基于折衷規(guī)劃法的多工況結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

葉增沈 王凡超 鄭 凱 吳劍國(guó)

（1.浙江工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院 杭州 310023；2.中國(guó)船舶及海洋工程設(shè)計(jì)研究院 上海 200011）

0 引 言

結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)指的是總體的、目標(biāo)明確的過程和方法，綜合考慮多方面的約束條件，通常以最少的材料、最低的造價(jià)或最簡(jiǎn)單的工序?yàn)槟繕?biāo)，尋求結(jié)構(gòu)最佳的布設(shè)拓?fù)湟嗷蚴切螤钜嗷蚴浅叽纭ｋS著結(jié)構(gòu)優(yōu)化技術(shù)的迅速發(fā)展，許多有限元軟件（如HyperWorks、Nastran、Ansys 和TOSCA 等）均集成了相應(yīng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)模塊，這使船舶結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的應(yīng)用日趨廣泛，解決的問題從減輕結(jié)構(gòu)質(zhì)量擴(kuò)展到降低應(yīng)力水平、改進(jìn)結(jié)構(gòu)性能和提高安全壽命等更多方面。例如：邱偉強(qiáng)等采用了SIMP法與BESO 法對(duì)VLCC 型單縱艙壁進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)；朱俊俠等、楊玥等采用基于加權(quán)和法的多工況優(yōu)化方法，分別對(duì)VLCC 型單縱艙壁、圓筒型FPSO 進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。

由于現(xiàn)實(shí)中船舶領(lǐng)域的設(shè)計(jì)問題通常涉及多個(gè)不同工況。對(duì)于多工況下連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題的研究，多采用加權(quán)和法進(jìn)行求解。它采用線性加權(quán)法將多工況問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題求解，實(shí)現(xiàn)容易，但對(duì)非凸優(yōu)化問題來(lái)說(shuō)，不能確保得到所有的Pareto 最優(yōu)解。

折衷規(guī)劃法（Compromise Programming Method，CPM）已經(jīng)被證明克服了加權(quán)和法的一些缺點(diǎn)：它能在Pareto 邊界的非凸區(qū)域上找到解。羅震等采用帶權(quán)重的CPM 針對(duì)優(yōu)化過程中出現(xiàn)的棋盤格等問題進(jìn)行了研究；范文杰等采用帶權(quán)重的CPM 對(duì)某三段式客車車架進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。盡管CPM 可以得到非凸區(qū)域上的Pareto 解集，但常規(guī)方法需要人為讀取優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)各個(gè)優(yōu)化目標(biāo)（如柔順度） 的最大值與最小值并進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算，再進(jìn)行優(yōu)化軟件的相關(guān)設(shè)置。整個(gè)流程中一旦相關(guān)設(shè)計(jì)約束改變，則需要重新對(duì)各目標(biāo)剛度進(jìn)行讀取與計(jì)算，耗費(fèi)大量時(shí)間成本。

為此，本文基于CPM 提出了改進(jìn)的折衷規(guī)劃法（Improved Compromise Programming Method，ICPM），并基于HyperMesh 軟件針對(duì)該方法進(jìn)行了二次開發(fā)，以此向設(shè)計(jì)者提供一組智能Pareto 最優(yōu)解決方案，節(jié)約優(yōu)化設(shè)計(jì)的時(shí)間成本。應(yīng)用該技術(shù)對(duì)海洋工程結(jié)構(gòu)中某懸挑平臺(tái)縱向框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行了多工況拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，并基于最終拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型，從結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)角度給出清晰的縱向框架構(gòu)型。

1 折衷規(guī)劃法的改進(jìn)

