高考數(shù)學(xué)填空題解法綜析

高慧明

高考數(shù)學(xué)填空題的特征是不要求寫出計(jì)算或推理過(guò)程，只需要將結(jié)論直接寫出的“求解題”. 填空題與選擇題也有質(zhì)的區(qū)別：第一，填空題沒有備選項(xiàng)，因此，解答時(shí)有不受誘誤干擾之好處，但也有缺乏提示之不足;第二，填空題的結(jié)構(gòu)往往是在一個(gè)正確的命題或斷言中，抽出其中的一些內(nèi)容（既可以是條件，也可以是結(jié)論），留下空位，讓考生獨(dú)立填上，考查方法比較靈活. 從歷年高考數(shù)學(xué)成績(jī)看，填空題得分率一直不是很高，因?yàn)樘羁疹}的結(jié)果必須是數(shù)值準(zhǔn)確、形式規(guī)范、表達(dá)式最簡(jiǎn)，稍有毛病，便是零分.因此，解填空題要求在“快速、準(zhǔn)確”上下功夫，由于填空題不需要寫出具體的推理、計(jì)算過(guò)程，因此要想“快速”解答填空題，則千萬(wàn)不可“小題大做”，而要達(dá)到“準(zhǔn)確”，則必須合理靈活地運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒?，在“巧”字上下功?解填空題的基本原則是“小題不能大做”，基本策略是“巧做”. 解填空題的常用方法有：直接法、數(shù)形結(jié)合法、特殊化法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法、構(gòu)造法、合情推理法等.

方法一：直接法

直接法就是從題干給出的條件出發(fā)，運(yùn)用定義、定理、公式、性質(zhì)、法則等知識(shí)，通過(guò)變形、推理、計(jì)算等，直接得出結(jié)論. 這種策略多用于一些定性的問(wèn)題，是解填空題最常用的策略. 這類填空題是由計(jì)算題、應(yīng)用題、證明題、判斷題改編而成的，可直接從題設(shè)的條件出發(fā)，利用已知條件、相關(guān)公式、公理、定理、法則等通過(guò)準(zhǔn)確的運(yùn)算、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?、合理的?yàn)證得出正確的結(jié)論，使用此法時(shí)，要善于透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，自覺地、有意識(shí)地采用靈活、簡(jiǎn)捷的解法.

例1. 已知雙曲線C1：-=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，第一象限內(nèi)的點(diǎn)M（x0，y0）在雙曲線C1的漸近線上，且MF1⊥MF2，若以F2為焦點(diǎn)的拋物線C2：y2=2px（p>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，則雙曲線C1的離心率為_______.

思路分析：由題意可得y0=x0，又由MF1⊥MF2，可得y02+x02=c2，聯(lián)立得x0=a，y0=b，又由F為焦點(diǎn)的拋物線C2：y2=2px（p>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，化簡(jiǎn)得c2-4ac-a2=0，根據(jù)離心率e=，可得e2-4e-1=0，即可求解.

【解析】由題意，雙曲線的漸近線方程為y=±x，焦點(diǎn)為F1 （-c，0），F(xiàn)2 （c，0），可得y0=x0……①

又MF1⊥MF2，可得·=-1，即為y02+x02=c2……②由a2+b2=c2，聯(lián)立①②可得x0=a，y0=b，由F為焦點(diǎn)的拋物線C2：y2=2px（p>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，可得b2=2pa，且=c，即有b2=4ac=c2-a2，即c2-4ac-a2=0，由e=，可得e2-4e-1=0，解得雙曲線C1 的離心率e=2+.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為圓錐曲線的離心率的方程是解答的關(guān)鍵. 求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：①求出a，c的值，代入公式e=;②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式），即可得e（e的取值范圍）.

例2. 設(shè)球的半徑為，該球的內(nèi)接圓錐（頂點(diǎn)在球面上，底面為某平面與球的截面）的體積為V，則V的最大值為___________.

【解析】依題意可知，圓錐與球的軸截面如圖，

設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，高為h，

則（h-）+r2=（），即r2=h-h2，

所以V=？仔r2h=？仔（h2-h3）（0

求導(dǎo)可得V′（h）=？仔（h-h2），當(dāng)00，當(dāng)1

于是V（h）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，）單調(diào)遞減，所以當(dāng)h=1時(shí)，體積取得最大值為.

