兩參數(shù)指數(shù)分布的位置參數(shù)區(qū)間估計(jì)研究★

徐亞茹，徐曉嶺，顧蓓青

（上海對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與信息學(xué)院，上海 201620）

0 引言

兩參數(shù)指數(shù)分布是可靠性統(tǒng)計(jì)中非常重要的壽命分布模型之一，其在工兵器械、航天航空、生物醫(yī)學(xué)和醫(yī)療保險(xiǎn)等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。

設(shè)總體X服從位置參數(shù)為μ、刻度參數(shù)為θ的兩參數(shù)指數(shù)分布exp（μ，θ），其分布函數(shù)F（x）和密度函數(shù)f（x）分別為：

關(guān)于兩參數(shù)指數(shù)分布總體位置參數(shù)區(qū)間估計(jì)問(wèn)題有很多學(xué)者做過(guò)研究。費(fèi)鶴良、戴樹(shù)森等在文獻(xiàn)[1-2]、王黎明在文獻(xiàn)[3]中構(gòu)造的樞軸量服從F（2，2n-2）。而N.R.Mann在文獻(xiàn)[4]中構(gòu)造的樞軸量服從F[2k，2（n-k）]，其中k=[n/2]。事實(shí)上，針對(duì)F[2k，2（n-k）]，其k可以取1，2，…，n-1，也就是說(shuō)文獻(xiàn)[1-4]沒(méi)有解釋為什么k取1或取[n/2]。

本文針對(duì)樞軸量的分布服從F（2k，2（nk）），k=1，2，…，n-1，通過(guò)1 000次Monte Carlo模擬考察位置參數(shù)區(qū)間估計(jì)的可靠度與精度，發(fā)現(xiàn)k=1較優(yōu)。同時(shí)通過(guò)構(gòu)造另一服從χ2[2（n-1）]的樞軸量也進(jìn)行1 000次模擬比較，也發(fā)現(xiàn)k=1較優(yōu)。論文還通過(guò)似然比檢驗(yàn)的方法從理論上說(shuō)明k=1的優(yōu)良性。

1 求位置參數(shù)區(qū)間估計(jì)的樞軸量的構(gòu)造

首先，給出3個(gè)引理，其中引理1與引理2由文獻(xiàn)[5]得到，引理3由文獻(xiàn)[6]得到。

1.1 通過(guò)F分布構(gòu)造求位置參數(shù)μ區(qū)間估計(jì)的樞軸量

給定參數(shù)真值θ=1，μ=1，10，20，50，樣本容量n=10，20，通過(guò)1 000次Monte Carlo模擬，統(tǒng)計(jì)上述5種情形滿(mǎn)足的次數(shù)，結(jié)果如表1所示，從中可以發(fā)現(xiàn)：1）只有k=1時(shí)，全部滿(mǎn)足情形一，也就是說(shuō)情形二——五不可能出現(xiàn)；2）對(duì)于2≤k≤n-1，情形二——五都有可能發(fā)生，尤其是當(dāng)μ真值較小、k值接近n時(shí)，很少滿(mǎn)足情形一，也就是得不到位置參數(shù)μ的區(qū)間估計(jì)；3）為得到位置參數(shù)μ的區(qū)間估計(jì)，推薦使用樞軸量G1（μ）。

表1 位置參數(shù)μ區(qū)間估計(jì)滿(mǎn)足各種情形次數(shù)統(tǒng)計(jì)表

續(xù)表1 位置參數(shù)μ區(qū)間估計(jì)滿(mǎn)足各種情形次數(shù)統(tǒng)計(jì)表

續(xù)表1 位置參數(shù)μ區(qū)間估計(jì)滿(mǎn)足各種情形次數(shù)統(tǒng)計(jì)表

1.2 通過(guò)χ2分布構(gòu)造求位置參數(shù)μ區(qū)間估計(jì)的樞軸量

給定參數(shù)真值θ=1，μ=1，10，20，50，樣本容量n=10，20，通過(guò)1 000次Monte Carlo模擬，統(tǒng)計(jì)情形六和情形七滿(mǎn)足的次數(shù)，結(jié)果如表1所示，從表1中可以發(fā)現(xiàn)：1）當(dāng)μ的真值很小時(shí)，也就是說(shuō)樣本數(shù)據(jù)較小時(shí)，情形七有可能發(fā)生，只時(shí)發(fā)生的次數(shù)很少；2）當(dāng)μ的真值較大時(shí)，即樣本數(shù)據(jù)較大時(shí)，情形七幾乎不發(fā)生，此時(shí)用χ2分布構(gòu)造樞軸量求位置參數(shù)μ區(qū)間估計(jì)的方法是可行的。

1.3 位置參數(shù)μ區(qū)間估計(jì)的模擬比較分析

取參數(shù)真值θ=1，μ=1，樣本容量10，20，置信水平1-α=0.9，通過(guò)1 000次Monte Carlo模擬（即對(duì)樞軸量Gk（μ），k=1，2，…，n-1都滿(mǎn)足情形一1 000次及樞軸量T（μ）也都滿(mǎn)足情形六1 000次）分別計(jì)算利用樞軸量Gk（μ），k=1，2，…，n-1，以及T（μ）所得到的1 000個(gè)區(qū)間估計(jì)當(dāng)中包含參數(shù)真值的次數(shù)、區(qū)間估計(jì)的平均下限、上限和平均長(zhǎng)度，結(jié)果如表2所示，從表2中可以看到：1）固定樣本量n=10，只有利用樞軸量Gk（μ），k=1，2，3，4所得到的區(qū)間估計(jì)包含真值的次數(shù)可以達(dá)到900次以上；樣本量n=20，只有利用樞軸量Gk（μ），k=1，2，…，12所得到的區(qū)間估計(jì)包含真值的次數(shù)可以達(dá)到900次以上，也就是說(shuō)，隨著k的增大區(qū)間估計(jì)包含真值的次數(shù)逐漸地減少；利用樞軸量T（μ）所得到的區(qū)間估計(jì)包含真值的次數(shù)都在1 000次左右；2）樞軸量G1（μ）得到的區(qū)間估計(jì)的平均長(zhǎng)度要比樞軸量T（μ）所得到的要小，所以推薦使用樞軸量G1（μ）；3）隨著k，2≤k≤n-1的不斷增大，所得到的區(qū)間估計(jì)包含真值的次數(shù)越來(lái)越少，與900次相差較大，且區(qū)間估計(jì)的平均長(zhǎng)度越大，所以使用樞軸量Gk（μ），2≤k≤n-1求位置參數(shù)μ的區(qū)間估計(jì)是不合適的。

