二維十次準(zhǔn)晶矩形薄板的屈曲分析

趙延軍，周彥斌，2，劉官廳，2

（1.內(nèi)蒙古師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022；2.內(nèi)蒙古自治區(qū)應(yīng)用數(shù)學(xué)中心，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022）

以色列科學(xué)家Shechtman［1］在Al‐Mn 合金中首次觀察到具有準(zhǔn)周期平移對稱性和非晶體旋轉(zhuǎn)對稱性的準(zhǔn)晶，改變了化學(xué)、物理學(xué)和材料科學(xué)領(lǐng)域的科學(xué)家構(gòu)思固體物質(zhì)的方式。這一新發(fā)現(xiàn)將材料科學(xué)推向新時代。自從發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)晶以來，已經(jīng)證實超過100 種不同的金屬合金系統(tǒng)可以提供準(zhǔn)晶相。這些固體中原子的排列表現(xiàn)出長程有序，但缺乏表征常規(guī)晶體的三維周期性和平移對稱性。由于獨特的結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)晶具有許多特殊的物理性能，如低摩擦系數(shù)、低附著力、高耐磨性和導(dǎo)熱性。因此，準(zhǔn)晶的研究引起了凝聚態(tài)物理、材料科學(xué)、力學(xué)等研究人員的廣泛關(guān)注。

對于準(zhǔn)晶的彈性問題，已經(jīng)獲得了大量的分析結(jié)果［2-5］。十次準(zhǔn)晶經(jīng)常被發(fā)現(xiàn)，因為觀察到的準(zhǔn)晶幾乎一半屬于這一類。這些二維準(zhǔn)晶的原子排列在平面上是準(zhǔn)周期的，在第三方向上是周期的。Xu 等［6］利用推廣的Stroh 公式，得到了具有壓電效應(yīng)的二維十次準(zhǔn)晶在物理載荷作用下的無限平面格林函數(shù)。Li 等［7］導(dǎo)出了考慮熱效應(yīng)的功能梯度多層十次準(zhǔn)晶板的精確解。Yang 等［8］給出了二維準(zhǔn)晶簡支納米板在上表面溫度變化下的三維熱彈性解析解。Li 等［9］研究了功能梯度多層準(zhǔn)晶納米板的非局域效應(yīng)，導(dǎo)出了功能梯度二維準(zhǔn)晶體納米板在表面上受局部載荷作用時的精確解。Hosseini 等［10］采用MLPG 方法，對二維十次準(zhǔn)晶在瞬態(tài)熱沖擊載荷和機械沖擊載荷作用下的各向異性瞬態(tài)熱彈性進(jìn)行了分析，采用波型模型和彈性流體力學(xué)模型分別推導(dǎo)了聲子場和相位子場控制方程。

Bellman 和Casti［11］提出的微分求積法是一種求解初值和邊值問題的有效數(shù)值方法。這種方法已經(jīng)得到較好發(fā)展，并成功應(yīng)用于解決結(jié)構(gòu)力學(xué)中的問題。鑒于在十次準(zhǔn)晶薄板中非線性分布邊緣載荷的情況下，很少有以前的解決方案可用的事實，本文采用微分求積法求解十次準(zhǔn)晶矩形薄板在兩側(cè)余弦分布壓縮載荷作用下的屈曲問題。通過微分求積法得到了面內(nèi)應(yīng)力分布，并以圖形給出了聲子場和相位子場的應(yīng)力分布?；诒“迩男隙壤碚?，推導(dǎo)了準(zhǔn)晶薄板的撓度方程，并用微分求積法求解屈曲系數(shù)。

1 問題陳述

1.1 基本方程

考慮承受單軸非均勻分布邊緣載荷的二維十次準(zhǔn)晶薄矩形板，將有兩個準(zhǔn)周期方向設(shè)為x軸和y軸，將周期軸表示為z軸。矩形板位于xoy平面，如圖1 所示。

圖1 非線性分布邊緣壓縮下的矩形板Fig.1 Rectangular plates under nonlinearly distributed edge compressions

