橡膠混凝土受壓破壞機(jī)理的余能基面力元分析

付 毓，馬東翼，王 耀

(北京工業(yè)大學(xué) 城市建設(shè)學(xué)部，北京 100124)

當(dāng)今社會(huì)汽車(chē)更新速度很快，造成了大量輪胎的廢棄，對(duì)環(huán)境造成了嚴(yán)重的污染。將廢舊輪胎切碎、粉磨制成的橡膠混凝土是一種滿(mǎn)足可持續(xù)發(fā)展的綠色建筑材料，如果將其充分應(yīng)用，不僅解決了大量廢舊輪胎堆積問(wèn)題，還可以保護(hù)環(huán)境。橡膠?；蛳鹉z粉作為澆筑材料制備成的橡膠混凝土具有抗沖擊性能好、韌性強(qiáng)、抗腐蝕能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，因而受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，并漸漸被應(yīng)用于工程中。

宏觀試驗(yàn)是研究橡膠混凝土的基本手段，1993年，Eldin等[1]首先討論了橡膠顆粒對(duì)混凝土抗壓和抗折強(qiáng)度的影響，研究表明，橡膠混凝土的強(qiáng)度隨橡膠含量的增加而降低，但韌性和吸能能力顯著增加。2004年，熊杰等[2通過(guò)試驗(yàn)也得到了相同結(jié)論。Toutanji[3]通過(guò)試驗(yàn)研究了橡膠含量和粒徑對(duì)混凝土受壓性能的影響，表明橡膠粒徑的影響占主導(dǎo)地位。劉峰等[4]通過(guò)大量試驗(yàn)提出了橡膠混凝土的強(qiáng)度公式，并根據(jù)實(shí)測(cè)應(yīng)力-應(yīng)變曲線，提出了有參數(shù)的單軸受壓本構(gòu)方程。相對(duì)宏觀試驗(yàn)，橡膠混凝土的數(shù)值分析研究起步較晚。2006年，劉春生等[5]在細(xì)觀層面上將橡膠混凝土看成由粗骨料、橡膠骨料和水泥漿組成的三相復(fù)合材料進(jìn)行計(jì)算分析。2016年，王娟等[6]在前人基礎(chǔ)上考慮了骨料與砂漿的界面和初始缺陷，建立了考慮初始缺陷的橡膠混凝土計(jì)算模型。楊朝霞[7]在此基礎(chǔ)上研究了橡膠摻量、粒徑和界面缺陷含量對(duì)橡膠混凝土力學(xué)性能的影響。薛剛等[8]利用ABAQUS模擬橡膠混凝土內(nèi)部裂紋的發(fā)展過(guò)程。

以往對(duì)橡膠混凝土的模擬都是基于常規(guī)的勢(shì)能原理有限元法，而基于余能原理有限元方法的研究尚未見(jiàn)報(bào)道?；谟嗄茉砘媪υ╗9]研究橡膠混凝土力學(xué)性能，既擴(kuò)展了該方法的應(yīng)用范圍，也為橡膠混凝土的模擬提供一種新的可能。本文將橡膠混凝土視為由粗骨料、橡膠顆粒、砂漿、粗骨料與砂漿界面、橡膠與砂漿界面組成的五相介質(zhì)復(fù)合材料。使用Fortran程序生成橡膠混凝土二維混合隨機(jī)骨料模型?；谟嗄茉砘媪υㄟM(jìn)行受力分析，獲得了壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線圖，并將數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。研究了橡膠顆粒大小和含量對(duì)橡膠混凝土抗壓強(qiáng)度的影響，繪制了縫紋發(fā)展過(guò)程圖，分析其破壞機(jī)理。

1 余能原理基面力元法

傳統(tǒng)的余能原理有限單元法構(gòu)造單元的應(yīng)力插值函數(shù)需要滿(mǎn)足的平衡條件較多，積分求解單元的柔度矩陣計(jì)算量大，效率低，導(dǎo)致余能有限元法的應(yīng)用受限。2003年，高玉臣[10]提出了基面力的概念，與傳統(tǒng)的應(yīng)力張量比較，它的表達(dá)簡(jiǎn)潔，采用直接表達(dá)法表示柔度矩陣，避免了復(fù)雜的運(yùn)算。彭一江[9]基于這個(gè)理論思路建立了基于余能原理的基面力元法，提高了計(jì)算效率。

