聚焦高考不等式與其他考點(diǎn)的交匯

黃偉軍

通過認(rèn)真研究近幾年新課標(biāo)高考試題，發(fā)現(xiàn)以不等式作為工具，與其他知識進(jìn)行交匯，特別是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、三角、向量、復(fù)數(shù)、簡易邏輯問題、立體幾何、解析幾何、實(shí)際問題、新定義問題等考點(diǎn)涉及到最值或范圍的問題，常常需要借助不等式來解決，本文結(jié)合一些典型的例題談?wù)劜坏仁皆谶@方面的應(yīng)用，供考生們在復(fù)習(xí)備考中參考，提高備戰(zhàn)高考的復(fù)習(xí)效率，做到心中有數(shù)，觸類旁通.

考點(diǎn)1：不等式與函數(shù)的交匯

例1. 函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù). 若f（1）=-1，則滿足-1≤f（x-2）≤1的x的取值范圍是????????? .

答案：[1，3].

解析：因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x）. 又因?yàn)閒（1）= -1，所以f（-1）=-f（1）=1. 故由-1≤f（x-2）≤1，得f（1）≤f（x-2）≤ f（-1）. 又f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，所以-1≤x-2≤1，得到1≤x≤3. 故填[1，3].

評注：解決不等式問題時(shí)一定要充分利用已知的條件，把已知不等式轉(zhuǎn)化成f（x1）> f（x2）或f（x1）< f（x2）的形式，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，列出不等式（組），要注意函數(shù)定義域?qū)?shù)的影響.

例2. 設(shè)奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且f（1）=0，則不等式<0的解集為???????????? .

答案：（-1，0）∪（0，1）.

解析：因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以不等式<0可化為<0，即xf（x）<0，f（x）的大致圖像，如圖所示. 所以xf（x） <0的解集為（-1，0）∪（0，1）.

評注：當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解，但其對應(yīng)函數(shù)的圖像可作出時(shí)，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解. 利用函數(shù)圖像的直觀性求解不等式問題，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確作出函數(shù)圖像，根據(jù)函數(shù)解析式的特征和圖像的直觀性確定函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，特別是函數(shù)圖像的對稱性等，然后解決不等式問題.

考點(diǎn)2：不等式與導(dǎo)數(shù)問題的交匯

例3. 已知函數(shù)f（x）=ex的圖像在點(diǎn)（0， f（0））處的切線為l，動點(diǎn)（a，b）在直線l上，則2a+2-b的最小值為??????????????? .

答案：.

解析：由題意得f ′（x）=ex， f（0）=e0=1，k=f ′（0）=e0=1，所以切線方程為y-1=x，即x-y+1=0，所以a-b+1=0，所以a-b=-1， 所以2a+2-b≥2=2=2=，當(dāng)且僅當(dāng)a=-，b=時(shí)取等號.

例4. 定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）+f? ′（x）>1， f（0）=4，則不等式exf（x）>ex+3的解集為（ ）

（A）（0，+∞）????? （B）（-∞，0）∪（3，+∞）

（C）（-∞，0）∪（0，+∞）??? （D）（3，+∞）

答案：（A）.

解析：由exf（x）>ex+3變形，得ex[f（x）-1]-3>0，設(shè)g（x）=ex[f（x）-1]-3，所以原不等式等價(jià)于g（x）>g（0）.

因?yàn)間′（x）=ex[f（x）-1]+ex·f? ′（x）=ex[f（x）+f? ′（x）-1]>0，所以 g（x）在定義域R上遞增，由g（x）>g（0），得x>0，故選（A）.

評注：本題主要考查構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，用單調(diào)性定義解不等式，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力. 導(dǎo)數(shù)解不等式的常用技巧利用題目條件，構(gòu)造輔助函數(shù)，把求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，再由單調(diào)性解不等式.

考點(diǎn)3：不等式與新定義問題的交匯

例5. 在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“”，具有性質(zhì)：①對任意a，b∈R，ab=ba;②對任意a∈R，a0=a;③對任意a，b，c∈R，（ab）c=c（ab）+（ac）+（bc）-2c;函數(shù)f（x）=x（x>0）的最小值為（ ）

（A）4? （B）3? （C）2? （D）1

答案：（B）.

解析：根據(jù)條件③，對于任意的a，b，c有（ab）c=c（ab）+（ac）+（bc）-2c，

∴取c=0得（ab）0=0（ab）+（a0）+（b0）-2·0，由①②得a0=0a=a對任意實(shí)數(shù)a都成立，代入上式得：ab=ab+a+b這就是運(yùn)算的定義，將其代入題目檢驗(yàn)符合①②③，

∴ f（x）=x=x·+x+=x++1≥2+1=3，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)“=”成立，即函數(shù)f（x）=x（x>0）的最小值為3. 選（B）.

