一種基于解析方法的滑翔再入軌跡快速規(guī)劃方法

曾 亮,薛 輝,劉 歡,涂國勇

(酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心 技術部,甘肅 酒泉 735000)

為了提升飛行器的任務適應性、可靠性及性價比,新一代再入飛行器正逐漸向自主化、智能化方向發(fā)展。對各類航天器飛行事故的調(diào)查表明,如果飛行器具備更強的自主性和智能性,很多飛行事故是可以避免的。在NASA的空間發(fā)射行動計劃(Space Launch Initiative,SLI)中,再入飛行器的自主性和自適應性已經(jīng)作為衡量飛行器的重要指標。要使飛行器實現(xiàn)自主化、智能化,則飛行器應具備在線進行軌跡規(guī)劃的能力。

對于在線軌跡規(guī)劃,數(shù)值方法被廣泛采用。LIN等為解決飛行器臨時偵查任務的軌跡設計問題,將軌跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為一個兩級優(yōu)化問題,實現(xiàn)了軌跡的快速規(guī)劃。SHEN等引入一套側(cè)向控制算法,基于平衡滑翔理論,發(fā)展了一種三維軌跡在線規(guī)劃算法。盡管這些方法在一定程度上提升了軌跡規(guī)劃速度,采用數(shù)值方法也能夠?qū)崿F(xiàn)軌跡的高精度計算,但其龐大的計算量會大幅加重飛行器自載計算機的計算負擔,其要實現(xiàn)工程應用還有待于計算機技術的快速發(fā)展。

相對于數(shù)值方法,解析方法的計算量要更小。在再入運動解析理論的研究上,文獻[7]推導出了飛行器再入的解析解,拓展了解析解的適用范圍,并給出了航程和時間的解析解。相較于直接再入飛行器,升力式再入飛行器的氣動系數(shù)不為零,且隨著飛行器自身的狀態(tài)變化。氣動力升力的存在使得飛行器的再入軌跡變得可控可設計,但也加大了解析理論的研究難度。MITITELU推導了升阻比為常值情況下升力再入2-D軌跡的解析解。文獻[10]推導了適用于高超聲速滑翔問題的解析解。相對于數(shù)值方法,這些解析理論的精度較低且前提假設較多,難以滿足再入軌跡在線規(guī)劃的需求。

本文研究了一種基于解析方法的再入軌跡在線快速規(guī)劃方法大幅減小軌跡預測的計算量。為提升預測軌跡的精度,分階段推導了速度和當?shù)厮俣葍A角相對于高度的解析解,并給出了階段劃分的方法和依據(jù)。為簡化軌跡規(guī)劃過程,基于推導得到的解析解,將再入相關約束轉(zhuǎn)化為軌跡參數(shù)約束范圍。在軌跡參數(shù)的約束范圍內(nèi),根據(jù)軌跡參數(shù)與待飛航程之間一一對應的關系,通過迭代校正軌跡參數(shù)獲取滿足任務需求的再入軌跡,實現(xiàn)再入軌跡的在線規(guī)劃。文中通過與數(shù)值仿真對比,分析解析方法的精度并驗證軌跡規(guī)劃方法的適用性。

1 問題描述

1.1 運動方程

再入飛行器的動力學方程的矢量表達式為

(1)

式中:為從地球中心到飛行器質(zhì)心的矢量,為氣動力矢量,為重力加速度矢量,為科氏力加速度矢量,為離心慣性力加速度矢量。由于離心慣性力加速度對飛行器的影響量級僅為10,因此忽略該項產(chǎn)生的誤差也相對較小。對應于矢量形式的動力學方程,基于圓球旋轉(zhuǎn)地球假設的三維運動可以表示為

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

式中:和分別為經(jīng)度和緯度,為相對速度,為當?shù)厮俣葍A角,為速度方位角,為從地球中心到飛行器質(zhì)心的矢量長度,為傾側(cè)角,為地球自轉(zhuǎn)角速度,和分別為升力系數(shù)和阻力系數(shù),為飛行器的參考面積,為飛行器的質(zhì)量,為大氣密度,重力加速度=981 m/s。根據(jù)圓球地球假設,地球矢徑長度與高度的關系為

=+

(8)

式中:為地球平均半徑。為便于分析推導,大氣密度采用指數(shù)大氣模型:

=e-

(9)

式中:為大氣系數(shù),可認為是常數(shù),為海平面的標準大氣密度。

1.2 再入過程約束條件

(10)