余能原理基面力單元法的核心是單元柔度矩陣的生成[9]，本文采用四邊形邊中節(jié)點(diǎn)基面力單元，如圖1所示。

圖1 四邊形邊中節(jié)點(diǎn)單元Fig.1 Quadrilateral element with node at midpoint

TI，TJ，TM，TN為作用在各邊中節(jié)點(diǎn)上的面力的合力。柔度矩陣顯式表達(dá)式推導(dǎo)過(guò)程如式(1)—(5)所示。平面單元的平均應(yīng)力為

(1)

式中：PI—原點(diǎn)指向邊中節(jié)點(diǎn)的徑矢。

單元余能為

(2)

式中：E—彈性模量，GPa；v—泊松比；U—單位張量。

二維單元余能為

(I,J=1,2,3,4)

(3)

式中：A—單元面積；I、J—單元的第I邊與第J邊；pIJ—PI和PJ的點(diǎn)積。

TI對(duì)應(yīng)的廣義位移δI為

(4)

式中：CIJ—單元柔度矩陣顯式表達(dá)式。

(I,J=1,2,3,4)

(5)

2 細(xì)觀數(shù)值模型

2.1 橡膠混凝土混合隨機(jī)骨料模型

本文在細(xì)觀層次上將橡膠混凝土視為由天然骨料、橡膠、砂漿、骨料-砂漿界面、橡膠-砂漿界面組成的五相復(fù)合材料。其中粗骨料是混凝土的重要組成部分，骨料形狀作為骨料重要特征之一，對(duì)混凝土力學(xué)性能的影響不可忽視。目前已有的橡膠混凝土隨機(jī)骨料模型，通常將骨料簡(jiǎn)化成圓形[5-8]。雖然這種簡(jiǎn)化在一定程度上是合理的，但與骨料實(shí)際形狀仍有很大差異，無(wú)法表征骨料棱角位置的應(yīng)力集中現(xiàn)象。

本文建立了尺寸為100 mm×100 mm橡膠混凝土二維模型，將粗骨料分為20～15 mm、15～10 mm、10～5 mm三個(gè)粒徑范圍，由Walraven公式[11]確定橡膠混凝土模型中各粒徑范圍圓形骨料的面積，并根據(jù)代表粒徑計(jì)算圓形骨料數(shù)量?，F(xiàn)分別用平均粒徑4 mm和2 mm的橡膠粒按10%、20%、30%摻量等體積替代細(xì)骨料，細(xì)骨料含量由實(shí)驗(yàn)[12-13]計(jì)算得到，如式(6)，從而算出橡膠顆粒數(shù)量。各粒徑范圍粗骨料數(shù)及橡膠顆粒數(shù)見(jiàn)表1、表2。隨后根據(jù)蒙特卡羅法投放骨料，生成隨機(jī)圓骨料模型，如圖3(a)所示。

表1 粗骨料顆粒數(shù)Tab.1 Number of coarse aggregate particles

表2 不同粒徑及摻量下橡膠顆粒數(shù)Tab.2 Number of rubber particles under different particle size and content

Ps=ms/ρs=780/2 650≈0.3

(6)

式中：Ps—細(xì)骨料占混凝土體積分?jǐn)?shù)；ms—單位體積中細(xì)骨料質(zhì)量，kg/m3；ρs—細(xì)骨料表觀密度，kg/m3。

隨后，在圓形骨料試件模型的基礎(chǔ)上，利用多邊形骨料生成方法[14]，僅在粗骨料的圓內(nèi)生成內(nèi)接多邊形，形成基框架，控制各邊的最小長(zhǎng)度Lmin，使骨料圓心在生成的多邊形內(nèi)部。

Lmin=2R·sin(π/2(n-1))

(7)

式中：Lmin為最小邊長(zhǎng)；R為骨料半徑；n為多邊形基框架頂點(diǎn)數(shù)。

之后從基框架較長(zhǎng)邊開(kāi)始延展，在以邊長(zhǎng)為直徑的圓內(nèi)插入隨機(jī)點(diǎn)P，P點(diǎn)坐標(biāo)為

(8)

式中：E、F為(0,1)內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。

依次將每個(gè)圓的基框架向外延展，保證延展后的骨料不與其他骨料和橡膠顆粒重合，直至達(dá)到圓的面積。凸骨料生成過(guò)程如圖2所示，橡膠混凝土凸骨料與圓形橡膠混合投放隨機(jī)骨料模型如圖3(b)所示。

