基于增量維納反卷積的暫態(tài)過電壓波形還原算法

鄭 鑫，董乘甫

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0 引 言

在以往過電壓檢測系統(tǒng)的研究中，常見的測量系統(tǒng)通常是利用分壓器來獲取過電壓信號。對于此類接觸式過電壓傳感器，其與電力系統(tǒng)中一次設(shè)備相連接的特點(diǎn)，往往令分壓器本身結(jié)構(gòu)簡單、設(shè)計(jì)方便。但線路中的分布參數(shù)和系統(tǒng)內(nèi)設(shè)備自身特性，往往會令測量系統(tǒng)的測量帶寬受到限制。在測量操作過電壓及雷電沖擊電壓時(shí)，其高頻響應(yīng)較差，分壓系統(tǒng)測量結(jié)果存在畸變。

為解決數(shù)字化沖擊測量系統(tǒng)的測量誤差，反卷積的方法被應(yīng)用于對測量數(shù)據(jù)的處理中[1-5]。文獻(xiàn)[6]根據(jù)時(shí)域遞歸卷積與矢量匹配法相結(jié)合的方法對電壓互感器測量結(jié)果進(jìn)行處理，還原了高壓端的原始波形。文獻(xiàn)[7]在套管末屏分壓測量系統(tǒng)中，應(yīng)用增量維納反卷積方法實(shí)現(xiàn)了對波形的還原，驗(yàn)證了系統(tǒng)對快速暫態(tài)過電壓的測量可行性。文獻(xiàn)[8]基于傳統(tǒng)的增量維納反卷積算法，結(jié)合離散Gabor變換展開去噪方法，提出了一種波形重構(gòu)算法，并應(yīng)用仿真進(jìn)行了驗(yàn)證。

下面設(shè)計(jì)了一種波形還原算法，并在傳統(tǒng)增量維納反卷積方法的基礎(chǔ)上，提出了一種預(yù)估γ值的改進(jìn)算法。通過110 kV電容式套管分壓試驗(yàn)平臺進(jìn)行驗(yàn)證，改進(jìn)后的反卷積算法可準(zhǔn)確地還原輸入的原始信號。相比傳統(tǒng)的增量維納反卷積算法，改進(jìn)后的算法減小了計(jì)算量，增加了實(shí)用性。

1 波形還原算法設(shè)計(jì)

1.1 過電壓測量畸變的原因

在電力系統(tǒng)中，對于過電壓檢測系統(tǒng)所獲取的輸出信號，其成分不僅包含了過電壓本身的信息和特性，同時(shí)也反映了測量系統(tǒng)的特性。如在基于電容型套管所組成的測量系統(tǒng)中，由于高壓臂由套管內(nèi)部導(dǎo)桿到末屏的等效電容和末端阻尼共同組成，所以套管自身的電容性能同樣會影響著最終的測量結(jié)果。而基于電容式套管自身復(fù)雜的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，使得電容式套管可等效為一個(gè)含有電位懸浮導(dǎo)體的電極系統(tǒng)，其電路模型為一個(gè)電阻、電容、電感構(gòu)成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)[7]，其各極板等效單元電路模型如圖1所示。

圖1 極板等效單元電路模型

通過對該網(wǎng)絡(luò)的分析可知，電容式套管自身的諧振頻率較低，因此傳感器的高頻響應(yīng)極易受到影響。這種畸變體現(xiàn)在套管自身電容特性、傳感器性能與傳輸路徑雜散參數(shù)等方面。所以，在實(shí)際的測量中，測量系統(tǒng)往往由于此類原因，無法達(dá)到理想的特性，從而導(dǎo)致測量信號會產(chǎn)生一定的畸變。

1.2 反卷積原理

波形還原算法的核心在于應(yīng)用反卷積的方法，對傳感器的輸出信號進(jìn)行處理，來反演系統(tǒng)輸入端的原始波形。因此，首先需要明確反卷積還原的原理[9-12]。

對于線性時(shí)不變系統(tǒng)，這種傳輸過程可表為

(1)

式中：y(t)為系統(tǒng)得到的輸出信號；h(t-τ)為測量系統(tǒng)在τ時(shí)刻的沖激響應(yīng)；x(τ)為τ時(shí)刻的原始輸入信號。轉(zhuǎn)換到頻域分析中，式(1)可表示為

Y(ω)=H(ω)X(ω)

(2)

式中，Y(ω)、H(ω)和X(ω)分別為y(t)、h(t)和x(t)進(jìn)行傅里葉變換，轉(zhuǎn)換到頻域中的形式。在過電壓測量系統(tǒng)的應(yīng)用上，反卷積的目的是為了還原失真的高頻信號，拓展測量帶寬，還原后的結(jié)果可表示為

(3)

