淺談高中數(shù)學(xué)開(kāi)放題研究

趙春林

一、開(kāi)放題的特點(diǎn)

數(shù)學(xué)開(kāi)放題是最富有教育價(jià)值的—種數(shù)學(xué)問(wèn)題的題型。它具有以下幾種最突出的特征：

（1）內(nèi)容的豐富性。開(kāi)放題題材廣泛，涉及面寬，貼進(jìn)學(xué)生生活實(shí)際，背景新穎，內(nèi)容深刻，解法靈活，不像封閉性題目那樣簡(jiǎn)單、乏味，單靠純記憶、套模式來(lái)解題。

（2）形式的多樣性。開(kāi)放題呈現(xiàn)的形式多樣化，除文字?jǐn)⑹鐾猓€可以用表格、圖畫(huà)、對(duì)話等形式來(lái)安排設(shè)計(jì)，綜合性強(qiáng)，不像封閉性習(xí)題形式那樣單一地呈現(xiàn)和呆板的敘述。

（3）思路的發(fā)散性。由于開(kāi)放題的答案不唯一，解題時(shí)需要運(yùn)用多種思維方法，并通過(guò)多角度、全方位的分析探索，從而獲得多種結(jié)論。

（4）教育的創(chuàng)新性。其解題思路具有發(fā)散性，為學(xué)生提供了充分發(fā)揮創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神的時(shí)空途徑。

數(shù)學(xué)開(kāi)放性題是近年高考命題的一個(gè)新的亮點(diǎn)，其解法靈活且具有—定探索性。這類題型按解題目標(biāo)的操作模式分為：規(guī)律探索型、問(wèn)題探究型、數(shù)學(xué)建模型、操作設(shè)計(jì)型、情景研究型。如果“未知的”是解題假設(shè)，那么就稱為條件開(kāi)放型;如果“未知的”是解題目標(biāo)，那么就稱為結(jié)論開(kāi)放型：如果“未知的”是解題推理，那么就稱為策略開(kāi)放型。

二、數(shù)學(xué)開(kāi)放題的分類與設(shè)計(jì)策略

（1）對(duì)數(shù)學(xué)開(kāi)放題的分類，從構(gòu)成數(shù)學(xué)題系統(tǒng)的四要素（條件、依據(jù)、方法、結(jié)論）出發(fā)，定性地可分成四類：如果尋求的答案是數(shù)學(xué)題的條件，則稱為條件開(kāi)放題;如果尋求的答案是依據(jù)或方法，則稱為策略開(kāi)放題;如果尋求的答案是結(jié)論，則稱為結(jié)論開(kāi)放題;如果數(shù)學(xué)題的條件、解題策略或結(jié)論都要求解題者在給定的情景中自行設(shè)定與尋找，則稱為綜合開(kāi)放題。

（1）條件開(kāi)放題，即未知的要素是條件。

例2：1999年全國(guó)高考題：α、β是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同的直線，給出四個(gè)論斷：① m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：_________。這就是一個(gè)非常開(kāi)放的問(wèn)題，學(xué)生可以根據(jù)自己原有的認(rèn)知水平，得到不同的方案。①m⊥α，n⊥β，α⊥β. ②m⊥n，m⊥α，n⊥β這樣的問(wèn)題設(shè)計(jì)有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展創(chuàng)新能力。

（2）結(jié)論開(kāi)放，即未知的要素是判斷。

例3：用實(shí)際例子說(shuō)明? 所表示的意義。

給變量賦予不同的內(nèi)涵，就可得出函數(shù)不同的解釋，我們從物理和經(jīng)濟(jì)兩個(gè)角度出發(fā)給出實(shí)例。

1.X表示時(shí)間（單位：s），y表示速度（單位：m/s），開(kāi)始計(jì)時(shí)后質(zhì)點(diǎn)以10m/s的初速度作勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為2m/s2，5秒鐘后質(zhì)點(diǎn)以20m/s的速度作勻速運(yùn)動(dòng)，10秒鐘后質(zhì)點(diǎn)以-2m/s2的加速度作勻減速運(yùn)動(dòng)，直到質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到20秒末停下。

2.季節(jié)性服飾在當(dāng)季即將到來(lái)之時(shí)，價(jià)格呈上升趨勢(shì)，設(shè)某服飾開(kāi)始時(shí)定價(jià)為10元，并且每周（7天）漲價(jià)2元，5周后開(kāi)始保持20元的價(jià)格平穩(wěn)銷售，10周后當(dāng)季即將過(guò)去，平均每周削價(jià)2元，直到20周末該服飾不再銷售。

函數(shù)概念的形成，一般是從具體的實(shí)例開(kāi)始的，但在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，往往較少考慮實(shí)際意義，本題旨在通過(guò)學(xué)生根據(jù)自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)給出函數(shù)的實(shí)際解釋，體會(huì)到數(shù)學(xué)概念的一般性和背景的多樣性。這是對(duì)問(wèn)題理解上的開(kāi)放。其思維的多向性、靈活性顯露得淋漓盡致，學(xué)生不但可以鞏固知識(shí)，培養(yǎng)技能，而且更可以有表現(xiàn)自己創(chuàng)造力的機(jī)會(huì)。