因此，相應(yīng)的本構(gòu)方程為［12］

其中

其中：逗號代表偏導(dǎo)數(shù)；σij和Hij代表聲子場和相位子場的應(yīng)力；εij和ωij分別代表聲子場和相位子場的應(yīng)變；ux，uy和wx，wy分別代表聲子場和相位子場的位移分量；K1和K2是相位子場的彈性常數(shù)；R1和R2是聲子場‐相位子場耦合的彈性常數(shù)。L=C12，M=(C11-C12)/2，其中C11和C12表示聲子場的彈性常數(shù)。

在不考慮體力情況下的平衡方程為

控制方程可以用聲子場和相位子場位移ux，uy，wx，wy表示為

其中?2=?2x+?2y是二維拉普拉斯算子。

根據(jù)Kirchhoff 假設(shè)，可以得到彎矩定義為

撓度υ的控制微分方程為

其中：D=(L+2M)h3/12，μ=L/(2M+L)，h是板的厚度。

1.2 邊界條件

與傳統(tǒng)晶體不同，準(zhǔn)晶中有兩種基本場，一種是描述原子位置變化或波傳播的普通聲子場，另一種是描述局部原子組態(tài)重排或原子躍遷的相位子場。考慮邊長為a和b的二維十次準(zhǔn)晶矩形薄板承受單軸余弦分布邊緣載荷，如圖1 所示。

聲子場的邊界條件為

考慮添加相位子場邊界條件為

其中σ0和H0為給定常數(shù)。相位子場是準(zhǔn)晶特有的，其幾何意義是無公度penrose 拼砌所表現(xiàn)出的局部重排。準(zhǔn)晶的聲子場和相位子場是耦合的，因此在下面的分析中，假設(shè)相位子場的機械載荷H0=0。

對于屈曲分析，考慮的簡支（S）邊界條件為

考慮的固支（C）邊界條件為

2 微分求積法求解過程

非線性分布壓縮載荷屈曲分析更為復(fù)雜，因其需要首先解決平面彈性問題以獲得平面內(nèi)應(yīng)力的分布，然后解決屈曲問題。為了求解控制方程（4），應(yīng)用了微分求積法。設(shè)x和y方向的網(wǎng)格節(jié)點數(shù)為Nx和Ny。圖2 顯示了7×7 的網(wǎng)格節(jié)點，每個點有四個節(jié)點自由度，即(ux)ij，(uy)ij，(wx)ij，(wy)ij(i，j=1，2，…，N)。

圖2 網(wǎng)格節(jié)點為7×7 的矩形板圖Fig.2 Sketch of a rectangular plate with 7×7 grid spacing

根據(jù)文獻(xiàn)［13］和插值原理的基礎(chǔ)，對于在區(qū)間[a，b]連續(xù)可微的函數(shù)f(x，y)，網(wǎng)格點(xi，yj)處的偏導(dǎo)數(shù)可以寫成

其中fmj=f(xm，yj)，=?t pm(xi)/?xt；fim=f(xi，ym)，=?s pm(yj)/?xs；和分別是函數(shù)f(x，y)的t階導(dǎo)數(shù)和s階導(dǎo)數(shù)的加權(quán)系數(shù)。

在微分求積分析時，為了達(dá)到最好的收斂速度，采用如下非均勻網(wǎng)格間距

而插值函數(shù)選擇拉格朗日插值函數(shù)，即

拉格朗日插值函數(shù)是微分求積法中最原始的插值函數(shù)，微分求積法最初提出時，采用了拉格朗日插值，可以得到一階權(quán)重系數(shù)的顯示表示，可以減少誤差。

內(nèi)部網(wǎng)格點的控制微分方程（4）可以表示為

其中：Nx=Ny=N；i，l=2，3，…，N-1；是關(guān)于x或y的二階導(dǎo)數(shù)的加權(quán)系數(shù)，并且是關(guān)于x或y的一階導(dǎo)數(shù)的加權(quán)系數(shù)。

將邊界條件用微分求積法進(jìn)行離散聯(lián)合內(nèi)部節(jié)點方程，可以得到4(N×N)方程，將其寫成矩陣形式得到以下等式

其中Kmn(m，n=1，2，3，4)是系數(shù)矩陣，F(xiàn)1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4和ux，uy，wx，wy是向量。