故答案為.

例3. 如圖，邊長(zhǎng)為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點(diǎn)G，已知△A′DE（A′？埸平面ABC）是△ADE沿DE翻折過(guò)程中的一個(gè)圖形，給出下列命題：

①平面A′FG⊥平面ABC;

②BC∥平面A′DE;

③三棱錐A′-DEF的體積的最大值為a3;

④動(dòng)點(diǎn)A′在平面ABC上的射影恒在線段AF上;

⑤直線DF與平面A′FG所成角為60°.

其中正確命題的序號(hào)是________.（寫出所有正確命題的序號(hào)）

【解析】由已知可得四邊形ADEF是菱形，則DE⊥GA，DE⊥GA′，DE⊥GF，所以DE⊥平面A′FG，所以平面A′FG⊥平面ABC，①正確;

又BC∥DE，所以BC∥平面A′DE，②正確;

當(dāng)平面A′DE⊥平面ABC時(shí)，三棱錐A′-DEF的體積達(dá)到最大，最大值為××a2×a=a3，③正確;

由平面A′FG⊥平面ABC，可知點(diǎn)A′在平面ABC上的射影恒在線段AF上，④正確;

在翻折過(guò)程中，DF與平面A′FG所成角是∠DFG=30°，⑤不正確.

所以正確命題的序號(hào)是①②③④.

【點(diǎn)評(píng)】直接法是解決計(jì)算型填空題最常用的方法，在計(jì)算過(guò)程中，我們要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問(wèn)題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應(yīng)用，將計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)化從而得到結(jié)果，這是快速準(zhǔn)確地求解填空題的關(guān)鍵.

方法二：特例法

當(dāng)填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當(dāng)特殊值（或特殊函數(shù)，或特殊角，特殊數(shù)列，圖形特殊位置，特殊點(diǎn)，特殊方程，特殊模型等）進(jìn)行處理，從而得出待求的結(jié)論. 這樣可大大地簡(jiǎn)化推理、論證的過(guò)程.

例4. 已知函數(shù)f（x）=1+（a∈R）為奇函數(shù)，則a=________.

【解析】根據(jù)奇函數(shù)的特點(diǎn)，帶入特殊值即可求出a的值.

函數(shù) f（x）的定義域?yàn)镽，又因?yàn)?f（x）為奇函數(shù)，所以 f（0）=0，即1+=0，解得a=-2.

【點(diǎn)評(píng)】（1）已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，一般采用待定系數(shù)法求解，根據(jù) f（x）± f（x）=0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性得參數(shù)的值或方程（組），進(jìn)而得出參數(shù)的值;（2）已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值或解析式，首先抓住奇偶性討論函數(shù)在各個(gè)區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于f（x）的方程，從而可得f（x）的值或解析式.

求值或比較大小等問(wèn)題的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此種方法僅限于求解結(jié)論只有一種的填空題，對(duì)于開放性的問(wèn)題或者有多種答案的填空題，則不能使用該種方法求解. 本題中的發(fā)現(xiàn)函數(shù)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)是本題的運(yùn)用特值法的前提條件，從而減少了計(jì)算量.

方法三：數(shù)形結(jié)合法

對(duì)于一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，以形助數(shù)，則往往可以借助圖形的直觀性，迅速作出判斷，簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題，得出正確的結(jié)果，Venn圖、三角函數(shù)線、函數(shù)的圖像及方程的曲線等，都是常用的圖形.

例5. 定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（e+x）=f（e-x），且f（0）=0，當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，f（x）=lnx. 已知方程f（x）=sin（x）在區(qū)間[-e，3e]上所有的實(shí)數(shù)根之和為3ea. 將函數(shù)g（x）=3sin2（x）+1的圖像向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)h（x）的圖像，則a=__________，h（8）=__________.

【解析】根據(jù)函數(shù)f（x）為偶函數(shù)且f（e+x）=f（e-x），所以f（x）的周期為2e，f（x）=sin（x）的實(shí)數(shù)根是函數(shù)f（x）和函數(shù)y=sin（x）的圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖像，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性可得所有實(shí)數(shù)根的和為6e，從而可得參數(shù)a的值，最后求出函數(shù)h（x）的解析式，代入求值即可.