考點(diǎn)4：不等式與數(shù)列的交匯

例6. 已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足a7=a6+2a5，若存在兩項(xiàng)am，an，使得=4a1，則+的最小值是??????????? .

答案：.

解析：a7=a6+2a5？圯a1q6=a1q5+2a1q4？圯q2-q-2=0，解得q=-1或q=2，qm+n-2=16，2m+n-2=24，m+n=6，（+）（+）=+++≥+=.

當(dāng)且僅當(dāng)n=2m取得等號，則+的最小值是為.

例7. 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=，則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)是??????????? .

答案：.

解析：令f（x）=x+（x>0），運(yùn)用基本不等式得f（x）≥6，當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)等號成立. 因?yàn)閍n==，所以≤由于n∈N*，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)n=9或n=10時(shí)，a9=a10=最大.

評注：數(shù)列的最值問題可以利用數(shù)列的單調(diào)性或求函數(shù)最值的思想求解.

考點(diǎn)5：不等式與三角函數(shù)的交匯

例8. 已知角？琢，？茁的頂點(diǎn)都為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合，且都為第一象限的角，角？琢，？茁的終邊上分別有點(diǎn)A（1，a），B（2，b），且？琢=2？茁，則+b的最小值為??????????? .

答案：.

解析：由已知得tan？琢=a，tan？茁=因?yàn)?？?2？茁，所以tan？琢=tan2？茁，所以a=即a=，所以+b=+b=+b≥2=當(dāng)且僅當(dāng)=b即b=取等號.

例9. 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2ccosB=2a+b.

若△ABC的面積為S=c，求ab的最小值.

解析：∵==. 由已知可得，2sinCcosB=2sinA+sinB，

則有2sinCcosB=2sin（B+C）+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0.

∵B為三角形的角，∴sinB≠0，∴cosC=-.

又∵C為三角形的內(nèi)角，∴C=-.

∵S=absinC=c，∴C=ab.? 又c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab，

∴=a2+b2+ab≥3ab.

∴ab≥12，故ab的最小值為12.

例10. 已知函數(shù)f（x）=cosx（sinx-cosx）+. 將函數(shù)y= f（x）的圖像向左平移后得到函數(shù)y=g（x），若x∈[0，]時(shí)，不等式c

解析：g（x）= f（x+）=sin（2x+-）=sin（2x+）.

當(dāng)x∈[0，]時(shí)，2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[-，1].

即-≤g（x）≤1，又c1，解得：-1

∴實(shí)數(shù)c的取值范圍為：（-1，-）.

評注：本題考查三角函數(shù)值的求解、正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的值域的求解;涉及到利用二倍角和輔助角公式化簡三角函數(shù)式、三角函數(shù)的平移變換等知識;解決本題中恒成立問題的關(guān)鍵是找到不等式上下限與三角函數(shù)最值之間的關(guān)系，從而構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.

考點(diǎn)6：不等式與向量的交匯

例11. 已知向量，滿足：==1，且k+=-k（k>0）. 則向量與向量的夾角的最大值為????????? .

答案：.

解析：由k+=-k，得k+2=（-k）2，即k22+2k·+2=3（2-2k·+k22），所以k2+2k·+1=3（1-2k·+k2），即·=（k+）. 因?yàn)閗>0，所以·=（k+）≥×2=，所以cos<，>=≥，<，>∈[0，]，即向量與的夾角的最大值為.

例12. 已知向量=（1，2），=（-2，1）. k，t為正實(shí)數(shù)，向量 =+（t2+1），y=-k+，若x⊥y，則k的最小值為????????? .

答案：2.

解析：=+（t2+1）=（-2t2-1，t2+3），=-k+=（-k-，-2k+），由⊥，則·=0，即（-2t2-1）（-k-）+（t2+3）（-2k+）=0，整理得k=. 因?yàn)閗、t為正實(shí)數(shù)，所以k=t+≥2. 當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)，k=2，故k的最小值為2.

例13. 在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°. 動點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且=？姿，=，則·的最小值為??????????? .

答案：.

解析：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AAB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系（圖略），則B（2，0），C（，），D（，）. 又=？姿，=，則E（2-？姿，？姿），F(xiàn)（+，），所以·=（2-？姿）（+）+？姿=++？姿≥+=，當(dāng)且僅當(dāng)？姿=時(shí)取等號，故·的最小值為.