（3）策略開(kāi)放，即未知的要素是推理。

例4：①若有兩張長(zhǎng)方形的桌子，把它們拼成一張長(zhǎng)方形桌子，有幾種拼法？

先讓學(xué)生把表格中的前4項(xiàng)填好，之后再討論n張桌子可坐幾人？

學(xué)生可以從不同的角度思考，得到不同的策略：①一張桌子可坐6人，每增加一張桌子增加4人，幾張桌子增加4（n-1）人，因此n張桌子可坐[6+4（n-1）]人，即（4n+2）人;②桌子無(wú)論增加幾張，左右兩側(cè)始終只能坐2人，而每張桌子的上下兩側(cè)都可坐4人，故有（4n+2）人;③每張桌子可坐6人，那么n張桌子按理可坐6n人，但要減去每?jī)蓮堊雷又睾系?人。列式得6n-2（n-1），等于（4n+2）人;④一張桌子的一半可坐（2+1）人，n張桌子的一半可坐（2n+1）人，因此，n張桌子可坐2（2n+1）人，即（4n+2）人。這一系列問(wèn)題的設(shè)計(jì)給學(xué)生的不同見(jiàn)解留下了足夠的空間，學(xué)生可以在自己原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中進(jìn)行同化，多角度、多方位地去尋找解題策略。

四、開(kāi)放題對(duì)教師的轉(zhuǎn)化作用

（1）開(kāi)放題對(duì)教師觀念的轉(zhuǎn)變。開(kāi)放題的出現(xiàn)以及對(duì)其教育功能的肯定，一方面反映了人們數(shù)學(xué)教育觀念的轉(zhuǎn)變;另一方面適應(yīng)了飛速發(fā)展的時(shí)代的需要。實(shí)際上反映了人們對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)新模式的追求，是人們站在新時(shí)代歷史的高度上對(duì)數(shù)學(xué)教育改革的新探索。

（2）開(kāi)放題對(duì)教師角色的轉(zhuǎn)變。在開(kāi)放題教學(xué)中，教師的角色定位，即在教學(xué)過(guò)程中，教師不是教學(xué)活動(dòng)的主角，而是“編劇”和“導(dǎo)演”;不是知識(shí)的傳授者，而是教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)者、促進(jìn)者、示范者、組織者、調(diào)控者。

五、數(shù)學(xué)開(kāi)放題對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的意義

數(shù)學(xué)開(kāi)放題作為一種教學(xué)思想反映在以下幾個(gè)方面：

（1）數(shù)學(xué)開(kāi)放題強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性。封閉式的例題、習(xí)題式的數(shù)學(xué)教學(xué)僅停留在分類介紹技巧和方法的水平上，指向知識(shí)、技能、原理和它們的適用性，往往會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)某個(gè)結(jié)論或方法的記憶。它重視的是學(xué)生計(jì)算、演繹等嚴(yán)格推理的能力，忽視的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐，尋找相似性等非形式推理的能力。

（2）數(shù)學(xué)開(kāi)放題強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)教學(xué)的思維性。封閉的數(shù)學(xué)題教學(xué)面向事實(shí)性的知識(shí)和程序性的技能而不是強(qiáng)調(diào)高層次的技能，而數(shù)學(xué)開(kāi)放題作為一個(gè)教學(xué)思想強(qiáng)調(diào)和反映學(xué)生高層次的能力和開(kāi)放性、創(chuàng)造性的思維。

（3）數(shù)學(xué)開(kāi)放題強(qiáng)調(diào)解決問(wèn)題的過(guò)程。數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)與封閉的數(shù)學(xué)題教學(xué)的另一不同點(diǎn)是側(cè)重學(xué)生解決問(wèn)題的思路和策略而不是問(wèn)題的答案，側(cè)重學(xué)生獲得解答的過(guò)程。因?yàn)樵跀?shù)學(xué)教學(xué)中，不僅要注意其產(chǎn)物，而且要注意其過(guò)程，注意對(duì)學(xué)生解決問(wèn)題的思路的分析。

（4）數(shù)學(xué)開(kāi)放題強(qiáng)調(diào)了學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中的主體作用。數(shù)學(xué)開(kāi)放題把數(shù)學(xué)教學(xué)建立在學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)之上，更能反映出學(xué)生的主動(dòng)性和創(chuàng)造性，反映出學(xué)生的主體作用，有利于改變以教師為中心的教學(xué)方法。

（5）數(shù)學(xué)開(kāi)放題有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)力。數(shù)學(xué)開(kāi)放題提供學(xué)生一種數(shù)學(xué)活動(dòng)，在活動(dòng)中展示和提高自己的數(shù)學(xué)才能，在活動(dòng)中交流體會(huì)，增強(qiáng)主體意識(shí)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中感受到數(shù)學(xué)的美感和解決問(wèn)題的趣味。