多尺度隨機(jī)系統(tǒng)的漸近行為

李楠楠 解龍杰

(江蘇師范大學(xué),數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,徐州,221000)

1 引言

自然界中的許多現(xiàn)象都具有多尺度特征或多尺度效應(yīng),并且,人們對(duì)這些現(xiàn)象的觀察及測量也常在不同尺度（分辨率）下進(jìn)行(參見[3,13,16,21,24,26,30]).數(shù)學(xué)上,多尺度系統(tǒng)能夠很好地將這些現(xiàn)象的本質(zhì)特征反映出來.近年來,多尺度問題及相關(guān)理論被廣泛應(yīng)用于海洋大氣、復(fù)合材料、生命科學(xué)和金融等領(lǐng)域,其研究熱度不斷上升.

多尺度系統(tǒng)往往比較復(fù)雜,處理起來也相對(duì)困難.平均化方法是處理多尺度問題的一個(gè)強(qiáng)有力的工具,它通過構(gòu)造一個(gè)“平均化方程”來簡化原系統(tǒng),使化簡后的方程不再涉及尺度的分離.本文首先介紹快慢隨機(jī)系統(tǒng)的平均化原理的強(qiáng)、弱收斂,特別側(cè)重于噪音所帶來的正則化作用.然后,介紹原系統(tǒng)與其平均化方程的波動(dòng)估計(jì).這兩個(gè)方面分別對(duì)應(yīng)于或類似于概率論中的大數(shù)定律與中心極限定理.而對(duì)于更一般的多尺度隨機(jī)系統(tǒng),我們將介紹其擴(kuò)散逼近,這一問題與偏微分方程中的同質(zhì)化有緊密聯(lián)系.最后,我們考慮一類特殊的系統(tǒng): 隨機(jī)Langevin 方程,分別給出由布朗噪音驅(qū)動(dòng)和Lévy 噪音驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)Langevin 方程的Smoluchowski Kramers 逼近.

2 平均化原理

考慮如下的隨機(jī)微分方程:

其中,d≥1 為空間維數(shù),F:Rd×Rd →Rd為可測函數(shù)（稱為漂移系數(shù)）,Wt為定義在某概率空間(Ω,F,P)上的d維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),X=(Xt)t≥0為一個(gè)給定的遍歷馬氏過程,參數(shù)0<ε ?1 代表了時(shí)間尺度的分離:以正常的時(shí)間尺度t變化,而X以時(shí)間尺度t/ε變化.因此,在方程(2.1)中,通常稱為慢變量,用來代表實(shí)際中可以觀測到的量,也是人們更關(guān)心的量?而X稱為快變量,通常用來描述系統(tǒng)所處的快速變化的外界環(huán)境或者其他相關(guān)的影響因素.

因?yàn)榉匠?2.1)中涉及到兩個(gè)時(shí)間尺度,所以直接研究(2.1)比較復(fù)雜.我們希望尋找一個(gè)簡單的方程來近似地代替該方程. 由于在大多實(shí)際問題中,ε>0 非常小,因此問題即轉(zhuǎn)化為研究該系統(tǒng)當(dāng)ε →0 時(shí)的漸近行為.對(duì)于方程(2.1),可以比較直觀地推測出其ε →0 時(shí)的極限: 假設(shè)X的唯一不變測度為μ(dx),則形式上,當(dāng)ε →0 時(shí),Xt/ε將收斂到其不變測度μ(dx),代入到方程(2.1)中,即可得將收斂于,其中滿足

這里新的漂移系數(shù)為

這一結(jié)果稱為平均化原理,方程(2.2)稱為(2.1)的平均化方程, ˉF稱為平均化系數(shù).

一般地, 平均化原理的證明需要假設(shè)原方程的系數(shù)滿足一定的正則性條件. 經(jīng)典的平均化原理由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家Bogoliubov (參見[6]) 對(duì)確定性的常微分方程首先建立. 這一理論后來被Khasminskii[17]推廣到隨機(jī)微分方程.在隨機(jī)的情形,從概率的角度來說,可以按照多種方式收斂到. 這里我們主要介紹兩種:

(i)強(qiáng)收斂(p階矩收斂):對(duì)任意的p≥1,

(ii)弱收斂(依分布收斂):對(duì)任意的φ ∈Cb(Rd),

從結(jié)果上看,強(qiáng)收斂可以直接推出弱收斂.但強(qiáng)收斂往往需要更強(qiáng)的假設(shè)條件,并且強(qiáng)收斂的收斂速度也慢于弱收斂.在下面的定理中我們會(huì)具體介紹.