考點(diǎn)7：不等式與立體幾何的交匯

例14. 已知三棱錐S-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為1的球面上，且滿足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，則三棱錐S-ABC的側(cè)面積的最大值為（ ）

（A）. 1? （B）. 2? （C）. 4? （D）. 8

答案：（B）

解析：以SA，SB，SC為棱構(gòu)造長方體，則長方體的體對角線即為球的直徑，因?yàn)镾A2+SB2+SC2=4R2=4，所以S側(cè)=（SA·SB+SB·SC+SC·SA）≤（++）=2，

故選（B）.

考點(diǎn)8：不等式與解析幾何的交匯

例15. 若直線ax+by-2=0（a>0，b>0）過曲線z=1+sin？仔x（0

答案：5.

解析：曲線z=1+sin？仔x（00，b>0，所以+=+b+=a+1+b++-2=++1（+）（+）=2++≥2+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)a+1=b時(shí)，a=，b=取等號. 則+的最小值為4+1=5.

評注：求解與直線方程有關(guān)的最值問題，先求出斜率或設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值.本例借助直線方程間接給出等量關(guān)系“+=1”，在求最值中基本不等式起了“穿針引線”的作用.

考點(diǎn)9：不等式與恒成立問題的交匯

例16. 已知正實(shí)數(shù)x，y滿足3x+3y+4=4xy，若對任意滿足條件的x，y，都有（x+y）2+1≥t（x+y）恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為??????????????? .

答案：（-∞，] .

解析：要使（x+y）2-t（x+y）+1≥0恒成立，則有（x+y）2+1≥t（x+y），即t≤（x+y）+恒成立. 由3x+3y+4=4xy可得x+y+=xy，得x+y+=xy≤（）2=（x+y）2，即（x+y）2-3（x+y）-4≥0解得x+y≥4或x+y≤-1（舍去）設(shè)m=x+y，則m≥4，函數(shù)y=（x+y）+=m+，在m≥4時(shí)，單調(diào)遞增，所以y=m+的最小值為4+=，所以t≤，即實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-∞，].

考點(diǎn)10：不等式與實(shí)際問題的交匯

例17. 汽車智能輔助駕駛已開始得到應(yīng)用，其自動剎車的工作原理是用雷達(dá)測出車輛與前方障礙物之間的距離（并結(jié)合車速轉(zhuǎn)化為所需時(shí)間），當(dāng)此距離等于報(bào)警距離時(shí)就開始報(bào)警提醒，等于危險(xiǎn)距離時(shí)就自動剎車.若將報(bào)警時(shí)間劃分為4段，分別為準(zhǔn)備時(shí)間t0、人的反應(yīng)時(shí)間t1、系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間t2、制動時(shí)間t3，相應(yīng)的距離分別為d0，d1，d2，d3，如圖所示. 當(dāng)車速為v（米/秒），且v∈（0，33.3]時(shí)，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析得到下表給出的數(shù)據(jù)（其中系數(shù)k隨地面濕滑程度等路面情況而變化，k∈[1，2]）.

（1）請寫出報(bào)警距離d（米）與車速v（米/秒）之間的函數(shù)關(guān)系式d（v）;并求當(dāng)k=1，在汽車達(dá)到報(bào)警距離時(shí)，若人和系統(tǒng)均未采取任何制動措施，仍以此速度行駛的情況下，汽車撞上固定障礙物的最短時(shí)間（精確到0.1秒）;

（2）若要求汽車不論在何種路面情況下行駛，報(bào)警距離均小于50米，則汽車的行駛速度應(yīng)限制在多少千米/小時(shí)？

解析：（1）由題意得，d（v）=d0+d1+d2+d3，

∴d（v）=10+0.8v+0.2v+=10+v+，

當(dāng)k=1時(shí)，d（v）=10+v+，

則t（v）=++1≥2+1=+1≈2.4（秒）.

即此種情況下汽車撞上固定障礙物的最短時(shí)間約為2.4秒;

（2）要求對任意k∈[1，2]，d（v）<50恒成立，

即對任意k∈[1，2]，10+v+<50，即<-恒成立.

由k∈[1，2]，得∈[，]，

∴<-，即v2+20v-800<0，解得-40

∴0

而20×=72（千米/小時(shí)）.

即汽車的行駛速度應(yīng)限制在72千米/小時(shí).

考點(diǎn)11：不等式與復(fù)數(shù)交匯

例18. 若對一切？茲∈R，復(fù)數(shù)z=（a+cos？茲）+（2a-sin？茲）i的模不超過2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為???????????????? .

答案：[-，] .

解析：?? [-，]依題意得z=

==（tan？漬=2），故z的最大值是=a+1，令a+1≤2，解得-≤a≤，因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-，] .

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)