單位球Bn的Bergman核函數(shù)

孫東爽

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000)

0 引言

Bergman核函數(shù)是基于這樣一個思想：復(fù)空間的有界域中的平方可積全純函數(shù)形成了一個Hilbert空間，且Hilbert空間具有一個再生核，這是一個積分核，它再現(xiàn)了空間中的每個元素.Bergman核具有很多非常好的性質(zhì)，在偏微分方程、函數(shù)理論、微分幾何等方面有著重要的作用(對于Bergman核更深入的討論，可以參見[1]).Bergman核是研究各類數(shù)學(xué)問題的重要分析工具，例如：陸啟鏗在[2]中利用Bergman核將多復(fù)變數(shù)函數(shù)論與復(fù)幾何聯(lián)系起來；Charles Fefferman在[3]中利用Bergman核與Bergman度量研究了雙全純映射的邊界問題；Klas Diederich與Gregor Herbort在[4]中研究了Bergman度量與Green函數(shù)問題等.因此得到各類域的Bergman核顯式表達式是十分重要的.在文獻[5]中介紹了利用完備規(guī)范正交系或者利用域的全純自同構(gòu)求Bergman核函數(shù)的方法；在文獻[6]中介紹了典型域的Bergman核函數(shù)，特別地，m=1時，第一類典型域RI(m,n)是單位球Bn.本文綜述了單位球Bn的Bergman核函數(shù)三種計算方法.證法一利用完備規(guī)范正交系進行計算；證法二利用單位球Bn是可遞圓型域，計算自同構(gòu)群元素Jacobi矩陣的行列式來求出Bergman核；證法三利用第一類典型域的Bergman函數(shù)的計算方法得出結(jié)論.下面給出單位球Bn的Bergman核函數(shù)詳細過程.

1 單位球Bn及其自同構(gòu)群

定義1[7]以a=(a1,a2,…,an)∈n為中心，ρ>0為半徑的球是指

(ⅱ)φa∈Aut(Bn).

2 Bergman核函數(shù)

定義2[5]設(shè)Ω是n中的有界域，{φk}是(L2∩H)(Ω)中一組完備的規(guī)范正交系，稱是Ω的Bergman核函數(shù).

下面給出可遞域和圓型域的定義，進而得出單位球Bn是可遞的圓型域.

定義3[7]設(shè)Ω?n為區(qū)域.若對任意兩點p,q∈Ω，一定存在φ∈Aut(Ω)，使得φ(p)=q，則稱Ω為可遞域或齊性域.

引理[7]單位球Bn是可遞域.

定義4[7]設(shè)D?n是有界域.若?z∈D,θ∈R，有eiθz∈D，就稱D是有界圓型域.

顯然單位球Bn是圓型域.事實上，任取z=(z1,…,zn)∈Bn，則有|z1|2+…+|zn|2<1.任取實數(shù)θ，則有|eiθz|2=|eiθz1|2+…+|eiθzn|2=|eiθ|2[|z1|2+…+|zn|2]<1.

定理2[5]設(shè)Ω是n中的有界域，

定理3[5]設(shè)Ω是n中的有界域，Ω的核函數(shù)K(z,ζ)由K(z,z)所唯一確定.

3 第一類典型域

由于當(dāng)m=1時，RI(m,n)就是單位球，所以可以得到如下結(jié)論：

4 單位球Bn的Bergman核函數(shù)的計算

現(xiàn)在對矩陣A進行矩陣變換

又因為單位球Bn是有界域，所以單位球Bn的Bergman核函數(shù)K(z,ζ)是由K(z,z)唯一決定的.