方程(2.1)相對(duì)來說仍然比較簡單: 其快變量X不依賴于慢變量Y.然而,在描述一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)時(shí),快、慢變量會(huì)完全偶合在一起.因此,我們需要考慮如下更一般的隨機(jī)微分方程:

相比于(2.1),方程(2.4)由可乘噪音驅(qū)動(dòng),并且其快變量X會(huì)依賴于慢變量Y. 此時(shí),仍然像之前那樣直接推測其平均化方程不再可行.直觀上,推導(dǎo)方程(2.4)的平均化方程可分為兩步:

(1)當(dāng)觀察快變量時(shí),慢變量幾乎保持不動(dòng)?

(2)當(dāng)觀察慢變量時(shí),快變量幾乎已經(jīng)達(dá)到其平穩(wěn)狀態(tài).

具體地,我們先來看快變量. 觀察快變量合適的方式是對(duì)其做時(shí)間變換.令:=(以時(shí)間尺度tε來觀察快變量),則可以驗(yàn)證滿足如下方程:

這里,平均化漂移系數(shù)為

平均化的擴(kuò)散系數(shù)為

注1 需要指出的是,盡管平均化方程(2.2)和(2.6)中平均化系數(shù)的形式類似,但方程(2.4)的研究遠(yuǎn)比(2.1)復(fù)雜.實(shí)際上,對(duì)于強(qiáng)收斂,通常需要證明平均化后的系數(shù)滿足Lipschitz 條件以保證平均化方程的強(qiáng)適定性.對(duì)于(2.3),我們只需要假設(shè)原方程(2.1)中的漂移系數(shù)F(x,y)關(guān)于y變量滿足Lipschitz 連續(xù)性的條件,則容易驗(yàn)證ˉF也滿足Lipschitz 條件.但(2.7)中ˉF的Lipschitz 連續(xù)性的驗(yàn)證要困難的多: 其涉及到不變測度μy(dx)關(guān)于參數(shù)y的正則性的研究.

目前,隨機(jī)系統(tǒng)的平均化原理已經(jīng)得到非常深入地研究.關(guān)于由布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程的平均化原理,可參見[11,18,20,25,35]?關(guān)于由Lévy 噪音驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程的平均化原理,可參見[4,31,34]?關(guān)于隨機(jī)偏微分方程的情形,可參見[7,10]及其中的參考文獻(xiàn). 下面,我們分別介紹兩個(gè)具體的平均化原理強(qiáng)、弱收斂的結(jié)果,并給出其與經(jīng)典結(jié)果的比較.這里,我們主要關(guān)心不規(guī)則系數(shù)的情形,從而體現(xiàn)出噪音對(duì)系統(tǒng)的正則化作用.在此之前,我們做一些基本的假設(shè):

(Hσ) 擴(kuò)散系數(shù)a=σσ?一致非退化,即存在常數(shù)λ>1,使得對(duì)任意的x ∈Rd1和y ∈Rd2,有

(HG) 擴(kuò)散系數(shù)G=GG?一致非退化,即存在常數(shù)λ>1,使得對(duì)任意的x ∈Rd1和y ∈Rd2,有

(Hb) 漂移系數(shù)b滿足如下的Lyapunov 條件:

假設(shè)(Hσ)和(Hb)保證凝固方程(2.5)存在唯一的不變測度(參見[29,36]).同時(shí),假設(shè)(HG)將保證我們可以在不規(guī)則系數(shù)的條件下研究方程(2.4)的平均化原理.

我們有如下結(jié)果,參見[33,Theorem 2.1].為簡單起見,以下所有結(jié)果的敘述中我們都假設(shè)系數(shù)有界.

定理1(強(qiáng)收斂)假設(shè)(Hσ),(HG),(Hb)成立,并且

如果σ ∈,G ∈且b,F ∈,其中δ,α>0,則對(duì)任意的T>0,有

其中,CT>0 為不依賴于δ和ε的常數(shù).

注2 (i)假設(shè)(2.8)是必要的,因?yàn)楫?dāng)慢方程中的擴(kuò)散系數(shù)G依賴于x(快變量)時(shí),強(qiáng)收斂不一定成立(參見[22]).

