多元表征：促進兒童數(shù)學思維發(fā)展

吳鑒勉

數(shù)學表征是指學生對學習的數(shù)學知識進地記錄、儲存、改組的方式，是學生運用某種形式將數(shù)學概念或關系表達出來的過程。多元表征是指根據(jù)實際情況靈活運用各種不同的表征方式。在數(shù)學教學中積極合理地使用多元表征，有助于學生準確把握數(shù)學知識的本質，促進他們的思維深度發(fā)展。不同學者對表征的分類不同，如美國學者萊什等人提出，表征可以分為現(xiàn)實情境、實物操作、圖像、口頭語言、文字符號等五種；布魯納根據(jù)兒童的思維水平，將表征分為動作表征（借助實際操作活動進行思維）、圖像表征（借助腦海中的心像進行思維）和符號表征（直接對數(shù)學符號進行思維操作）。雖然表征的分類不同，但從縱向來看，它們之間存在著層次遞進性；從橫向來看，它們之間又存在著相互關聯(lián)性。在運用多元表征的教學中，不少教師過于注重表征的多元化，卻忽略了表征方式的層次性與關聯(lián)性，導致學生數(shù)學思維的發(fā)展呈現(xiàn)出淺表化、片面化、局限性等特點。他們在面對具體問題時，不善于將不同的表征進行轉換，從而無法找到與問題解決相適應的表征方式，長此以往，將不利于學生數(shù)學思維的發(fā)展。針對上述現(xiàn)象，筆者提出如下教學策略。

1.引導學生有序表征，提升數(shù)學思維的層次性

數(shù)學思維是學生對已有知識經(jīng)驗進行改組、重建的過程，具有個體建構性。隨著認識的逐步深化，個體的數(shù)學思維也會逐步得到發(fā)展。在數(shù)學教學中，教師要遵循知識發(fā)展與學生認知發(fā)展的規(guī)律，引導學生有序展開多元表征，逐步提升他們數(shù)學思維的層次性。例如，蘇教版一上第五單元“認識10 以內的數(shù)”使用了實物情境表征（例1 出示的情境圖片）、圖像表征（圓圈）和符號表征（相應數(shù)字）。首先，學生可以通過實物情境表征感受到數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，數(shù)學知識來源于生活；其次，用圓圈代替具體實物，學生通過圖像表征對概念進行半抽象，開始體會到數(shù)字表示的數(shù)量意義；然后，引導學生通過符號表征理解數(shù)字符號與數(shù)量之間的對應關系。通過引導學生展開有序表征，能促進他們對數(shù)學概念的理解從具體走向抽象，逐步提升數(shù)學思維能力。

2.溝通不同表征方式之間的聯(lián)系，增強數(shù)學思維的整合性

萊什等人指出，學生學習概念時的表征方式是多元的，除了實物操作以外，其他幾種表征方式在促進學生理解概念的過程中也發(fā)揮著重要作用。在教學中，我們不應片面強調某一種表征方式，而應站在整體視角，努力打通不同表征方式之間的聯(lián)系，這將有助于增強學生數(shù)學思維的整合性。例如，學習蘇教版五下“偶數(shù)”時，學生可以有多種不同的呈現(xiàn)方式。（1）圖形表征：▲▲ ▲▲▲▲ ▲▲……；（2）數(shù)字表征：2，4，6，8，10，12，14，16，18……；（3）文字表征：在自然數(shù)中，是2 的倍數(shù)的數(shù)叫作偶數(shù)；（4）符號表征：2n。其實，偶數(shù)的各種表征方式之間也有關聯(lián)，其他三種表征方式都與文字表征具有內在一致性，教師應注意淡化形式，在凸顯知識本質的過程中促進學生思維的發(fā)展，不斷增強學生思維的整合性。

3.實現(xiàn)不同表征方式的轉換，提高數(shù)學思維的靈活性

所謂思維的靈活性，是指學生能根據(jù)具體問題解決的需要，在不同的表征方式之間靈活地做出轉換。在教學中，可以引導學生在解決問題的過程中實現(xiàn)文字表征與其他表征方式的相互轉化，提升其數(shù)學思維的靈活性和問題解決能力。例如，在執(zhí)教蘇教版三上《解決實際問題——從條件開始想起》一課時，筆者出示圖1，讓學生對這段文字進行加工，形成自己的表征方式。學生的反饋如圖2—圖5 所示?；诮鉀Q問題的需要，學生在理解文字信息，特別是“以后每天都比前一天多摘5 個”這一條件時，需要調動已有的認知經(jīng)驗與方法，借助圖形、算式等不同表征方式來加工文字表征。在這個過程中，學生在文字、圖形等表征方式之間靈活地轉換。在加工與建構的過程中，學生不僅深刻理解了條件的含義，也提高了數(shù)學思維的靈活性。

（圖1）

（圖2）

（圖3）

（圖4）

（圖5）

總之，數(shù)學知識的多元表征之間有著內在的聯(lián)系，教師要注意運用整體、比較的眼光，找準不同表征方式之間的聯(lián)系，通過恰當?shù)慕M織與引導，讓外在表征有序、整體地內化為學生的內在表征，從而提升學生數(shù)學思維的層次性、整合性、靈活性，促進學生數(shù)學思維的發(fā)展。