量法

1.1 波形曲面和曲線

如圖1所示，設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在原點(diǎn)做簡諧振動(dòng)，振幅為A，角速度為ω，初相為φ0．旋轉(zhuǎn)矢量A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，ω的方向垂直紙面向里．

圖1 簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖

經(jīng)過時(shí)間t，相位φ=ωt+φ0，位移為

x=Acosφ=Acos(ωt+φ0)

(1)

這是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，其周期為

(2)

設(shè)波沿著Or方向傳播，波速為u，則波長為

(3)

x=Acos[ω(t-t0)+φ0]=

(4)

x(t,r)=Acos(ωt-kr+φ0)

(5)

用周期和波長可以表示為

(6)

此式便于畫圖．

取周期T為時(shí)間t的單位，取波長λ為坐標(biāo)單位，取振幅A為位移單位，則無量綱的波動(dòng)方程為

cos[2π(t*-r*)+φ0]

(7)

利用MATLAB的surf指令可畫曲面，利用plot3指令可畫三維曲線[14]．

如圖2所示，取φ0=0，右行波的位移是波浪形的曲面．當(dāng)r=0時(shí)，可得原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程曲線，如實(shí)線所示；當(dāng)t=0時(shí)，可得所有質(zhì)點(diǎn)在初始時(shí)刻的波形曲線，如虛線所示．當(dāng)r=2.5λ時(shí)，可得該處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程曲線；當(dāng)t=1.5T時(shí)，可得所有質(zhì)點(diǎn)在該時(shí)刻的波形曲線．當(dāng)r=2.5λ，t=1.5T時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位移x=1A．

圖2 波動(dòng)方程曲面

1.2 波的傳播的旋轉(zhuǎn)矢量動(dòng)畫

利用MATLAB的計(jì)算和圖形功能，我們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)程序，可演示旋轉(zhuǎn)矢量法與右行波傳播的動(dòng)畫，見附錄[14]．

執(zhí)行程序，初始時(shí)刻的旋轉(zhuǎn)矢量和波形曲線如圖3所示，每一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)矢量都在不同的tOx平行平面上，處于豎直或水平位置．

圖3 初始時(shí)刻的各點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)矢量和波形曲線

按任意鍵(例如空格鍵或回車鍵)，旋轉(zhuǎn)矢量和波形曲線如圖4所示．所有矢量都旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，每一條矢量線與兩條虛線組成一個(gè)直角三角形，矢量線在Ox軸上的投影就表示質(zhì)點(diǎn)的位移，行波同時(shí)向右傳播了一定的距離．波的傳播方向與ω的方向相反．不斷按任意鍵，各點(diǎn)的直角三角形隨著矢量的旋轉(zhuǎn)而改變，行波不斷向右傳播．當(dāng)矢量旋轉(zhuǎn)一周后，再按任意鍵，矢量就持續(xù)旋轉(zhuǎn)，行波持續(xù)右行，直到按ESC鍵為止．

圖4 某時(shí)刻各點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)矢量和波形曲線

修改程序也可以用旋轉(zhuǎn)矢量法演示左行波的動(dòng)畫，讀者不妨一試．

2 駐波的特點(diǎn)

2.1 駐波的位移

兩列振幅相等、頻率相同、傳播方向相反的波的方程為(取初相φ0= 0)

x1(t,r) =Acos(ωt-kr)

(8)

x2(t,r) =Acos(ωt+kr)

(9)

其中，x1(t,r)是右行波，x2(t,r)是左行波．行波的特點(diǎn)是包含因子(ωt±kr)．兩波疊加的結(jié)果為

x(t,r)=x1(t,r)+x2(t,r)=

2Acoskrcosωt

(10)

振幅為零，此處稱為波節(jié)．除了波節(jié)之外，其他各點(diǎn)做簡諧振動(dòng)．當(dāng)kr=nπ(n=0,±1,±2,…)時(shí)

振幅最大，即2A，此處稱為波腹．其他點(diǎn)的振幅介于零到2A之間．

取周期T為時(shí)間t的單位，取波長λ為坐標(biāo)單位，取振幅A為位移單位，則無量綱的行波方程為

(11)

(12)

利用MATLAB的動(dòng)畫功能，可演示左右行波傳播的動(dòng)畫以及駐波形狀變化的動(dòng)畫[14]．

圖5 右行波，左行波和駐波的截圖

2.2 駐波的能量和能量密度

設(shè)媒質(zhì)是彈性均勻媒質(zhì)，其質(zhì)量體密度為ρ，在位置r處取一個(gè)體積元ΔV，其質(zhì)量Δm=ρΔV．質(zhì)元的速度為

(13)

質(zhì)元的動(dòng)能為

(14)

2ρA2ω2ΔVsin2krcos2ωt

(15)

對(duì)橫波則要將楊氏模量Y改為切變模量G，結(jié)果完全相同．質(zhì)元的機(jī)械能為

ΔE=ΔEk+ΔEp=

2ρA2ω2ΔV(cos2krsin2ωt+sin2krcos2ωt)

利用半角公式可得

ΔE=ρA2ω2ΔV(1-cos 2krcos 2ωt)

(16)