(ii)雖然我們只假設(shè)了方程(2.4)中的漂移系數(shù)為H?lder 連續(xù)的,但在(Hσ)和(HG)的條件下,方程(2.4)仍存在唯一的強(qiáng)解.同時(shí),也可以證明,從而平均化方程(2.6)同樣存在唯一的強(qiáng)解,這體現(xiàn)了噪音的正則化作用.關(guān)于不規(guī)則系數(shù)下隨機(jī)微分方程強(qiáng)適定性的更多介紹,可參見[40,41].

(iii)經(jīng)典的平均化原理的結(jié)果都需要假設(shè)系數(shù)滿足Lipschitz 連續(xù)或者局部Lipschitz 連續(xù)的條件,并且,在系數(shù)足夠正則的情況下,強(qiáng)收斂的最優(yōu)收斂速度為而估計(jì)(2.9)表明,當(dāng)方程中的系數(shù)關(guān)于y變量（慢變量）為αH?lder 連續(xù)時(shí),強(qiáng)收斂的收斂速度為εα/2. 特別地,其收斂速度不依賴于方程中系數(shù)關(guān)于快變量的正則性.這與直觀吻合: 在取極限的過程中,快變量被完全平均化,其不再出現(xiàn)在極限方程中.

關(guān)于方程(2.4)平均化原理的弱收斂,我們有如下結(jié)果(參見[32,Theorem 2.3]).

定理2(弱收斂)假設(shè)(Hσ),(HG),(Hb)成立. 如果σ,b,F,G ∈,其中δ,α> 0,則對(duì)任意的T>0 及φ ∈(Rd2),有

其中,CT>0 為不依賴于δ的常數(shù).

注3 (i)對(duì)于平均化原理的弱收斂,我們只需要保證方程的弱適定性.由于噪音的非退化性,在上述系數(shù)H?lder 連續(xù)的假設(shè)條件下,原方程(2.4)及平均化方程(2.1)存在唯一的弱解.

(ii)估計(jì)(2.10)表明,當(dāng)原方程的系數(shù)關(guān)于慢變量為αH?lder 連續(xù)時(shí),弱收斂的速度為α/2.特別地,當(dāng)α=2 時(shí),得最優(yōu)的弱收斂速度為1.與強(qiáng)收斂的情形類似,上述的弱收斂也不依賴于系統(tǒng)關(guān)于快變量的正則性.

3 正態(tài)偏差

隨機(jī)系統(tǒng)的平均化原理可以理解成一種泛函大數(shù)定律.其意義在于,我們可以利用平均化方程(2.6)近似地代替原方程(2.4),而平均化方程不涉及多尺度變量,從而更加簡單.但極限方程(2.6)只有在ε →0 時(shí)才成立.在實(shí)際應(yīng)用中,雖然ε很小,但其永遠(yuǎn)大于0,從而,會(huì)與其平均有一定的偏差.要研究其波動(dòng)情況,自然地需要研究中心極限定理,即考慮標(biāo)準(zhǔn)化的過程

當(dāng)ε →0 時(shí)的漸近行為.

為了更清楚地了解問題的困難所在,我們先考慮(2.4)中G=I(單位矩陣)的情況.此時(shí),

其中, ?Wt為一新的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),而新的擴(kuò)散系數(shù)為

對(duì)于一般的隨機(jī)系統(tǒng),我們有如下結(jié)果(參見[33,Theorem 2.3]).關(guān)于多尺度隨機(jī)偏微分方程正態(tài)偏差的研究,可參見[8,37].

定理3(正態(tài)偏差)假設(shè)(Hσ),(HG),(Hb)及(2.8)成立. 如果σ,b,F,G ∈,其中δ,?>0,則對(duì)任意的T>0 及φ ∈(Rd2),有

CT>0 為不依賴于δ和ε的常數(shù).

注4 特別地,估計(jì)(3.12)說明,當(dāng)?=1 時(shí)中心極限定理的最優(yōu)收斂速度為

一個(gè)有趣的問題是: 能否找到一個(gè)分布不依賴于ε的過程,使得以ε階強(qiáng)收斂到,即對(duì)任意的p≥1,存在常數(shù)Cp>0,使得

其中,擴(kuò)散系數(shù)ζ由(3.11)定義. 但理論上一直沒有能夠給出證明.實(shí)際上,直到2004 年,Bakhtin和Kiffer[2]才證明了

其中,0<δ<(18+8d)?1.雖然得到了高于的收斂速度,但這個(gè)δ仍不是最優(yōu)的.