(11)

(12)

若上述3種過程約束描述在速度-高度坐標系下,則這3種過程約束的表達式為

(13)

(14)

(15)

2 再入階段劃分及運動特性分析

2.1 飛行器滑翔再入階段劃分方法

(16)

在飛行器再入過程中,這2種狀況都有可能出現(xiàn)。第一種狀況一般出現(xiàn)在以高于第一宇宙速度再入的初期階段,而第二種狀況一般出現(xiàn)在以低于第一宇宙速度再入的初期階段和再入末期階段。根據(jù)式(16)中2種狀況的定義,結合當?shù)厮俣葍A角微分式(6),在忽略科氏力條件下,可得到速度和高度的關系式為

(17)

式(17)中的不等式與當?shù)厮俣葍A角的余弦相關,而在整個再入階段中,當?shù)厮俣葍A角的幅值都比較小,因此當?shù)厮俣葍A角的余弦可近似為1。由此,式(17)中的不等式變?yōu)?/p>

(18)

結合過程約束式(13)～(15)及不能滿足平衡滑翔條件的狀態(tài)區(qū)間式(18),可在速度-高度坐標系下得到可實現(xiàn)平衡滑翔飛行區(qū)域,如圖1所示。圖中,Case 1限制區(qū)為第一種狀況中因能力過剩而不能實現(xiàn)平衡滑翔飛行的區(qū)域;Case 2限制區(qū)為第一種狀況中因能力不足而不能實現(xiàn)平衡滑翔飛行的區(qū)域,約束限制區(qū)為過程約束(如熱流約束、過載約束、動壓約束等)而形成的限制區(qū)域。

圖1 某飛行器再入可平衡滑翔飛行能力區(qū)域圖

此外,飛行器能否平衡滑翔飛行,還與再入飛行器的實際當?shù)厮俣葍A角相關。所以,可以將再入飛行器能否實現(xiàn)平衡滑翔飛行和再入飛行器的實際當?shù)厮俣葍A角是否滿足滑翔條件,作為飛行器實現(xiàn)滑翔飛行的判斷條件。對于再入速度小于第一宇宙的升力式再入飛行器,其再入過程一般可劃分為2個階段:初始下降段和滑翔飛行段。其中,初始下降段為飛行器初始進入大氣層的階段,該階段大氣密度稀薄,飛行器在各力的作用下不能實現(xiàn)平衡滑翔飛行;滑翔飛行段是在飛行器高度降低到一定程度,當?shù)厮俣葍A角接近于零后,氣動升力足以使飛行器實現(xiàn)平衡滑翔飛行的階段。如果飛行器開始能夠保持平衡滑翔飛行狀態(tài),飛行器狀態(tài)則由初始下降段過渡到滑翔飛行段。判斷飛行器是否進入滑翔飛行段的條件,如下式所示:

(19)

式中:,f0為偏滑翔飛行段起始點處的當?shù)厮俣葍A角。

結合圖1中的某飛行器再入可平衡滑翔飛行能力區(qū)域圖,圖2中給出了該飛行器某條再入軌跡的階段劃分。

圖2 某飛行器器升力式再入階段劃分

對于探月飛船這類再入速度大于第一宇宙速度依靠升力再入的飛行器,其整個再入過程可以劃分為3個階段:初始下降段、滑翔飛行段和末段,如圖3所示。其中,在初始下降段,由于探月飛船再入的速度大(接近第二宇宙速度)、能力強,其前期不能保持平衡滑翔飛行主要受第一種狀況限制;滑翔飛行段與再入速度小于第一宇宙的再入飛行器相似,末段探月飛船由于飛行能力不足,不再能保持平衡滑翔飛行。對于探月飛船再入,飛船開始由初始下降段過渡到滑翔飛行段的狀態(tài)應滿足:

(20)

滑翔飛行段過渡到末段的狀態(tài)應滿足:

(21)

圖3 探月飛船滑翔再入階段劃分

2.2 飛行器滑翔再入軌跡特性

結合式(6),可求得以高度為自變量的當?shù)厮俣葍A角的二階微分方程在忽略科氏力后為

(22)

式中:

(23)

設函數(shù):

(24)

則式(22)轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

(25)

由式(25)可知,若(,)始終小于零,且當?shù)厮俣葍A角的初值小于零,則當?shù)厮俣葍A角將始終小于零,即若,f0<0,則在整個滑翔飛行段,再入飛行器的高度將單調(diào)持續(xù)下降。

