中立型隨機泛函微分方程的p階矩指數(shù)穩(wěn)定性

余國勝

(江漢大學人工智能學院， 湖北 武漢 430056)

0 引言

眾所周知，時滯在系統(tǒng)中無處不在.時滯既存在于系統(tǒng)的狀態(tài)變量中，又存在于系統(tǒng)狀態(tài)的導數(shù)項中，這樣的系統(tǒng)稱為中立型系統(tǒng).Hale和Lunel[1]研究了確定性中立型泛函微分方程及其穩(wěn)定性.考慮隨機環(huán)境干擾，例如在生物系統(tǒng)，物理系統(tǒng)，信息科學中，因為中立型隨機泛函微分方程能更精確地描述這些現(xiàn)象，因而中立型隨機泛函微分方程越來越受到人們的關注.毛學榮[2]和胡適耕[3]研究了中立型隨機泛函微分方程及其穩(wěn)定性.毛學榮[4]運用Lyapunov-Razumikhin方法得到中立型隨機泛函微分方程的指數(shù)穩(wěn)定性.利用一對延遲積分不等式和隨機分析的技巧，陳華斌等[5]探究了變時滯中立型隨機線性系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性準則.通過運用不動點定理，羅交晚[6]考慮了變時滯一類線性標量中立型隨機微分方程的漸近穩(wěn)定性.莊劉和龍述君[7]運用伊藤公式、Fatou引理、局部鞅收斂定理和不等式分析諸多技巧，研究了中立型隨機泛函微分方程的p階矩穩(wěn)定性和幾乎必然穩(wěn)定性的充分條件.張彩琴和劉桂榮[8]利Lyapunov函數(shù)方法獲得了一類非線性多時滯中立型隨機微分方程的p階矩指數(shù)穩(wěn)定性的若干判別準則，運用Chebyshev不等式和Borel-Cantelli引理證實了該方程的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定性.受上述文獻的啟發(fā)，為了克服中立項，隨機干擾和變時滯同時存在所帶來的困難，本文中研究中立型隨機泛函微分方程的p階矩指數(shù)穩(wěn)定性，運用Lyapunov函數(shù),推廣的伊藤公式和Gronwall不等式，得到中立型隨機泛函微分方程的p階矩指數(shù)穩(wěn)定性新的結果，其結論更具一般性.

1 預備知識

考慮下面的中立型泛函微分方程

d[x(t)-G(xt)]=f(xt,t)dt+g(xt,t)dB(t)

(1)

(2)

為了保證解的存在唯一性，需要以下兩個假設：

|f(φ,t)-f(ψ,t)|∨|g(φ,t)-g(ψ,t)|≤L‖φ-ψ‖,

G(φ)-G(ψ)|≤κ‖φ-ψ‖,

并且G(0)=0.

2 主要結果

類似文獻[9]中定理2.4的證明可得以下引理：

其中C1,C2是兩個大于1的適當?shù)恼?shù).

引理2.3(Gronwall不等式) 設φ(·)是R上的有界非負Borel可測函數(shù)，k(·)與β(·)是R上的非負可積函數(shù)，則

定理2.1假設H1)和H2)成立，c1,c2,λ1和λ2是4個正常數(shù)，且c1≤c2，λ1>λ2.假設存在一個函數(shù)V(x,t)∈C2,1(Rn×R+;R+)滿足

1)對于所有(x,t)∈Rn×R+,

c1|x|p≤V(x,t)≤c2|x|p;

(3)

E|x(t)|p≤Me-γt,t≥0,

定理2.1的證明對于任意正整數(shù)N,定義停時

eλ3TNEV(x(TN)-G(xTN),TN)=EV(x(0)-G(x0),0)+

令N→∞可得

eλ3tEV(x(t)-G(xt),t)=EV(x(0)-G(x0),0)+

(4)

由(3)式有

(5)

聯(lián)立(4)和(5)式可得

其中EV(x(0)-G(x0),0)≤2p-1(1+κp)E‖ξ‖p,于是

(6)

由引理2.3(Gronwall不等式)可得

(7)

(8)

由(7)、(8)式有

E|x(t)-G(xt)|p≤M1e-γt,?t≥0,

其中M1≥E‖ξ‖p.令

h1(t)=eγtE|x(t)|p,t≥0;h2(t)=eγtE|x(t)-G(xt)|p,t≥0.

+ε1-pE‖G(xt)‖p]

+ε1-pκpeγsE‖G(xt)‖p]

故有

從而

E|x(t)|p≤Me-γt,

3 一個實例

本節(jié)通過一個具體地實例驗證上一節(jié)主要定理的有效性.考慮二維中立型隨機泛函微分方程：

取V(x,t)=2|x|2,

+2trace[gT(xt,t)g(xt,t)

≤-3.8|x(t)|2+1.53|x(t-0.5)|2+0.72|x(t-1)|2