1.1 折衷規(guī)劃法數(shù)學(xué)模型

基于結(jié)構(gòu)剛度最大化的拓?fù)鋬?yōu)化是研究在設(shè)計(jì)域內(nèi)得到使結(jié)構(gòu)剛度最大（即柔順度最小）的材料分布形式的問題。每個(gè)工況對(duì)應(yīng)一個(gè)剛度的最優(yōu)結(jié)構(gòu)拓?fù)?，一般?lái)說(shuō)，不同的載荷工況將得到不同的結(jié)構(gòu)拓?fù)洹Ｓ脦?quán)重的CPM表示多工況下剛度最大化（柔順度最小化）的目標(biāo)函數(shù)：

式中：，…，ρ為設(shè)計(jì)變量；為載荷工況總數(shù)；為單元總數(shù)；w為第個(gè)工況的權(quán)值；為懲罰因子，≥2；C（）為第個(gè)工況的柔順度目標(biāo)函數(shù)；C、C為第個(gè)工況柔順度目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值，N·mm。

1.2 改進(jìn)折衷規(guī)劃法數(shù)學(xué)模型

由于傳統(tǒng)的折衷規(guī)劃法時(shí)間成本較高，本文提出一種改進(jìn)的折衷規(guī)劃法：從設(shè)計(jì)之初開始，首先確定3個(gè)固定的體積分?jǐn)?shù)約束，再分別在3種體積分?jǐn)?shù)下進(jìn)行單工況拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，并讀取出各體積分?jǐn)?shù)約束下不同工況的最大和最小柔順度值，采用三點(diǎn)線性的方法近似擬合最大柔順度-體積分?jǐn)?shù)約束折線與最小柔順度-體積分?jǐn)?shù)約束折線。至此，若設(shè)計(jì)者想再采用其他體積分?jǐn)?shù)約束時(shí)，就不必針對(duì)單個(gè)工況重新分析并讀取最大和最小柔順度值，只需根據(jù)三點(diǎn)雙線性插值即可得出各個(gè)工況近似的最大和最小柔順度值，然后立即進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)而省去了重新計(jì)算各個(gè)工況的時(shí)間。由ICPM結(jié)合功效函數(shù)法可以得到如式（2）所示多剛度拓?fù)鋬?yōu)化的數(shù)學(xué)模型：

1.3 ICPM與CPM的時(shí)間成本對(duì)比

以重新優(yōu)化設(shè)計(jì)次數(shù)（即重新變更體積分?jǐn)?shù)約束的次數(shù)）為橫坐標(biāo)，以時(shí)間成本為縱坐標(biāo)。假定計(jì)算單工況分析所需要的時(shí)間為，計(jì)算各工況消耗的時(shí)間成本是一致的，工況總數(shù)為、優(yōu)化設(shè)計(jì)次數(shù)為，則CPM進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)所需要的時(shí)間為，ICPM進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)所需要的時(shí)間為3。很明顯，當(dāng)優(yōu)化設(shè)計(jì)次數(shù)大于3次時(shí)，ICPM極有效地節(jié)約了時(shí)間成本；而當(dāng)工況數(shù)較多，優(yōu)化設(shè)計(jì)次數(shù)也越增越多時(shí)，ICPM節(jié)省的時(shí)間成本還會(huì)更多。

假定有5個(gè)工況，單工況所需的時(shí)間成本為2 min，總時(shí)間成本-優(yōu)化設(shè)計(jì)次數(shù)的折線圖見圖1。

圖1 CPM與ICPM的時(shí)間成本對(duì)比

由圖1可見：隨著優(yōu)化設(shè)計(jì)次數(shù)的增加，ICPM相比于CPM節(jié)約了大量的時(shí)間成本；隨著工況、單工況時(shí)間成本、優(yōu)化設(shè)計(jì)次數(shù)的增加，會(huì)節(jié)約更多時(shí)間成本。

1.4 ICPM直接計(jì)算驗(yàn)證

為了驗(yàn)證CPM與ICPM在相同的體積分?jǐn)?shù)約束下拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)均能產(chǎn)生相似的拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型，本節(jié)采用簡(jiǎn)單C形板計(jì)算模型（見圖2）針對(duì)ICPM合理性驗(yàn)證。