表2 位置參數(shù)μ區(qū)間估計(jì)的模擬比較

1.4 似然比檢驗(yàn)分析

根據(jù)N-P基本引理，對(duì)于簡(jiǎn)單的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，最優(yōu)檢驗(yàn)一般選擇似然比檢驗(yàn)，并且極大似然比的分布并不取決于位置參數(shù)和尺度參數(shù)的值，所以本文從似然比檢驗(yàn)的角度來(lái)研究k取何值時(shí)，位置參數(shù)μ區(qū)間估計(jì)最優(yōu)。

設(shè)X1，X2，…，Xn來(lái)自總體X~exp（μ，θ）的容量為n的一個(gè)樣本，其次序統(tǒng)計(jì)量記為X（1），X（2），…，X（n），考慮假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題為：

若D>Fα[2，2（n-1）]，則拒絕原假設(shè)H0，所以在似然比檢驗(yàn)中可以看出所構(gòu)造出的統(tǒng)計(jì)量與位置參數(shù)和尺度參數(shù)無(wú)關(guān)，并且恰好服從F[2，2（n-1）]，恰好是F[2k，2（n-k）]，k=1的情形。此時(shí)，利用樞軸量G1（μ）（其服從F[2，2（n-1）]）所得到的區(qū)間估計(jì)較優(yōu)。

2 模擬算例及實(shí)例分析

a）例1

取參數(shù)真值為θ=1，μ=20，置信水平1-α=0.9，生成一組樣本容量n=10的數(shù)據(jù)為：20.035 3，20.037 9，20.119 1，20.649 8，20.695 1，20.775 1，20.842 8，21.040 8，21.331 5，23.582 7。

分別計(jì)算利用樞軸量Gk（μ），k=1，2，…，n-1以及T（μ）統(tǒng)計(jì)滿(mǎn)足7種情形的次數(shù)，結(jié)果如表3所示，只有k=1，2，3滿(mǎn)足情形一X（1）），T（μ）滿(mǎn)足情形六。利用樞軸量Gk（μ），k=1，2，3和T（μ）得到的區(qū)間估計(jì)的下限、上限和長(zhǎng)度，結(jié)果如表4所示，所得到的區(qū)間估計(jì)下限和上限滿(mǎn)足情形一，并且樞軸量G1（μ）得到的區(qū)間估計(jì)最優(yōu)。

表3 位置參數(shù)μ區(qū)間估計(jì)滿(mǎn)足各種情形的統(tǒng)計(jì)表

表4 位置參數(shù)μ區(qū)間估計(jì)的比較

b）例2[7]

20名白血病患者接受同一藥物治療直到緩解的有序時(shí)間（Lawless，2003）是：

本文選取20名白血病患者接受同一藥物治療直到緩解的時(shí)間數(shù)據(jù)，通過(guò)表5的數(shù)據(jù)可以看出，4種不同的擬合檢驗(yàn)方法在同一顯著水平（α=0.1）下的P值均大于0.1，不拒絕原假設(shè)H0：F（x）=exp（μ，θ），也就是說(shuō)這組數(shù)據(jù)被認(rèn)為服從兩參數(shù)指數(shù)分布。

表5 擬合檢驗(yàn)表

分別計(jì)算利用樞軸量Gk（μ），k=1，2，…，n-1以及T（μ）判斷該組數(shù)據(jù)是否滿(mǎn)足情形一和情形六，結(jié)果如表6所示，從表6中可以看出：1）只有k=1，2滿(mǎn)足情形一可以得到μ區(qū)間估計(jì)為

表6 位置參數(shù)μ區(qū)間估計(jì)滿(mǎn)足各種情形的統(tǒng)計(jì)表

表7 血病患者藥物治療到緩解時(shí)間μ的區(qū)間估計(jì)

3 結(jié)束語(yǔ)

本文構(gòu)造服從F[2k，2（n-k）]和χ2[2（n-1）]的樞軸量，用Monte Carlo模擬考察區(qū)間估計(jì)的精度，得到利用服從F[2，2（n-1）]的樞軸量的方法最優(yōu)，并且從似然比檢驗(yàn)的方法解釋說(shuō)明了k=1最好；從算例和實(shí)際例子結(jié)果分析來(lái)看，使用構(gòu)造樞軸量服從F[2k，2（n-k）]的方法中，在k=1時(shí)滿(mǎn)足情形一不會(huì)出現(xiàn)和的區(qū)間倒掛現(xiàn)象，區(qū)間估計(jì)長(zhǎng)度最短，性能較為穩(wěn)定，進(jìn)一步地解釋說(shuō)明了很多文獻(xiàn)在用傳統(tǒng)方法計(jì)算區(qū)間估計(jì)選擇構(gòu)造樞軸量F[2，2（n-1）]的原因。