質(zhì)元的動(dòng)能、勢量和機(jī)械能都是關(guān)于坐標(biāo)和時(shí)間的二元函數(shù)，任何一個(gè)質(zhì)元的能量都隨時(shí)間做周期性的變化，其圓頻率是駐波圓頻率的2倍．由于能量公式中并不包括因子(ωt±kr)，所以能量并不隨波傳播．

在一個(gè)周期內(nèi)，質(zhì)元?jiǎng)幽艿钠骄禐?/p>

(17)

質(zhì)元?jiǎng)菽艿钠骄禐?/p>

(18)

機(jī)械能的平均值為

(19)

可見，一個(gè)質(zhì)元的動(dòng)能和勢能的平均值與坐標(biāo)有關(guān)，平均動(dòng)能大的質(zhì)元，其平均勢能一定小，但是機(jī)械能是常數(shù)．

在波節(jié)處，coskr=0，sinkr=±1，質(zhì)元的動(dòng)能為ΔEk=0，勢能為

ΔEp=2ρA2ω2ΔVcos2ωt

(20)

這是因?yàn)樵诓ü?jié)處的質(zhì)元靜止而相對(duì)形變會(huì)隨著時(shí)間發(fā)生改變．

在波腹處，sinkr=0，coskr=±1，質(zhì)元的勢能為ΔEp=0，動(dòng)能為

ΔEk=2ρA2ω2ΔVsin2ωt

(21)

這是因?yàn)樵诓ǜ固幍馁|(zhì)元不發(fā)生相對(duì)形變而速度隨著時(shí)間發(fā)生改變．

單位體積內(nèi)的能量稱為能量密度，動(dòng)能、勢能和機(jī)械能的能量密度分別用wk，wp和w表示．機(jī)械能的能量密度為

(22)

能量密度也是關(guān)于坐標(biāo)和時(shí)間的二元函數(shù)．在垂直于Or方向取一個(gè)截面S，在r處取一個(gè)體積元dV=Sdr，在波節(jié)與波腹之間的機(jī)械能為

(23)

可見，波節(jié)與波腹之間的機(jī)械能是恒定的，不隨時(shí)間改變．

取周期T為時(shí)間單位，取波長λ為坐標(biāo)單位，取最大能量ΔEm=2ρA2ω2ΔV為能量單位，就能將動(dòng)能和勢能無量綱化，兩者之和就是無量綱的機(jī)械能，簡稱能量．

取最大能量密度wm=2ρA2ω2作為能量密度的單位，則無量綱的能量密度就等于無量綱的能量．

圖6 駐波的動(dòng)能和動(dòng)能密度

圖7 駐波質(zhì)元的勢能和勢能密度

圖8 駐波質(zhì)元的機(jī)械能和機(jī)械能密度

2.3 駐波的能流密度

對(duì)于右行波來說，一個(gè)質(zhì)元的動(dòng)能與勢能相等，可以證明其能量(機(jī)械能)為

ΔE1=ρA2ω2ΔVsin2(ωt-kr)

(24)

單位體積內(nèi)的能量就是能量密度．因此，右行波的能量密度為

(25)

沿著波的傳播方向單位時(shí)間內(nèi)穿過單位面積的能量稱為能流密度，其大小等于波速與能量密度之積．右行波的能流密度為

I1=uw1=uρA2ω2sin2(ωt-kr)

(26)

同理，左行波的能流密度為

I2=uw2=uρA2ω2sin2(ωt+kr)

(27)

駐波的能流密度為

I=I1-I2=

uρA2ω2[sin2(ωt-kr)-sin2(ωt+kr)]

利用平方差公式，展開上式再化簡，可得

I=uρA2ω2sin 2krsin 2ωt

(28)

(29)

說明駐波并不傳播能量．

取周期T為時(shí)間單位，取波長λ為坐標(biāo)單位，取最大能流密度Im為能流密度單位，就能將右行波和左行波以及駐波的能流密度無量綱化．

利用左右行波和駐波完全相同的方法，可以演示3個(gè)能流密度的動(dòng)畫．

圖9 右行波、左行波和駐波的能流密度截圖

3 結(jié)束語

行波和駐波是機(jī)械波中的兩個(gè)典型問題，波的傳播和波形改變都可以用圖形和動(dòng)畫表示．行波不但可以用曲面表示，還可以用旋轉(zhuǎn)矢量法演示．在波節(jié)上質(zhì)元的動(dòng)能為零，勢能隨時(shí)間做周期性變化；在波腹上質(zhì)元的勢能為零，動(dòng)能隨時(shí)間做周期性變化．能量可以在相鄰波節(jié)和波腹之間周期性流動(dòng)，但不會(huì)傳播．當(dāng)能量向波節(jié)或波腹流動(dòng)時(shí)，波節(jié)或波腹的能量就會(huì)增加，反之則減少．

學(xué)科交叉是學(xué)科發(fā)展的一個(gè)重要方向．MATLAB程序設(shè)計(jì)是一門學(xué)科，系統(tǒng)掌握這門知識(shí)有助于我們研究物理問題，也有助于物理教學(xué)．本文附錄中的程序可供參考，相信有助于讀者的教學(xué)和研究．