式中的X(ω)經(jīng)過傅里葉逆變換，即可獲得輸入端的原始信號x(t)。

值得注意的是，由于上述理想分析過程中完全忽略了噪聲信號的影響，因此可以完全復(fù)原輸入信號。但是在實(shí)際過程中，噪聲信號e(t)無法避免，此時(shí)信號傳輸過程如式(4)所示。

(4)

對該式進(jìn)行頻域轉(zhuǎn)換可得

Y(ω)=H(ω)X(ω)+E(ω)

(5)

式中，E(ω)為e(t)的傅里葉變換形式。根據(jù)式(3)，在考慮噪聲信號的影響下，還原過程實(shí)際應(yīng)為

(6)

對于實(shí)際的信號處理應(yīng)用，由于無法準(zhǔn)確地獲取噪聲信號，同時(shí)|H(ω)|在高頻信號的處理中趨近于0，因此會導(dǎo)致算法對高頻噪聲信號極其敏感，從而造成較大的誤差，這種影響也被稱為反卷積的病態(tài)性問題。針對這一問題，通?？赏ㄟ^降噪和重構(gòu)卷積模型兩種方式來減輕。

1.3 基于維納濾波器的卷積模型

對于反卷積復(fù)原算法中卷積模型的構(gòu)建，通?？蓱?yīng)用維納濾波器來實(shí)現(xiàn)。維納濾波器由N Wiener首次提出，該方法是一種基于最小均方誤差準(zhǔn)則下的最佳線性濾波方法，其對信號的處理過程如圖2所示[13-14]。

圖2 基于維納濾波器的信號處理過程

為構(gòu)建維納濾波器，可通過測量系統(tǒng)的方波響應(yīng)結(jié)果，應(yīng)用最小二乘法的思想，對傳感器測量系統(tǒng)的頻域響應(yīng)特性H(ω)進(jìn)行估計(jì)[15-18]。

(7)

式中，γ為輸出結(jié)果中的噪聲功率譜Se(ω)與信號功率譜Sy(ω)所決定的一個(gè)常數(shù)。

(8)

該系數(shù)γ>0，并且其取值將決定實(shí)際信號還原的效果。因此，初步得到還原信號的估計(jì)表示為

(9)

為進(jìn)一步減小估計(jì)誤差，采用增量維納濾波器對上述的估計(jì)結(jié)果繼續(xù)進(jìn)行處理。這種方法在傳統(tǒng)的維納反卷積算法中引入了約束條件，允許進(jìn)行迭代估計(jì)。設(shè)維納反卷積的誤差為Eold(ω)。

Eold(ω)=Y(ω)-X0(ω)H(ω)

(10)

將此誤差結(jié)果繼續(xù)代入到濾波器輸入中，則此時(shí)濾波器得到的新估計(jì)結(jié)果為

(11)

因此，該結(jié)果對應(yīng)的反卷積誤差為

Enew(ω)=Y(ω)-X1(ω)H(ω)

(12)

根據(jù)式(10)、式(11)和式(12)，可以得

(13)

由于γ>0，并且|H(ω)|≥0，所以有

|Enew|2≤|Eold|2

(14)

但需要注意的是，由于輸出信號的信噪比是難以時(shí)刻準(zhǔn)確獲取的，該算法中的γ是一個(gè)人為輸入的預(yù)設(shè)值。因此需考慮γ的初始取值對反卷積還原結(jié)果的影響。選取多組不同的γ值，分別進(jìn)行信號還原，各還原結(jié)果如圖3所示。

圖3 不同γ值下的增量維納反卷積波形還原結(jié)果

觀察圖中不同γ值下的波形還原結(jié)果，通過對比可知：

1)在γ值大于實(shí)際值時(shí)，雖然還原算法消除了原分壓信號中的畸變，但還原信號與原始信號之間的誤差較大，此時(shí)并沒有反卷積的病態(tài)問題；

2)隨著γ值的減小，還原信號與原始信號間的誤差減小，波形逐漸一致；

3)當(dāng)γ值進(jìn)一步減小，且遠(yuǎn)小于由噪聲功率譜所計(jì)算的實(shí)際值時(shí)，還原信號的波形與源輸入信號依然相近，然而反卷積的病態(tài)問題也隨之可見，并逐漸嚴(yán)重。

綜上所述，人為預(yù)估的γ值對還原結(jié)果有著顯著影響，且極易令還原結(jié)果產(chǎn)生誤差。

1.4 改進(jìn)的增量維納反卷積算法

針對γ值的取值問題，提出了一種改進(jìn)的增量維納反卷積算法。

首先，應(yīng)用基礎(chǔ)的增量維納反卷積算法處理原輸出信號，可得到初步恢復(fù)的還原結(jié)果Xold(ω)。對于原始的維納反卷積算法，該結(jié)果僅為單次反卷積結(jié)果，而增量維納反卷積可引入迭代計(jì)算，進(jìn)一步減小誤差到人為控制范圍內(nèi)。其次，可在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步計(jì)算還原結(jié)果Xold(ω)的卷積和原輸出信號之間的誤差Eold(ω)為

