網(wǎng)格密度對加筋曲板穩(wěn)定性有限元計算的影響

楊 嬋 劉志超 田中強

（中國直升機設(shè)計研究所， 江西 景德鎮(zhèn) 333001）

0 引言

穩(wěn)定性是設(shè)計加筋板靜強度的關(guān)鍵問題之一，以保持結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性為前提，盡量減輕結(jié)構(gòu)質(zhì)量是加筋板結(jié)構(gòu)設(shè)計技術(shù)發(fā)展的主要目的。鋁合金加筋板廣泛應(yīng)用于航空器設(shè)計中。鋁合金加筋板的穩(wěn)定性設(shè)計有助于在保證安全的前提下，降低結(jié)構(gòu)質(zhì)量和成本，對提高經(jīng)濟效益有非常重要的意義。與加筋板結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性數(shù)值模擬相關(guān)的研究大多是關(guān)于邊界條件對加筋板穩(wěn)定性能的影響。網(wǎng)格密度和單元類型直接決定了加筋曲板穩(wěn)定性計算結(jié)果的準(zhǔn)確性，選擇合適的單元類型可以提高計算效率。

1 文獻調(diào)研

金屬壁板加筋結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析方法大致分為3 種，理論解析公式法、半經(jīng)驗法和有限元計算方法。應(yīng)用理論解析法獲取的臨界屈曲應(yīng)力值是精確的，但是對大部分實際工程問題來說，難以實現(xiàn)通過建立微分方程求解精確解的目標(biāo)。半經(jīng)驗法是指工程設(shè)計人員基于大量系統(tǒng)的試驗總結(jié)簡便的設(shè)計曲線和經(jīng)驗公式，但其有特定的使用條件。隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，有限元數(shù)值模擬方法在壁板加筋結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性計算中占據(jù)了主導(dǎo)地位。目前，國內(nèi)外學(xué)者對薄壁加筋板結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問題開展的研究主要集中在邊界條件對加筋板結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性影響的分析上。其中，Xu Mingcai 等人通過有限元數(shù)值模擬不同邊界條件對鋁合金加筋板結(jié)構(gòu)承載能力的影響。飛機蒙皮為壁板加長桁結(jié)構(gòu)，在純剪載荷作用下可能發(fā)生的失效模式包括蒙皮拉斷、桁條壓損失穩(wěn)、框彎曲破壞和連接失效，為了深入研究失效模式，開展加筋曲板結(jié)構(gòu)在剪切載荷作用下失效破壞試驗，通過16 種典型構(gòu)型剪切壁板的剪切試驗可以得到壁板的許用剪流與蒙皮厚度、桁條和框的剖面積的關(guān)系曲線，并討論了各種破壞模式，最終將試驗結(jié)果與工程計算結(jié)果進行對比。文獻[8]提供了形狀規(guī)則、各向同性材料曲板穩(wěn)定性計算的理論公式，其與平板穩(wěn)定性計算的理論公式的不同處是屈曲系數(shù)的取值。

基于上述研究背景可知，加筋曲板穩(wěn)定性有限元計算網(wǎng)格收斂性的驗證工作還處于空白狀態(tài)。該文以四邊加桁條的鋁合金曲板為研究對象，采用有限元軟件ANSYS 進行穩(wěn)定性計算。分別采用四節(jié)點一階線性單元和八節(jié)點二階拋物線單元，單元類型模擬鋁合金加筋板，改變網(wǎng)格尺寸和單元類型，施加固支約束和曲板軸線方向的位移邊界條件，獲取壓縮失穩(wěn)臨界載荷。同時，應(yīng)用工程理論公式計算該曲板的屈曲臨界載荷，以理論計算值為參考，通過分析評估不同網(wǎng)格密度和單元類型對鋁合金加筋曲板穩(wěn)定性有限元計算精度的影響。

2 計算曲板壓縮穩(wěn)定性

2.1 算例描述

以鋁合金加筋曲板為例，曲板的長邊是沿柱面的軸線方向，長度=300 mm，弧長=100 mm，厚度=1 mm，曲板軸線與長邊平行，曲率半徑=300 mm。加筋板四周布置桁條，桁條截面為正方形（邊長為5 mm），曲板加筋條總的截面積=140 mm。加筋板一端弧形邊固支，另一端弧形邊施加1 mm 位移邊界條件，鋁合金加筋曲板結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