通過求解方程組（18），得到所有網(wǎng)格點的位移，從而得到任意網(wǎng)格點的應(yīng)力分量。

在矩形薄板穩(wěn)定性分析中，為了解決施加邊界條件的問題，在邊界點添加了自由度。內(nèi)點有一個自由度，即υij(i=2，3，…，Nx-1；j=2，3，…，Ny-1)；四個角點有三個自由度，即υij，υij，x，υij，y(i=1，Nx；j=1，Ny)；其余邊界點分別有兩個自由度，即平行于x軸邊上的點為υij，υij，y(i=1，2，…，Nx；j=1，Ny)，平行于y軸邊上的點為υij，υij，x(i=1，Nx；j=1，2，…，Ny)。

方程（6）在內(nèi)部網(wǎng)格點表示為

其中：i=2，3，…，Nx-1；l=2，3，…，Ny-1；是關(guān)于x或y的四階導(dǎo)數(shù)的加權(quán)系數(shù)。

對于簡支或固支矩形板的屈曲，υ沿所有邊界始終為零。由于添加了邊界點的υ，x或υ，y作為自由度，公式（10）的邊界條件可以很容易地應(yīng)用?？紤]簡單支持邊界公式（9）可以表示為

因此，對于準(zhǔn)晶矩形薄板的屈曲分析，微分求積方程可以寫成矩陣形式

其中

[K]和[P]是系數(shù)矩陣。

施加邊界條件后，用于屈曲分析的準(zhǔn)晶矩形薄板的微分積分方程變?yōu)?/p>

其中下標(biāo)b和i表示邊界和內(nèi)部點的數(shù)量。為了解決方程（23）的廣義特征值問題，最小特征值是屈曲載荷。k是屈曲系數(shù)，定義為

消除{υb}，等式（23）變?yōu)?/p>

求解方程（25）的廣義特征值問題，可以得到屈曲系數(shù)k。

3 數(shù)值結(jié)果和討論

考慮余弦分布壓縮下具有三個縱橫比的矩形薄板，即a/b=0.5，1，3，其中a和b是圖1 所示矩形板的長度和寬度。取Al‐Ni‐Co 十次準(zhǔn)晶的相關(guān)參數(shù)，聲子場的彈性常數(shù)C11=234.4 GPa，C12=57.41 GPa，相位子場的彈性常數(shù)K1=122 GPa，K2=24 GPa，聲子場‐相位子場耦合的彈性常數(shù)R1=-1.1 GPa，R2=0.2 GPa。

為了清晰地顯示應(yīng)力擴(kuò)散現(xiàn)象，平面應(yīng)力分量σxx，σxy，σyy和Hxx，Hxy，Hyx，Hyy的分布，引入以下歸一化變量進(jìn)行無量綱化處理

聲 子 場 的 應(yīng) 力 分 布 如 圖3—5 所 示，相 位 子 場 的 應(yīng) 力 分 布 如 圖6—9 所 示。（a）（b）（c）分 別 對 應(yīng)a/b=0.5，1，3。

圖3 面內(nèi)應(yīng)力分布σxx/σ0Fig.3 Distribution of in‐plane stress σxx/σ0

從圖3—9 可以看出，應(yīng)力邊界條件得到較好滿足。從圖3 和圖6 可以看出，當(dāng)縱橫比a/b=0.5 甚至更小時，和的分布與施加的邊緣應(yīng)力相似；而當(dāng)縱橫比a/b=3 甚至更大時和的分布接近均勻分布，并相位子場應(yīng)力的分布小于聲子場應(yīng)力的分布。此外，由圖4-5 和圖7—9 可知，其他面內(nèi)應(yīng)力分量和對于所有三個縱橫比都不是零；當(dāng)縱橫比大時，較長板中間區(qū)域和接近于零，這與圣維南原理一致。可以看出受非均勻分布載荷時，二維十次準(zhǔn)晶薄板內(nèi)的應(yīng)力分布與邊緣處的載荷不同。對于屈曲分析時，二維十次準(zhǔn)晶薄板受余弦分布壓縮時不能忽略次要應(yīng)力對臨界載荷的影響，影響的大小取決于邊界條件和二維十次準(zhǔn)晶薄板的長寬比。由于相位子場是一個擴(kuò)散場，它不同于聲子場，應(yīng)力分量和不同，如圖8-9 所示。