Eold(ω)=Y(ω)-Xold(ω)H(ω)

(15)

利用計(jì)算得到的Eold(ω)與初步還原結(jié)果Xold(ω)，可估計(jì)下一次計(jì)算中γ的取值，以此重新構(gòu)建維納濾波器為

(16)

(17)

新的還原結(jié)果對應(yīng)的反卷積誤差為

Enew(ω)=Y(ω)-Xnew(ω)H(ω)

(18)

根據(jù)式(16)、式(17)和式(18)，可以得

(19)

由式(19)可知，改進(jìn)后的反卷積算法同樣滿足：

|Enew|2≤|Eold|2

(20)

值得注意的是，盡管在迭代運(yùn)算中利用還原結(jié)果與誤差值對γ的取值進(jìn)行了估計(jì)，但在初次的反卷積計(jì)算中，仍然需要人為地預(yù)設(shè)一個(gè)γ初值。實(shí)際應(yīng)用中，通過如前述所采用的遞歸最小二乘(recursive least squares,RLS)自適應(yīng)濾波器降噪處理后，該參數(shù)值可控制在小于10-5范圍以內(nèi)。

綜上所述，改進(jìn)后的反卷積算法步驟依次如下：

1)預(yù)設(shè)γ值，運(yùn)用傳統(tǒng)維納反卷積算法處理傳感器輸出信號，得到初次還原結(jié)果；

2)利用初次還原結(jié)果，可對γ值重新進(jìn)行估計(jì)；

3)重新構(gòu)建維納濾波器，采用增量維納反卷積算法處理初次還原結(jié)果；

4)分析此次的還原結(jié)果與原信號的誤差是否達(dá)到要求，若達(dá)到則終止運(yùn)算，否則回到步驟2繼續(xù)運(yùn)算。

改進(jìn)后維納反卷積算法流程如圖4所示。

圖4 改進(jìn)的維納反卷積算法流程

2 仿真測試

應(yīng)用仿真實(shí)驗(yàn)對改進(jìn)的增量維納反卷積算法進(jìn)行驗(yàn)證，所做仿真試驗(yàn)是對套管末屏分壓器的測量進(jìn)行了模擬，電路參數(shù)按照套管末屏分壓系統(tǒng)的現(xiàn)場試驗(yàn)情況進(jìn)行選取。仿真中輸入的沖擊電壓波形與傳感器輸出的波形如圖5所示。

圖5 原始沖擊輸入和傳感器輸出波形

仿真試驗(yàn)?zāi)M了實(shí)際中的常規(guī)問題。從結(jié)果上分析，由于增大了仿真電路中的雜散電感參數(shù)，傳感器端輸出的電壓波形在波頭處存在很大的畸變，導(dǎo)致測量結(jié)果與輸入波形不符，測量效果不理想。同時(shí)，傳感器輸出的電壓信號中混雜了較大的噪聲分量。經(jīng)過計(jì)算，輸出結(jié)果的信噪比(signal-to-noise ratio,SNR)為26.4 dB。若信號傳輸過程中摻雜了此程度的噪聲分量，反卷積運(yùn)算將會產(chǎn)生較為嚴(yán)重的病態(tài)問題，如圖6所示。

圖6 降噪前的還原波形結(jié)果

未經(jīng)降噪的情況下，雖然已經(jīng)能夠還原原始波形的整體趨勢，但波形的病態(tài)問題仍然導(dǎo)致還原結(jié)果與真實(shí)輸入存在較大的偏差。由此，應(yīng)用RLS自適應(yīng)濾波算法對輸出信號進(jìn)行處理，得到的降噪后結(jié)果如圖7所示。

圖7中結(jié)果表明，RLS自適應(yīng)濾波算法并未改變傳感器本身的輸出特性，經(jīng)處理后的波形SNR為47.6 dB。對此，應(yīng)用改進(jìn)的增量維納反卷積算法處理輸出電壓信號，并將還原結(jié)果波形與原始輸入波形均做歸一化處理，得到的還原信號波形和歸一化對比如圖8所示。

圖7 降噪后的輸出電壓波形

圖8 仿真驗(yàn)證還原結(jié)果歸一化對比

從圖8中結(jié)果可以看出，應(yīng)用還原算法得到的還原波形不再有波頭處的畸變，且其與原輸入波形基本一致。經(jīng)過計(jì)算，原輸入信號與還原信號的波前時(shí)間誤差不足0.1 μs，且二者歸一化波形間的均方誤差e2僅為9.44×10-7，證明還原效果十分理想。