圖1 鋁合金加筋曲板結(jié)構(gòu)示意圖

2.2 理論計算

在面內(nèi)壓縮載荷的作用下，曲板屈曲臨界應(yīng)力的理論計算式與平板的相似，二者不同之處在于屈曲系數(shù)。曲板屈曲臨界應(yīng)力的理論計算式如公式（1）所示。

應(yīng)用曲板屈曲臨界應(yīng)力的理論公式計算如圖1 所示的鋁合金加筋曲板結(jié)構(gòu)，屈曲臨界壓應(yīng)力為154 MPa，壁板加筋結(jié)構(gòu)（包括曲板和正方形截面桁條）的橫截面積為140 mm，則屈曲臨界壓縮載荷P如公式（2）所示。

當(dāng)產(chǎn)生1 mm 的壓縮位移時，即Δ=1m，等效壓縮載荷如公式（3）所示。

式中：Δ為壓縮位移。

屈曲臨界載荷系數(shù)的理論值如公式（4）所示。

將該理論值作為曲板壓縮穩(wěn)定性有限元計算結(jié)果的參考值。

2.3 有限元計算

應(yīng)用有限元軟件（ANSYS）計算加筋曲板在承受面內(nèi)壓縮載荷時的穩(wěn)定性，數(shù)值模擬時設(shè)置多個網(wǎng)格尺寸，并采用2 種單元類型，從而獲取網(wǎng)格密度和單元類型對加筋曲板穩(wěn)定性有限元計算精度的影響。單元類型包括四節(jié)點一階線性單元和八節(jié)點二階拋物線單元。其中，四節(jié)點一階線性單元的網(wǎng)格尺寸分別為25 mm、5 mm 和1 mm，八節(jié)點二階拋物線單元的網(wǎng)格大小分別為25 mm、10 mm。網(wǎng)格大小為25 mm的四節(jié)點一階線性單元的一階屈曲模態(tài)如圖2 所示。網(wǎng)格大小為5 mm 的四節(jié)點一階線性單元的一階屈曲模態(tài)如圖3 所示。網(wǎng)格大小為1 mm 的四節(jié)點一階線性單元的一階屈曲模態(tài)如圖4 所示。網(wǎng)格大小為25 mm 的八節(jié)點二階拋物線單元的一階屈曲模態(tài)如圖5 所示。網(wǎng)格大小為10 mm 的八節(jié)點二階拋物線單元的一階屈曲模態(tài)如圖6 所示。圖2～圖6 是在有限元模型上顯示一階屈曲模態(tài)，每個方格代表1 個網(wǎng)格。其中，橫坐標(biāo)表示沿曲板長邊的方向；縱坐標(biāo)表示沿曲板弧長的方向（單位均為mm）。

圖2 一階屈曲模態(tài)（網(wǎng)格大小為25 mm 的一階線性單元）

圖4 一階屈曲模態(tài)（網(wǎng)格大小為1 mm 的一階線性單元）

圖5 一階屈曲模態(tài)（網(wǎng)格大小為25 mm 的二階拋物線單元）

2.4 計算結(jié)果與分析

根據(jù)第2.2 節(jié)可知，該鋁合金加筋曲板結(jié)構(gòu)屈曲臨界壓縮載荷系數(shù)的理論計算值為0.66。對第2.3 節(jié)的5 種有限元模型的屈曲臨界載荷系數(shù)進行匯總，結(jié)果見表1。

表1 一階屈曲臨界載荷系數(shù)