在滑翔飛行段,氣動升力占據(jù)主導作用,結合式(24),式中氣動升力項的表達式為主導項,通過設計傾側(cè)角幅值函數(shù),可將(,)構造為

(,)=-e-

(26)

式中指數(shù)函數(shù)恒為正,則軌跡參數(shù)的符號即決定了函數(shù)(,)的正負。若軌跡參數(shù)取正值,則飛行器的高度在滑行飛行段將單調(diào)下降。此外,結合式(24)和式(26)可知,構造式(26)所示函數(shù)對應的傾側(cè)角幅值函數(shù)為

(27)

從式(27)可以看到,軌跡參數(shù)和傾側(cè)角幅值具有一一對應的函數(shù)關系,根據(jù)式(27)所示可確定傾側(cè)角任意取值下對應的軌跡參數(shù)。結合式(25)～式(26),則可得到:

(28)

引入軌跡參數(shù),即可用簡單的參數(shù)描述一條高度單調(diào)的滑翔再入軌跡,改變軌跡參數(shù)的大小即可改變飛行器高度升降的快慢,進而直接改變再入軌跡航程的長短。在滑翔飛行段,相較于傾側(cè)角,能更好描述滑翔飛行類軌跡的特性。

3 再入運動解析理論推導

為快速獲取飛行器滑翔再入的縱向軌跡,可以求解飛行器再入軌跡速度和高度的解析表達式。根據(jù)前面所述的再入階段劃分,一般飛行器滑翔再入都包含初始下降段和滑翔飛行段。因此,本節(jié)以這兩段為例進行推導。

3.1 前提和假設

再入運動方程非線性強,涉及系統(tǒng)復雜,直接求解運動方程得到解析解難度較大。為得到初始下降段和滑翔飛行段的解析解,作如下假設:

①假設升力系數(shù)和阻力系數(shù)在一定范圍內(nèi)不變。雖然飛行器實際再入過程中氣動系數(shù)隨著飛行器狀態(tài)變化,但變化速率相對較小,在一定范圍內(nèi)認為其不變是合適的;

②假設攻角剖面由再入過程約束和再入任務的需求確定,傾側(cè)角是質(zhì)心運動唯一的控制參數(shù);

③在整個再入過程中,當?shù)厮俣葍A角數(shù)值較小,能夠滿足sin≈和cos≈cos的假設。

3.2 初始下降段解析解推導

根據(jù)式(2)、式(6)和式(23),有:

(29)

式中:

(30)

由于在初始下降段對、和不敏感,因此,可被看做一個初始常值,表達式為

(31)

式中:,,,,為再入點處初始狀態(tài)量。由此,求解式(29)得:

(32)

微分方程的積分常數(shù)為

(33)

根據(jù)式(29)的解,有:

(34)

根據(jù)式(2)和式(5),有:

(35)

在初始下降段,高度變化對阻力加速度的影響要遠大于速度變化的影響。因此,在該階段可以忽略速度對阻力加速度的影響。將式(34)代入式(35)中,可以得到:

(36)

盡管式(36)是一個一階微分方程,但仍難以求解得到它的解析解。但是,微分方程(36)的解卻可以通過數(shù)值方法快速求解得到。式(36)的數(shù)值方法求解表達式為

(37)

積分常數(shù),的表達式為

(38)

(39)

因此,速度的數(shù)值積分表達形式的為

(40)

由于當?shù)厮俣葍A角在初始下降段的變化范圍較小,式(35)中的當?shù)厮俣葍A角可近似看作常值,由此式(35)變?yōu)?/p>

(41)

式(41)的解析解為

(42)

3.3 滑翔飛行段解析解推導

在滑翔飛行段引入軌跡參數(shù),求解式(28),可得當?shù)厮俣葍A角的表達式為

(43)

積分常數(shù)的表達式為

(44)

式中:分別是滑翔飛行段起始點處的高度。

在滑翔飛行段,阻力加速度要遠大于重力項在速度方向上的分量。因此,重力項的分量可以忽略。將當?shù)厮俣葍A角的表達式代入式(35)中,式(35)可簡化為

(45)

式(45)的解為

(46)

積分常數(shù)的表達式為

(47)

式中:為滑翔飛行段起始點處的速度。速度的表達式為

(48)