圖2 C形板

工況1載荷沿C形板端部布設(shè)（紅色標(biāo)識(shí)），工況2載荷沿C形中部布設(shè)（綠色標(biāo)識(shí)）。選取體積分?jǐn)?shù)約束為0.30，工況1/工況2權(quán)重系數(shù)分別取0.40/0.60。拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果見圖3。

圖3 CPM與ICPM優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

由圖3可知：采用雙線性插值方法得到的最大和最小柔順度所構(gòu)成的多工況化一的ICPM與CPM可得到幾乎一致的結(jié)果，由此也近一步證明了ICPM的合理性。拓?fù)鋬?yōu)化本身對(duì)應(yīng)著概念設(shè)計(jì)階段，在保證構(gòu)型基本一致的前提下，ICPM最大限度地節(jié)省了設(shè)計(jì)的時(shí)間成本，進(jìn)一步證明了其優(yōu)越性。

2 改進(jìn)折衷規(guī)劃法的二次開發(fā)

2.1 ICPM二次開發(fā)的主要思路

HyperMesh是Altair公司旗下一款優(yōu)秀的有限元前處理軟件，有著良好的二次開發(fā)環(huán)境。通過TCL/TK語(yǔ)言，用戶可以編寫實(shí)現(xiàn)特定功能的TCL/TK函數(shù)；與此同時(shí)，HyperMesh也提供豐富的集成化的內(nèi)部函數(shù)，用戶只需要在自己編寫的TCL函數(shù)中按照指定格式引用這些函數(shù)，就可實(shí)現(xiàn)某些模塊化的功能，比如單元屬性的讀取、外部文件的讀寫以及外部執(zhí)行程序的調(diào)用等。

基于ICPM的多工況拓?fù)鋬?yōu)化程序二次開發(fā)的主要思路（見圖4），首先設(shè)立相關(guān)界面按鈕，記錄多工況的數(shù)量及名稱；其次需要讀取各工況的結(jié)果文件，獲取各工況的最大和最小柔順度，并計(jì)算目標(biāo)體積分?jǐn)?shù)約束下近似柔順度的最大值與最小值，為后續(xù)編寫折衷規(guī)劃函數(shù)打下基礎(chǔ)；然后需要編寫Dequation自定義函數(shù)卡片，并創(chuàng)建DRESP2響應(yīng)（第二類函數(shù)響應(yīng)）；最終設(shè)定該函數(shù)響應(yīng)為目標(biāo)函數(shù)，將多工況拓?fù)鋬?yōu)化問題轉(zhuǎn)換為單一目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化問題。

圖4 ICPM二次開發(fā)的主要思路

2.2 ICPM程序的主要功能

改進(jìn)的折衷規(guī)劃法（ICPM）二次開發(fā)程序主要包括4個(gè)子程序：

（1）讀取柔順度結(jié)果子程序，其主要功能是讀取優(yōu)化結(jié)果out文件中的最大和最小柔順度值；

（2）計(jì)算柔順度子程序，其主要功能是根據(jù)已讀取的3個(gè)不同體積分?jǐn)?shù)約束下的最大和最小柔順度，進(jìn)行雙線性插值估算目標(biāo)體積分?jǐn)?shù)下的最大和最小柔順度；

（3）創(chuàng)建Dequation函數(shù)子程序，其主要功能是根據(jù)各個(gè)工況的最大和最小柔順度自動(dòng)創(chuàng)建折衷規(guī)劃函數(shù)；

（4）創(chuàng)建響應(yīng)函數(shù)子程序，其主要功能是根據(jù)折衷規(guī)劃函數(shù)，設(shè)置DRESP2函數(shù)響應(yīng)卡片，對(duì)應(yīng)各數(shù)值的實(shí)際含義，創(chuàng)建將多工況問題化為單一目標(biāo)問題的響應(yīng)，并設(shè)為拓?fù)鋬?yōu)化迭代時(shí)的目標(biāo)函數(shù)。