圖4 面內(nèi)應(yīng)力分布σyy/σ0Fig.4 Distribution of in‐plane stress σyy/σ0

圖6 面內(nèi)應(yīng)力分布Hxx/σ0Fig.6 Distribution of in‐plane stress Hxx/σ0

圖7 面內(nèi)應(yīng)力分布Hyy/σ0Fig.7 Distribution of in‐plane stress Hyy/σ0

圖8 面內(nèi)應(yīng)力分布Hxy/σ0Fig.8 Distribution of in‐plane stress Hxy/σ0

圖5 面內(nèi)應(yīng)力分布σxy/σ0Fig.5 Distribution of in‐plane stress σxy/σ0

圖9 面內(nèi)應(yīng)力分布Hyx/σ0Fig.9 Distribution of in‐plane stress Hyx/σ0

關(guān)于縱橫比a/b=0.5，1，3 的二維十次準(zhǔn)晶矩形薄板在單軸余弦分布下的屈曲，四邊簡支的邊界條件用SSSS 表示。x=-a/2 和x=a/2 的邊界固支，y=-b/2 和y=b/2 的邊界簡支條件用CSCS 表示。對具有SSSS、CCCC、CSCS、SCSC、SSCC 五種邊界條件組合的板進(jìn)行收斂性檢驗。表1-5 列出了不同網(wǎng)格點數(shù)量的微分求積結(jié)果，可以看出，當(dāng)所有縱橫比N=15 時，可以獲得收斂結(jié)果；a/b越大，收斂速度越慢，因為在分析中x方向和y方向使用相同數(shù)量的網(wǎng)格點。

表1 余弦分布邊緣壓縮下SSSS 板的屈曲系數(shù)kTab.1 Buckling coefficients k of SSSS plates under cosine‐distributed edge compression

表2 余弦分布邊緣壓縮下CCCC 板的屈曲系數(shù)kTab.2 Buckling coefficients k of CCCC plates under cosine‐distributed edge compression

表3 余弦分布邊緣壓縮下CSCS 板的屈曲系數(shù)kTab.3 Buckling coefficients k of CSCS plates under cosine‐distributed edge compression

表4 余弦分布邊緣壓縮下SCSC 板的屈曲系數(shù)kTab.4 Buckling coefficients k of SCSC plates under cosine‐distributed edge compression

表5 余弦分布邊緣壓縮下SSCC 板的屈曲系數(shù)kTab.5 Buckling coefficients k of SSCC plates under cosine‐distributed edge compression

N=15 時微分求積法的屈曲系數(shù)k（表6），考慮了承受單軸余弦分布邊緣載荷的二維十次準(zhǔn)晶矩形薄板在9 種邊界條件組合的屈曲系數(shù)，即SSSS、CCCC、CSCS、SCSC、SSCC、SSCS、SCSS、CCCS 和CCSC。對于每個邊界條件，考慮3 個縱橫比。從表6 中，可以清楚地看到邊界條件以及縱橫比對屈曲載荷的影響，并且準(zhǔn)晶的屈曲系數(shù)大于無相位子場的經(jīng)典材料的屈曲系數(shù)，這表明相位子場的存在使得準(zhǔn)晶材料不易發(fā)生屈曲行為。

表6 余弦分布邊緣壓縮下準(zhǔn)晶板的屈曲系數(shù)kTab.6 Buckling coefficient k of QCs plates under cosine distributed edge compression

4 結(jié)論

本文討論了在余弦分布下壓縮的二維十次準(zhǔn)晶矩形薄板的應(yīng)力分布和屈曲分析。主要結(jié)果如下：

（1）為了求解應(yīng)力分布，使用了微分求積法獲得應(yīng)力分布，并以圖形方式顯示應(yīng)力分布，從而可以清楚看到應(yīng)力分布變化。

（2）推導(dǎo)了二維十次準(zhǔn)晶矩形薄板的撓度微分控制方程，數(shù)值結(jié)果清楚地顯示了相位子場對矩形薄板屈曲的影響。

（3）有相位子場的屈曲系數(shù)大于無相位子場的屈曲系數(shù)，表明相位子場的存在使準(zhǔn)晶材料不易發(fā)生屈曲行為。