圖2 凸骨料生成過(guò)程Fig.2 Convex aggregate formation process

圖3 橡膠混凝土隨機(jī)骨料模型Fig.3 Random aggregate model of rubber concrete

本文選取二維四邊形單元網(wǎng)格剖分方法，為盡量準(zhǔn)確模擬界面單元，網(wǎng)格剖分尺寸取0.5 mm。將網(wǎng)格投影到隨機(jī)骨料模型中，根據(jù)單元節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)格內(nèi)的數(shù)量對(duì)單元進(jìn)行判斷并賦予單元屬性。

2.2 本構(gòu)模型

骨料與橡膠顆粒在小變形下為線彈性，采用線彈性本構(gòu)關(guān)系。

砂漿及界面在接近峰值應(yīng)力時(shí)，會(huì)出現(xiàn)非線性特征，為更好模擬其力學(xué)性能，采用多折線受壓損傷本構(gòu)模型[15]如圖4 所示。

圖4 多折線受壓損傷本構(gòu)模型Fig.4 Multi polygonal line compression constitutive model

在受壓損傷本構(gòu)模型中，材料的受壓損傷變量記為Dc，Dc見(jiàn)式(9)：

(9)

式中：εc0為峰值應(yīng)變，λ為彈性應(yīng)變系數(shù)，γ為殘余應(yīng)變系數(shù)，η為極限應(yīng)變系數(shù)，α為彈性抗壓強(qiáng)度系數(shù)，β為殘余抗壓強(qiáng)度系數(shù)。

2.3 材料參數(shù)

骨料和橡膠顆粒的材料參數(shù)由文獻(xiàn)[16,17]確定，砂漿的材料參數(shù)由參考文獻(xiàn)[18]中的經(jīng)驗(yàn)公式確定：先將試驗(yàn)[12]中橡膠混凝土水灰比代入式(10)，求得抗壓強(qiáng)度，再將抗壓強(qiáng)度代入式(11)、(12)，求得砂漿彈模和抗拉強(qiáng)度。根據(jù)文獻(xiàn)[19-20]，骨料與砂漿界面參數(shù)為砂漿材料參數(shù)的65%，橡膠與砂漿界面參數(shù)為砂漿材料參數(shù)的35%。各相介質(zhì)材料參數(shù)取值見(jiàn)表3。

表3 各相介質(zhì)材料參數(shù)Tab.3 Material parameters of each phase medium

(10)

Em=1 000(7.7ln(fc)-5.5)

(11)

ft=1.4ln(fc)-1.5

(12)

式中：Em—砂漿彈性模量，GPa；ft—砂漿抗拉強(qiáng)度，MPa；fc—砂漿抗壓強(qiáng)度，MPa；w/c—水灰比。

3 數(shù)值模擬及破壞機(jī)理分析

3.1 加載模型

本文對(duì)100 mm×100 mm試件進(jìn)行二維單軸壓縮數(shù)值模擬。為了減少骨料分布對(duì)力學(xué)性能的影響，在骨料與橡膠顆粒含量不變的情況下，進(jìn)行三次隨機(jī)投放，生成三個(gè)混合隨機(jī)骨料模型，如圖5所示。圖中灰色為砂漿，青色為骨料，黑色為橡膠顆粒，白色為界面。

圖5 模型示意圖Fig.5 Schematic diagram of model

采用如圖6所示的加載模型進(jìn)行加載。限制底部所有點(diǎn)的豎向位移。為了避免剛體移動(dòng)，限制底部中間節(jié)點(diǎn)的水平位移。加載方式為等位移增量加載，加載步長(zhǎng)為0.01 mm /加載步。

圖6 受壓加載模型Fig.6 Compression loading model

3.2 試驗(yàn)對(duì)比

采用余能原理基面力元法進(jìn)行受力分析，獲得了應(yīng)力-應(yīng)變曲線。以應(yīng)力與峰值應(yīng)力σ0的比值為縱坐標(biāo)，以應(yīng)變與峰值應(yīng)變?chǔ)?的比值為橫坐標(biāo)，繪制橡膠混凝土歸一化應(yīng)力-應(yīng)變曲線圖，并與試驗(yàn)結(jié)果[12]進(jìn)行比較，如圖7所示。