2.3 ICPM程序的用戶化界面

ICPM程序界面及操作步驟如圖5所示。

圖5 ICPM程序界面及操作步驟

界面的中Parameter Setting模塊用于用戶設(shè)置不同工況權(quán)重系數(shù)的區(qū)域；Volume Fraction模塊用于用戶設(shè)定所需要的目標(biāo)體積分?jǐn)?shù)約束；Penalty Parameter 模塊用于用戶設(shè)置懲戒因子，程序默認(rèn)取3；Input Table模塊用于用戶選擇不同體積分?jǐn)?shù)約束下各工況的out結(jié)果文件分別針對(duì)最大、中間和最小柔順度；Analysis模塊用于提交計(jì)算。

ICPM程序在使用上需先確定權(quán)重系數(shù)、目標(biāo)體積分?jǐn)?shù)、懲戒因子，接著再選擇各單工況分析結(jié)果out文件，最終提交計(jì)算。

3 結(jié)構(gòu)多工況拓?fù)鋬?yōu)化

3.1 懸臂平臺(tái)結(jié)構(gòu)有限元模型

海洋工程結(jié)構(gòu)中某平臺(tái)的有限元模型（隱去甲板），如圖6所示，淡藍(lán)色為邊界條件。

圖6 模型縱向框架所在位置

平臺(tái)模型中板材采用四邊形和少量三角形板殼單元模擬，骨材采用梁?jiǎn)卧M。平臺(tái)材料均采用低碳普通鋼。

3.2 平臺(tái)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)域定義

根據(jù)實(shí)際工程受力情況，不將平臺(tái)頂板作為拓?fù)鋬?yōu)化的對(duì)象；按照簡(jiǎn)化工藝的要求，強(qiáng)框間距和縱骨間距通常取值固定，不作為拓?fù)鋬?yōu)化的宏觀對(duì)象。

平臺(tái)縱向框架作為平臺(tái)內(nèi)的主要支撐構(gòu)件，主要承受頂板等支撐構(gòu)件傳遞而來(lái)的載荷。由于平臺(tái)縱向框架分布較廣、占整個(gè)平臺(tái)結(jié)構(gòu)體積較大，會(huì)影響其他構(gòu)件的柔順度，故對(duì)其展開拓?fù)鋬?yōu)化能夠較大幅度地改善整個(gè)貨艙區(qū)的應(yīng)力分布。因此，本文選擇的拓?fù)鋬?yōu)化對(duì)象為平臺(tái)縱向框架。

為了提高優(yōu)化效率，選取中部所有縱向框架設(shè)置模式重復(fù)制造約束，要求所有中部縱向框架拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果一致，拓?fù)鋬?yōu)化縱向框架位置如圖6所示。

為了保證拓?fù)鋬?yōu)化傳力路徑清晰，首先需要將原來(lái)構(gòu)件中存在的開孔進(jìn)行填實(shí)，然后需將縱向框架上所有布設(shè)的骨材刪除并折算到縱向框架板殼單元的厚度中；除此之外，為保證縱向框架與其他支撐構(gòu)件的連接性，還需在縱向框架設(shè)定最小厚度的非設(shè)計(jì)區(qū)域。

3.3 拓?fù)鋬?yōu)化工況及權(quán)重確定

為使拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果更貼合實(shí)際，本文拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)考慮平臺(tái)實(shí)際的受力情況，分別設(shè)定了5個(gè)工況，主要分為受均布載荷及受集中載荷。權(quán)重系數(shù)根據(jù)各工況實(shí)際的危險(xiǎn)程度進(jìn)行大致評(píng)估。拓?fù)鋬?yōu)化載荷布設(shè)及各工況權(quán)重系數(shù)見表1。

表1 拓?fù)鋬?yōu)化工況及權(quán)重（俯視）

3.4 各單工況拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果

設(shè)定不同體積分?jǐn)?shù)約束0.50/0.35/0.20進(jìn)行各單工況拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，可以得到不同載荷下，縱向框架對(duì)應(yīng)的傳力路徑，為后續(xù)多工況拓?fù)鋬?yōu)化提供支持，具體結(jié)果如表2所示。