當(dāng)采用網(wǎng)格大小為25 mm 的四節(jié)點一階線性單元有限元模型進行屈曲計算時，一階屈曲臨界載荷系數(shù)為0.95，大于理論計算值0.66，表明有限元計算未收斂。當(dāng)采用網(wǎng)格大小為10 mm 的四節(jié)點一階線性單元有限元模型和網(wǎng)格大小為1 mm 的四節(jié)點一階線性單元有限元模型進行屈曲計算時，一階屈曲臨界載荷系數(shù)均為0.66，與理論計算值一致，表明有限元計算已收斂，計算結(jié)果準(zhǔn)確可信。如圖3 所示，當(dāng)1 個屈曲半波內(nèi)需要6 個四節(jié)點一階線性單元模擬時，有限元計算可收斂，有限元計算結(jié)果準(zhǔn)確可信。當(dāng)采用網(wǎng)格大小為25 mm 的八節(jié)點二階拋物線單元有限元模型進行屈曲計算時，一階屈曲臨界載荷系數(shù)為0.78，大于理論計算值，表明有限元計算未收斂。當(dāng)采用網(wǎng)格大小為10 mm 的八節(jié)點二階拋物線單元有限元模型進行屈曲計算時，一階屈曲臨界載荷系數(shù)為0.66，與理論計算值一致，表明有限元計算已收斂，計算結(jié)果準(zhǔn)確可信。如圖6 所示，1 個屈曲半波內(nèi)需要2～3 個八節(jié)點二階拋物線單元模擬。綜上可知，1 個屈曲半波內(nèi)需要6 個四節(jié)點一階線性單元或2～3 個八節(jié)點二階拋物線單元才能使數(shù)值計算結(jié)果達到相同的精度；當(dāng)應(yīng)用有限元法計算加筋曲板穩(wěn)定性時，必須進行網(wǎng)格收斂性分析。

圖3 一階屈曲模態(tài)（網(wǎng)格大小為5 mm 的一階線性單元）

圖6 一階屈曲模態(tài)（網(wǎng)格大小為10 mm 的二階拋物線單元）

2.5 網(wǎng)格收斂性驗證

采用相同的模型以及不同的網(wǎng)格單元類型（一階線性單元和二階拋物線單元）和網(wǎng)格密度，記錄最小屈曲臨界載荷系數(shù)。由第2.2 節(jié)可知，屈曲臨界載荷系數(shù)理論計算值為0.66。有限元計算結(jié)果（分別為表2 中第3 列、第4 列數(shù)值）與理論計算值之間的誤差見表2（第4 列、第5 列）。將最小屈曲臨界載荷系數(shù)隨網(wǎng)格尺寸大小的變化繪制成圖，如圖7所示（橫坐標(biāo)為網(wǎng)格尺寸大小，縱坐標(biāo)為最小屈曲臨界載荷系數(shù)）。

由表2 和圖7 可知，當(dāng)采用四節(jié)點一階線性單元模擬時，網(wǎng)格大小為5 mm，曲板屈曲有限元計算可收斂，屈曲臨界載荷系數(shù)有限元計算值為0.66，與理論計算值一致。當(dāng)采用八節(jié)點二階拋物線單元模擬時，網(wǎng)格大小為15 mm，屈曲有限元計算可收斂，屈曲臨界載荷系數(shù)有限元計算值為0.66，與理論計算值一致。因此，網(wǎng)格大小為5 mm 的一階線性單元與網(wǎng)格大小為15 mm 的二階拋物線單元可達到相同的精度，從計算效率和精度方面來考慮，進行壁板加筋曲板穩(wěn)定性有限元計算時盡量選用八節(jié)點二階拋物線單元。

表2 屈曲臨界載荷系數(shù)及與理論計算值對比

圖7 最小屈曲臨界載荷系數(shù)隨網(wǎng)格大小變化的關(guān)系圖

3 結(jié)論

該文開展了鋁合金加筋曲板穩(wěn)定性有限元計算，通過改變網(wǎng)格密度和單元類型來獲取鋁合金加筋曲板屈曲臨界載荷系數(shù)，并將其與理論計算值進行對比，得出以下2 個結(jié)論：1） 網(wǎng)格密度和單元類型直接影響加筋曲板穩(wěn)定性有限元計算。從計算效率和精度方面來考慮，進行壁板加筋曲板穩(wěn)定性有限元計算時盡量選用八節(jié)點二階拋物線單元。2）將屈曲臨界載荷系數(shù)有限元計算值與理論計算值進行對比，判斷有限元計算的收斂性，從而驗證網(wǎng)格密度分析在加筋曲板穩(wěn)定性有限元計算中的必要性。