圖7 橡膠混凝土歸一化應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.7 Normalized stress-strain curve of rubber concrete

三個(gè)不同試件的峰值應(yīng)力分別為16.07、17.01 和16.66 MPa，平均峰值應(yīng)力為16.58 MPa，與胡艷麗等試驗(yàn)數(shù)據(jù)[12]吻合較好，其中試驗(yàn)實(shí)測(cè)值為16.45 MPa，與本文結(jié)果相差在4%以?xún)?nèi)；平均值與試驗(yàn)數(shù)據(jù)僅相差0.7%。

通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)值模擬結(jié)果和試驗(yàn)的抗壓強(qiáng)度相差不大，應(yīng)力-應(yīng)變曲線在上升段擬合良好，但下降段數(shù)值模擬結(jié)果比試驗(yàn)結(jié)果略緩，這可能是因?yàn)閷?shí)際中混凝土有較多孔隙和缺陷，這些缺陷會(huì)使混凝土更易發(fā)生脆性破壞，所以強(qiáng)度降低較快。對(duì)比結(jié)果初步驗(yàn)證了使用余能原理基面力元法計(jì)算該模型的合理性與正確性。

3.3 破壞機(jī)理分析

采用Fortran程序繪制一個(gè)橡膠混凝土模型破壞過(guò)程圖，如圖8所示。圖中砂漿為淺灰色，骨料為紅色，橡膠為藍(lán)色，界面單元為白色，損傷單元為深灰色，破壞單元為黑色。

圖8 模型破壞過(guò)程圖Fig.8 Model failure process

由圖可知，破壞單元最開(kāi)始出現(xiàn)在橡膠與砂漿界面處。隨著進(jìn)一步加載，粗骨料與砂漿的界面出現(xiàn)破壞，同時(shí)相鄰較近的橡膠之間的砂漿開(kāi)始破壞，形成明顯的裂縫，裂縫在橡膠顆粒較為密集的區(qū)域開(kāi)始發(fā)展。繼續(xù)加載，當(dāng)試件到峰值強(qiáng)度附近時(shí)，粗骨料與砂漿的界面開(kāi)始大量破壞，橡膠周?chē)牧芽p會(huì)和附近的粗骨料與砂漿界面的裂縫連通，形成更長(zhǎng)的裂縫。隨后裂紋變長(zhǎng)變寬，最后裂紋貫通呈沙漏狀，裂紋與水平夾角為45°～60°。

使用Matlab繪制橡膠混凝土模型不同加載步下最大主應(yīng)變?cè)茍D與最大主應(yīng)力云圖，如圖9、圖10所示。由圖可知，加載初期，由于砂漿和粗骨料的彈模遠(yuǎn)大于橡膠的彈模，橡膠顆粒周?chē)膽?yīng)力、應(yīng)變較大。隨著加載的進(jìn)行，出現(xiàn)應(yīng)力、應(yīng)變集中現(xiàn)象，橡膠與砂漿界面單元開(kāi)始破壞。當(dāng)加載到峰值應(yīng)力時(shí)，應(yīng)力、應(yīng)變集中現(xiàn)象加劇，發(fā)生應(yīng)力、應(yīng)變重分布，破壞單元周?chē)鷨卧獞?yīng)力、應(yīng)變明顯提高，隨后開(kāi)始破壞，導(dǎo)致裂紋擴(kuò)展連通并變寬，橡膠周?chē)芽p與骨料界面處裂縫連通。隨著加載繼續(xù)進(jìn)行，裂縫間相互連通，發(fā)生貫穿現(xiàn)象，各處應(yīng)力均減小，但應(yīng)變繼續(xù)增大。

圖9 最大主應(yīng)變?cè)茍DFig.9 Maximum principal strain contour plots

圖10 最大主應(yīng)力云圖Fig.10 Maximum principal stress contour plots

通過(guò)應(yīng)力分布圖，可以看出橡膠附近區(qū)域最先出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象，因此在制備橡膠混凝土?xí)r應(yīng)當(dāng)將橡膠顆粒充分分散，以達(dá)到更高的抗壓強(qiáng)度。

通過(guò)應(yīng)變分布云圖，可以直觀準(zhǔn)確地看出裂紋從出現(xiàn)到發(fā)展的全過(guò)程，該應(yīng)力分布特征和破壞圖中裂紋特征完全一致，驗(yàn)證了損傷破壞圖的正確性。