4 擴(kuò)散逼近

考慮如下多尺度隨機(jī)微分方程:

其中,當(dāng)ε →0 時(shí),參數(shù)αε,βε,γε →0.特別地,當(dāng)c=H ≡0,αε=時(shí),方程(4.13)即為快慢方程(2.4). 相比于(2.4),方程(4.13)有如下兩個(gè)主要特點(diǎn):

(i)快方程中存在兩個(gè)不同的時(shí)間尺度,分別由αε和βε刻畫?

方程(4.13)的極限行為與偏微分方程中的同質(zhì)化理論有密切聯(lián)系(參見[14,19,23]).當(dāng)αε=βε=γε=,且()的狀態(tài)空間為緊集時(shí),方程(4.13)首先由Papanicolaou,Stroock和Varadhan[27]進(jìn)行了研究.而當(dāng)c ≡0,αε=γε=的狀態(tài)空間為全空間時(shí),Pardoux 和Veretennikov 在一系列文章[28,29]中對(duì)(4.13)的極限進(jìn)行了研究.需要指出的是,在全空間上(4.13)的研究要比緊集上困難的多,其關(guān)鍵在于求解全空間上帶參數(shù)的Poisson 方程,并研究解的正則性.

對(duì)于方程(4.13),根據(jù)時(shí)間尺度收斂到0 的速度不同,其極限方程也不同. 具體需要分以下四種情況:當(dāng)αε和收斂到0 的速度分別比γε和βεγε快時(shí)(情況1),方程(4.13)與方程(2.4)的平均化方程完全一致,也就是說,c和H變化的速度不夠快,其作用并沒有體現(xiàn)在極限方程中?當(dāng)αε收斂到0 的速度比γε快而和βεγε同階時(shí)(情況2),系數(shù)c的同質(zhì)化作用將體現(xiàn)在極限方程中?當(dāng)αε和γε同階而αε收斂到0 的速度比βε快時(shí)(情況3),系數(shù)H的同質(zhì)化作用將得以體現(xiàn)?最后,當(dāng)所有的參數(shù)都同階時(shí)(情況4),c和H的同質(zhì)化作用將同時(shí)體現(xiàn)在極限方程中.

為了介紹(4.13)的極限方程,我們需要引入如下的Poisson 方程:

其中,y ∈Rd2為參數(shù),

a(x,y) :=σσ?(x,y).需要指出的是,雖然緊集上的Poisson 方程已經(jīng)有了很深入的研究,但全空間上帶參數(shù)的Poisson 方程(4.15)的研究卻十分困難(見[32]).特別地,為了保證(4.15)解的存在唯一性,需要假設(shè)H滿足如下條件:

在一定的正則性條件下,方程(4.15)存在唯一的解Φ(x,y). 對(duì)應(yīng)于(4.14)中的情況1–4,我們分別定義平均化的漂移系數(shù)

以及平均化的擴(kuò)散系數(shù)

我們有如下主要結(jié)果(參見[32,Theorem 2.3]).關(guān)于隨機(jī)偏微分方程的擴(kuò)散逼近,可參見[38].

定理4假設(shè)(Hσ),(Hb),(HG)及(4.16)成立,T>0 且δ ∈(0,1].

注5 上述結(jié)論中,對(duì)應(yīng)于情況3 和4 的結(jié)論表明: 即使原系統(tǒng)中G ≡0(慢方程中沒有噪音項(xiàng)),其極限方程中仍然會(huì)出現(xiàn)可乘的布朗噪音項(xiàng).這主要是由慢方程中快速變化的H項(xiàng)的同質(zhì)化導(dǎo)致的.