3.4 解析解有效性分析

引入數(shù)值解和羅赫二階解,來驗證初始下降段和滑翔飛行段解析解的有效性和準確性。在仿真對比分析中,飛行器的質(zhì)量為800 kg,參考面積為0.5 m。和分別為0.966 2和0.707 4。飛行器的再入速度為7 500 m/s,再入高度為120 km,再入角為-1.0°,再入方位角為50°,再入點的經(jīng)緯度都為30°。初始再入段的當?shù)厮俣葍A角為45°,滑翔飛行段的軌跡參數(shù)=0.1。

圖4和圖5為初始下降段當?shù)厮俣葍A角和速度的計算對比分析圖。從圖4和圖5可以看到,初始下降段的解析解得到的結果與數(shù)值解間的誤差較小,但要明顯優(yōu)于羅赫二階解。這是由于在羅赫二階解的推導過程中忽略了科氏力,而在初始下降段科氏力在縱向分量的量級和縱向上其他力合力的量級相當,因此不能被忽略。

圖4 初始下降段中當?shù)厮俣葍A角解的對比圖

圖5 初始下降段中速度解的對比圖

圖6和圖7中分別給出了滑翔飛行段速度和當?shù)厮俣葍A角的計算對比分析圖。從圖中可以看到,滑翔飛行段解析解的與數(shù)值解的結果比較接近,整體優(yōu)于羅赫二階解。但相較于初始下降段,羅赫解的準確性有了較大的提升,這是由于滑翔飛行段氣動升力成為主導力,科氏力的影響基本可以忽略。

圖6 滑翔飛行段當?shù)厮俣葍A角各解比較

圖7 滑翔飛行段速度各解比較

從圖4～圖7的對比圖中可以看到,初始下降段和滑翔飛行段解析解與數(shù)值解的差別較小。與經(jīng)典羅赫二階相比較,分階段推導的初始下降段和滑翔飛行段解析解的精度明顯更高,尤其是在初始下降段。此外,初始下降段和滑翔飛行段解析解的表達式更為簡單,更便于求解。

4 再入軌跡規(guī)劃方法

基于上節(jié)推導得到的飛行器滑翔式再入解析解,進行再入軌跡快速規(guī)劃。對于一般再入任務,滿足再入約束條件和再入終端指標是規(guī)劃再入軌跡的基本要求。其中,再入約束條件有傾側(cè)角幅值約束、熱流約束、過載約束和動壓約束;再入終端縱向指標有再入終端的高度、速度和待飛航程。

4.1 再入約束條件處理

在滑翔飛行段,軌跡構型通過軌跡參數(shù)設計。根據(jù)式(27)中軌跡參數(shù)與傾側(cè)角間的關系及傾側(cè)角本身的取值空間,首先可以得到控制變量約束條件下的軌跡參數(shù)的取值范圍為

(49)

結合式(26)定義軌跡參數(shù)時確定其為正值,因此,在控制變量約束條件下軌跡參數(shù)的取值范圍為

(50)

圖8 控制量約束下的軌跡參數(shù)取值范圍

由式(10)～式(12)可知,在再入過程中,其他狀態(tài)不變的情況下,飛行器的熱流密度、過載和動壓都與大氣密度的大小呈正相關關系。初始下降段整個階段都處于大氣密度稀薄區(qū)域,3種過程約束的峰值一般都出現(xiàn)在滑翔飛行段。因此,主要在滑翔飛行段考慮再入過程約束處理。

上一節(jié)中推導的滑翔飛行段速度相對于高度的解析解及式(13)～式(15)所示的過程約束表達式,可以得到由軌跡參數(shù)和高度表示的過程約束表達式:

(51)

(52)

(53)

根據(jù)式(51)～式(53)中所示的不等式,可進一步轉(zhuǎn)化為軌跡特征參數(shù)的取值區(qū)間:

(54)

(55)

(56)

過程約束條件下軌跡參數(shù)的取值區(qū)間即為由式(54)～式(56)組成的不等式方程組的解。而上述3個不等式方程都有如下結構:

(57)

式(57)所示不等式方程的解為

(58)

由式(58)可知,取值越大,的取值區(qū)間越小;取值越小,的取值區(qū)間越大。因此,在過程約束條件下軌跡參數(shù)的取值區(qū)間為

(59)

(60)

結合式(50)中軌跡參數(shù)在控制量約束下的取值范圍和式(59)中軌跡參數(shù)在過程約束下的取值范圍,軌跡參數(shù)的實際取值范圍為

0<≤

(61)

(62)