4 橡膠摻量、粒徑對(duì)抗壓強(qiáng)度的影響

為了研究橡膠摻量、粒徑對(duì)抗壓強(qiáng)度的影響，采用上文建立的橡膠混凝土混合隨機(jī)骨料模型對(duì)橡膠粒徑為4、2 mm及摻量分別為0%、10%、20%、30%的橡膠混凝土試件進(jìn)行單軸壓縮數(shù)值模擬。模型尺寸為100 mm×100 mm，以摻量為0%的試件作為對(duì)照組。為了降低骨料隨機(jī)性的影響，對(duì)每個(gè)類(lèi)型的橡膠混凝土隨機(jī)投放三次。各試件抗壓強(qiáng)度模擬結(jié)果見(jiàn)表4。不同粒徑、摻量對(duì)橡膠混凝土抗壓強(qiáng)度的影響如圖11所示。

表4 不同橡膠粒徑、摻量的橡膠混凝土計(jì)算結(jié)果Tab.4 Calculation results of rubber concrete with different particle size and content

圖11 不同粒徑、摻量對(duì)橡膠混凝土抗壓強(qiáng)度的影響Fig.11 Effect of different rubber particle size on compressive strength of concrete

結(jié)合表4和圖11可知，普通混凝土抗壓強(qiáng)度為27.83 MPa，當(dāng)摻入橡膠粒徑為4 mm時(shí)，橡膠摻量為10%、20%、30%的橡膠混凝土抗壓強(qiáng)度為20.60、16.58、12.88 MPa，分別為普通混凝土的74.02%、59.58%、46.28%；當(dāng)摻入橡膠粒徑為2 mm時(shí)，橡膠混凝土抗壓強(qiáng)度為19.88、15.84、11.86 MPa，分別為普通混凝土的71.43%、56.92%、42.62%。

由此可見(jiàn)，隨著橡膠摻量的增加，橡膠混凝土抗壓強(qiáng)度明顯降低，最大降低幅度為58%；當(dāng)摻入10%橡膠時(shí)，強(qiáng)度下降速率較大，隨著摻量的增加下降速率逐漸降低。橡膠摻量相同時(shí)，橡膠粒徑為2 mm時(shí)的抗壓強(qiáng)度略小于粒徑為4 mm的抗壓強(qiáng)度，并且隨著橡膠摻量的增加，這種現(xiàn)象愈發(fā)明顯。這是因?yàn)殡S著橡膠顆粒粒徑的減小，橡膠顆粒的比表面積增大，比表面積的增大導(dǎo)致了橡膠與砂漿之間的界面增多，使橡膠混凝土更易破壞，所以橡膠混凝土的抗壓強(qiáng)度降低。

5 結(jié)論

1)本文建立橡膠混凝土二維隨機(jī)混合骨料模型，采用余能原理基面力元法對(duì)其單軸壓縮過(guò)程進(jìn)行模擬，得到試件的抗壓強(qiáng)度與試驗(yàn)數(shù)據(jù)相差在4%以?xún)?nèi)，模擬結(jié)果平均值與試驗(yàn)僅相差0.7%。說(shuō)明該模型可以較好模擬橡膠混凝土的力學(xué)性能。

2)在單軸靜態(tài)壓縮狀態(tài)下，橡膠與砂漿界面處發(fā)生應(yīng)力集中，破壞單元最先出現(xiàn)，并在橡膠密集區(qū)域連通。隨著加載的進(jìn)行，凸骨料較長(zhǎng)的邊與砂漿界面開(kāi)始破壞，并和橡膠密集區(qū)域裂縫連通，裂紋破壞加寬加大，裂紋主要方向?yàn)?5°～60°。

3)摻入的橡膠顆粒粒徑相同時(shí)，橡膠混凝土的抗壓強(qiáng)度隨摻量增加而顯著降低，且隨著橡膠摻量的增加下降速率降低。當(dāng)橡膠摻量相同時(shí)，橡膠粒徑4 mm時(shí)的抗壓強(qiáng)度略大于粒徑2 mm的橡膠混凝土，并隨著摻量的增加而愈發(fā)明顯。因此可以得知，橡膠摻量對(duì)橡膠混凝土的抗壓強(qiáng)度的影響程度顯著大于橡膠粒徑。