為驗(yàn)證改進(jìn)后算法的優(yōu)化程度，同時(shí)應(yīng)用原增量維納反卷積算法對傳感器輸出波形進(jìn)行處理，得到兩種反卷積方式在相同γ取值下運(yùn)算的迭代次數(shù)，如表1所示。

表1 兩反卷積方式運(yùn)算迭代次數(shù)

對比表1中數(shù)據(jù)可知，相比于傳統(tǒng)的增量維納反卷積算法，改進(jìn)后的維納反卷積算法可通過前次的還原結(jié)果來估計(jì)γ取值，所以極大地減少了迭代計(jì)算次數(shù)，減小了計(jì)算量。

結(jié)合以上仿真試驗(yàn)和分析可知，改進(jìn)后的反卷積算法能夠?qū)崿F(xiàn)對原始電壓的準(zhǔn)確還原。

3 試驗(yàn)測試

借助110 kV套管末屏分壓試驗(yàn)平臺，對套管末屏分壓器的現(xiàn)場測量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，進(jìn)一步測試算法的實(shí)際應(yīng)用效果[19]。測試的雷電沖擊響應(yīng)試驗(yàn)現(xiàn)場接線如圖9所示。

圖9 沖擊試驗(yàn)接線

試驗(yàn)期間選取了一組畸變的分壓波形，該結(jié)果如圖10所示。

圖10 實(shí)驗(yàn)得到的畸變波形結(jié)果

在圖10中，輸入端的沖擊電壓信號為非標(biāo)準(zhǔn)雷電沖擊電壓，其波前時(shí)間為0.24 μs，電壓幅值為11.96 kV，極性為負(fù)。

傳感器端輸出電壓信號在波頭處存在嚴(yán)重震蕩畸變，該現(xiàn)象可能由回路和傳感器內(nèi)部雜散參數(shù)以及不良的線路匹配方式等問題所造成。兩波形歸一化后的幅頻特性如圖11所示，對比兩波形的幅頻特性曲線，可以看出失真的傳感器端輸出波形無法完整反映源輸入波形的真實(shí)情況。

圖11 輸入、輸出波形的幅頻特性

利用設(shè)計(jì)的波形還原算法，處理畸變的輸出信號，得到的波形還原結(jié)果和源沖擊波形的歸一化對比以及二者的幅頻特性對比如圖12所示。

從圖12(a)可知，還原波形的波前時(shí)間為0.25 μs，與源波形的波前時(shí)間誤差僅為0.01 μs，并且波形的波頭處畸變得到了消除，其整體趨勢同源波形基本一致。經(jīng)過計(jì)算，還原波形與源輸入波形的歸一化均方誤差為3.81×10-5，證明還原算法的還原效果理想。同時(shí)，對比圖10(b)與圖11(b)中的頻率譜，相比于傳感器輸出波形在頻率1 MHz以上的失真情況，還原波形準(zhǔn)確地復(fù)原了源波形在高頻段的各頻率成分。

圖12 還原波形與源輸入信號的對比

圖13為原系統(tǒng)與應(yīng)用還原算法后的頻率響應(yīng)對比圖。

圖13 歸一化后系統(tǒng)頻率響應(yīng)對比

對系統(tǒng)的頻率響應(yīng)對比分析，圖13結(jié)果顯示，應(yīng)用還原算法后，除個(gè)別諧振點(diǎn)外，測量系統(tǒng)的頻率響應(yīng)曲線在10 MHz以內(nèi)無明顯波動(dòng)。相比于原測量系統(tǒng)在不足1 MHz即出現(xiàn)的信號畸變情況，波形還原算法有效地拓展了原測量系統(tǒng)的測量帶寬。

4 結(jié) 論

基于維納反卷積方法設(shè)計(jì)了一種波形還原算法，結(jié)合仿真與試驗(yàn)的分析，其主要結(jié)論如下：

1)闡述了波形還原算法的設(shè)計(jì)目的，分析了測量系統(tǒng)自身內(nèi)部特性引起波形失真的原因，維納濾波器的構(gòu)建方法和維納反卷積算法運(yùn)行原理；

2)在分析了人為輸入γ參數(shù)對還原結(jié)果產(chǎn)生的影響后，提出了一種新的γ參數(shù)預(yù)估方法，在原有的維納反卷積算法上做出了優(yōu)化改進(jìn)；

3)通過仿真和試驗(yàn)驗(yàn)證了算法還原原始波形的可行性，并同傳統(tǒng)的維納反卷積算法做出了對比分析，驗(yàn)證了改進(jìn)后的算法擁有更好的實(shí)用性。