4.2 再入終端指標滿足

再入終端縱向指標有再入終端的高度、速度和待飛航程,其中終端的高度作為再入段的截止條件;終端的速度可通過攻角剖面的設計來滿足。在終端的待飛航程上,初始下降段氣動力小,對飛行器的再入軌跡影響有限,可將初始下降段傾側(cè)角設置為零,通過調(diào)整滑翔飛行段的軌跡參數(shù)來滿足待飛航程。

(63)

根據(jù)再入運動微分方程,在不考慮側(cè)向運動對縱向運動影響的條件下,飛行器的待飛航程對高度的微分為

(64)

在滑翔飛行段,當?shù)厮俣葍A角為小量,式(64)可近似為

(65)

(66)

(67)

(68)

通過引入有界試位法,迭代校正軌跡參數(shù)。有界試位法的基本原理為提前試位給出2個軌跡參數(shù)和,使得:

()·()<0

(69)

并通過下式求得新的制導參數(shù):

(70)

并通過軌跡預測進一步求得(),并根據(jù)()的符號判斷用(,())替代(,())還是(,()),最終使得()能夠滿足:

|()|≤

(71)

式中:為終端待飛航程指標精度要求。

4.3 軌跡規(guī)劃方法有效性分析

在某一再入任務下,基于上述軌跡規(guī)劃方法規(guī)劃出滿足再入任務要求的軌跡并獲得該軌跡對應的軌跡參數(shù)?；谑?27),利用數(shù)值方法得到該指令剖面下的再入軌跡,期間不調(diào)整攻角剖面。以數(shù)值方法結果作為實際再入軌跡,通過對比分析2條再入軌跡,驗證該基于解析方法的滑翔再入軌跡規(guī)劃方法的有效性。

在仿真驗證中,飛行器的質(zhì)量為800 kg,參考面積為0.5 m,飛行器的氣動系數(shù)表與X-34一致。飛行器的再入速度為7 500 m/s,再入高度為120 km,再入角為-1.0°,再入方位角為50°,再入起始點的經(jīng)緯度都為30°,再入任務航程為7 263.3 km,再入終端點高度為20 km。飛行器再入的攻角剖面為

(72)

基于解析方法的滑翔再入軌跡規(guī)劃方法規(guī)劃出的再入滑翔軌跡的當?shù)厮俣葍A角、速度、航程和傾側(cè)角,并與實際再入軌跡進行比較,結果如圖9～圖12所示。從圖9中可以看到,利用解析解規(guī)劃的速度傾角軌跡與數(shù)值方法計算得到實際軌跡總體吻合,其結果與圖4和圖6一致。圖10中重合的航程高度對比圖進一步驗證了由解析解推導得到的航程計算式(65)和式(66)的正確性。圖11給出了過程約束邊界。從圖中可以看到,在對再入約束條件進行處理后,規(guī)劃得到的再入軌跡都能夠滿足過程約束要求。圖11給出了將解析解代入式(26)得到的傾側(cè)角與數(shù)值方法的對比圖。從圖中可以看到,由于解析方法規(guī)劃得到的再入軌跡只考慮飛行器再入的縱向運動,因此得到的傾側(cè)角曲線只有幅值沒有符號;數(shù)值方法既考慮了飛行器縱向運動也考慮了飛行器側(cè)向運動,其傾側(cè)角曲線有幅值和符號,但2種方法計算得到的傾側(cè)角幅值相當。從圖9～圖12可以看到,在給定的再入任務條件下,基于該軌跡規(guī)劃方法不僅可以快速規(guī)劃出滿足任務航程的再入滑翔軌跡,并且基于解析方法規(guī)劃出的再入軌跡與數(shù)值方法規(guī)劃出的軌跡之間誤差較小,具有較高的精度。

圖9 當?shù)厮俣葍A角比較

圖10 航程-高度曲線比較

圖11 速度-高度曲線比較

圖12 傾側(cè)角曲線比較

5 結束語

本文推導了一種基于解析方法的滑翔再入軌跡規(guī)劃方法。該軌跡規(guī)劃方法能基于推導的解析方法快速預測軌跡,并將過程約束、航程、傾側(cè)角等轉(zhuǎn)化為解析表達式,實現(xiàn)了滿足約束條件的再入軌跡的快速規(guī)劃。該軌跡規(guī)劃方法能快速規(guī)劃出較高精度的再入軌跡,使得高精度的再入軌跡規(guī)劃由離線走向在線,推動再入飛行器向自主智能方向發(fā)展。