表2 不同體積分?jǐn)?shù)約束0.50 / 0.35 / 0.20 下的各工況拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

續(xù)表2

3.5 各工況結(jié)構(gòu)柔順度表

各工況下，結(jié)構(gòu)最大和最小柔順度見表3。

表3 各工況最大和最小柔順度表

續(xù)表3

3.6 不同體積分?jǐn)?shù)約束下拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

通過各工況最大和最小柔順度表，采用二次線性的方法可以簡(jiǎn)單計(jì)算出不同體積分?jǐn)?shù)約束下的最大和最小柔順度值，從而省去了各工況再次單獨(dú)分析的時(shí)間。最終針對(duì)不同體積分?jǐn)?shù)約束（0.40/0.35/0.30/0.25/0.20），進(jìn)行了多工況拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，單個(gè)工況拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)大致為2 min?？紤]上述多工況問題，采用CPM需要60 min，而采用ICPM則僅需36 min。

不同體積分?jǐn)?shù)約束的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果見表4。從表4拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果可得：不論何種體積分?jǐn)?shù)下，縱向框架端部結(jié)構(gòu)的單元密度基本趨于0，在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)可考慮針對(duì)該區(qū)域進(jìn)行適當(dāng)開孔；縱向框架中部結(jié)構(gòu)也具有明顯的可開洞趨勢(shì)；隨著體積分?jǐn)?shù)的減少，縱向框架的尾部結(jié)構(gòu)也逐漸有明顯的斜桿出現(xiàn)，可考慮在相應(yīng)位置設(shè)置斜撐或扶強(qiáng)材。

表4 不同體積分?jǐn)?shù)約束下多工況拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

基于0.20 體積分?jǐn)?shù)約束下的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，本文給出了經(jīng)拓?fù)鋬?yōu)化后的縱向框架最終設(shè)計(jì)圖，并與拓?fù)鋬?yōu)化前的縱向框架初始設(shè)計(jì)圖紙進(jìn)行了對(duì)比，如表5 所示。

表5 拓?fù)鋬?yōu)化前后縱向框架設(shè)計(jì)圖對(duì)比

3.7 不同構(gòu)型下結(jié)構(gòu)柔順度、強(qiáng)度對(duì)比

基于縱向框架最終設(shè)計(jì)圖，針對(duì)模型縱向框架結(jié)構(gòu)部分進(jìn)行了模型重建，通過設(shè)置Compliance響應(yīng)，讀取了各工況下結(jié)構(gòu)的柔順度，并與實(shí)心結(jié)構(gòu)（縱向框架填實(shí)）、初始設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了柔順度對(duì)比，見表6。

表6 不同構(gòu)型下結(jié)構(gòu)柔順度對(duì)比

為使優(yōu)化結(jié)果更加直觀，讀取了3 種設(shè)計(jì)構(gòu)型下Von Mises 應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度對(duì)比，見表7。

表7 不同構(gòu)型下結(jié)構(gòu)Mises 應(yīng)力對(duì)比

由表6 和表7 可見，最終設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)構(gòu)型相比于初始設(shè)計(jì)的體積分?jǐn)?shù)降低16.5%，且結(jié)構(gòu)的柔順度、Mises 應(yīng)力增加幅度并不明顯，進(jìn)一步證明了拓?fù)鋬?yōu)化方法的必要性與優(yōu)越性。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文提出了改進(jìn)的折衷規(guī)劃法，并基于Hyper Mesh/OptiStruct商用軟件平臺(tái)進(jìn)行了改進(jìn)折衷規(guī)劃法的二次開發(fā)。應(yīng)用表明:該方法和軟件能夠幫助設(shè)計(jì)者找到更為清晰的傳力路徑，操作性好，可有效節(jié)省優(yōu)化設(shè)計(jì)的時(shí)間，提高工作效率。