5 Smoluchowski Kramers 逼近

5.1 布朗噪音驅(qū)動(dòng)

考慮一個(gè)質(zhì)量為ε的小粒子在受外力、正比于速度的摩擦力及噪音作用下的運(yùn)動(dòng).令表示t時(shí)刻粒子的位置,則根據(jù)牛頓第二定律,滿足如下的隨機(jī)Langevin 方程(參見[15]):

其中,F(x) : Rd →Rd表示外力項(xiàng), ˙Wt為標(biāo)準(zhǔn)高斯白噪聲,矩陣函數(shù)σ(x)代表噪聲的強(qiáng)度,γ> 0為摩擦常數(shù). 在一定的假設(shè)條件下,當(dāng)ε收斂到0 時(shí)(即相比于慣性,摩擦力起主導(dǎo)作用),將L2(Ω)收斂到Xt,其中Xt滿足

這一結(jié)果被稱為Smoluchowski Kramers 逼近. 其意義在于: 對(duì)于小粒子, 我們可以用一階方程(5.19)來近似代替二階牛頓方程(5.18)來描述其運(yùn)動(dòng).

然而,當(dāng)摩擦常數(shù)依賴于物體的位置時(shí),極限方程的形式將會(huì)不同.具體地,考慮如下隨機(jī)系統(tǒng):

其中,γ(x)為d×d矩陣值函數(shù).此時(shí),當(dāng)ε →0 時(shí)將L2(Ω)收斂到Xt,其中Xt滿足

這里的S(x):Rd →Rd被稱為由噪音誘導(dǎo)的漂移系數(shù),其第i個(gè)分量為

而M(x)滿足Lyapunov 方程

特別地,如果γ(x)和Σ(x)可交換,即γ(x)Σ(x)=Σ(x)γ(x),則有M(x)=γ?1(x)Σ(x)/2.

關(guān)于Langevin 方程的Smoluchowski Kramers 逼近,目前已經(jīng)有很多的研究結(jié)果,關(guān)于隨機(jī)微分方程的情形可參見[5,12,15],而關(guān)于隨機(jī)偏微分方程的情形可見[9]及其中的參考文獻(xiàn). 實(shí)際上,Smoluchowski Kramers 逼近的問題可以轉(zhuǎn)化為擴(kuò)散逼近問題.如果我們定義速度過程

則方程(5.21)可改寫為:

注意到這只是方程(4.13)的一個(gè)特殊情況. 但區(qū)別在于,擴(kuò)散逼近一般只能得到弱收斂(依分布收斂),而Smoluchowski Kramers 逼近的特殊之處在于,這里可以得到強(qiáng)收斂. 我們假設(shè):

(A)矩陣γ(x)和σ(x)一致非退化,即存在常數(shù)λ>1,使得對(duì)任意的x ∈Rd,有

我們介紹如下結(jié)果(參見[39]).

定理5假設(shè)(A) 成立. 若γ ∈,F ∈且σ ∈, 其中0<δ,β≤1, 則對(duì)任意的T>0 及q≥1,有

其中,Xt為隨機(jī)微分方程(5.21)的唯一強(qiáng)解,CT>0 為不依賴于ε和δ的常數(shù).

5.2 Lévy 噪音驅(qū)動(dòng)

下面,我們考慮由Lévy 噪音驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)Langevin 方程的Smoluchowski Kramers 逼近.為簡單起見,我們考慮一維空間的情形:

其中,Lt為旋轉(zhuǎn)不變的α穩(wěn)定過程,α ∈(1,2).與之前類似,我們引入速度過程

則方程(5.22)可改寫為

有趣的是,與布朗噪音驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)Langevin 方程不同,即使(5.22)中的摩擦常數(shù)依賴于物體的位置,其極限方程中仍不會(huì)出現(xiàn)新的由噪音誘導(dǎo)的漂移系數(shù).

我們將證明如下結(jié)果.為了更清楚地介紹證明方法及關(guān)鍵技巧,我們假設(shè)系數(shù)充分光滑且有界.

定理6假設(shè)σ(x),γ(x)非退化.則對(duì)任意的T>0,有

其中,Xt滿足如下隨機(jī)微分方程:

CT>0 為不依賴于ε的常數(shù).

證明為簡便起見,我們定義算子

及函數(shù)

可以驗(yàn)證

上式兩邊同時(shí)乘以ε1/α,并利用公式(5.25)可得

注意到,由Ψ(x,v)的定義我們有

且

從而,進(jìn)一步有

此式與(5.24)相減并取期望,可得

其中, ?Lt為一新的旋轉(zhuǎn)不變的α穩(wěn)定過程.由[40,Lemma 7.1],有

進(jìn)一步有

從而可得

由Gronwall 不等式,即得(5.23).