因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)且f（e+x）=f（e-x），所以f（x）的周期為2e. 因?yàn)閤∈（0，e]時(shí)，f（x）=lnx，所以可作出f（x）在區(qū)間[-e，3e]上的圖像，而方程f（x）=sin（x）的實(shí)數(shù)根是函數(shù)f（x）和函數(shù)y=sin（x）的圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)f（x）和函數(shù)y=sin（x）在區(qū)間[-e，3e]上的簡(jiǎn)圖，可知兩個(gè)函數(shù)的圖像在區(qū)間[-e，3e]上有六個(gè)交點(diǎn). 由圖像的對(duì)稱性可知，此六個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為6e，所以6e=3ea，故a=2.

因?yàn)間（x）=3sin2（x）+1=-cos+，

所以h（x）=-cos[（x-2）]+=cos（x）+. 故h（8）=cos（4？仔）+=4.

故答案為2;8.

【點(diǎn)評(píng)】圖解法實(shí)質(zhì)上就是數(shù)形結(jié)合的思想方法在解決填空題中的應(yīng)用，利用圖形的直觀性并結(jié)合所學(xué)知識(shí)便可直接得到相應(yīng)的結(jié)論，這也是高考命題的熱點(diǎn).準(zhǔn)確運(yùn)用此類方法的關(guān)鍵是正確把握各種式子與幾何圖形中的變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求出結(jié)果.

方法四：構(gòu)造法

構(gòu)造型填空題的求解，需要利用已知條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)模型，從而簡(jiǎn)化推理與計(jì)算過(guò)程，使較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷的解決，它來(lái)源于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的積累，需要從一般的方法原理中進(jìn)行提煉概括，積極聯(lián)想，橫向類比，從曾經(jīng)遇到過(guò)的類似問(wèn)題中尋找靈感，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)、概率、幾何等具體的數(shù)學(xué)模型，使問(wèn)題快速解決.

例6. 設(shè) f（x）是定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若f（x）+ f′（x）<1，f（0）=2018，則不等式ex f（x）>ex+2017（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為______.

【解析】構(gòu)造函數(shù)g（x）=exf（x）-ex，通過(guò)求導(dǎo)及已知不等式可得出g（x）為遞增函數(shù)，再將原不等式化為g（x）>g（0）可解得.

令g（x）=exf（x）-ex，則g′（x）=exf（x）+exf′（x）-ex=ex（f（x）+f′（x）-1），

∵f（x）+f′（x）<1，∴ f（x）+f′（x）-1<0，∴g′（x）<0，g（x）在R上為單調(diào)遞減函數(shù).

∵g（0）=f（0）-1=2018-1=2017，∴原不等式可化為g（x）>g（0），根據(jù)g（x）的單調(diào)性得x<0，∴不等式ex f（x）>ex+2017（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為（-∞，0），故答案為（-∞，0）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)性的應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，考查了分析問(wèn)題的能力，屬于難題.

方法五：歸納推理法

做關(guān)于歸納推理的填空題的時(shí)候，一般是由題目的已知可以得出幾個(gè)結(jié)論（或直接給出了幾個(gè)結(jié)論），然后根據(jù)這幾個(gè)結(jié)論可以歸納出一個(gè)更一般性的結(jié)論，再利用這個(gè)一般性的結(jié)論來(lái)解決問(wèn)題.歸納推理是從個(gè)別或特殊認(rèn)識(shí)到一般性認(rèn)識(shí)的推演過(guò)程，這里可以大膽地猜想.

例7. 圖中是應(yīng)用分形幾何學(xué)做出的一個(gè)分形規(guī)律圖，按照?qǐng)D甲所示的分形規(guī)律可得圖乙所示的一個(gè)樹形圖，我們彩用 “坐標(biāo)”來(lái)表示圖乙各行中的白圈黑圈的個(gè)數(shù)（橫坐標(biāo)表示白圈的個(gè)數(shù)，縱坐標(biāo)表示黑圈的個(gè)數(shù)）比如第一行記為（0，1），第二行記為（1，2），第三行記為（4，5），照此下去，第四行中白圈與黑圈的“坐標(biāo)”為_________.

【解析】本題中如何求出第四行中白圈與黑圈的“坐標(biāo)”是解題的一個(gè)關(guān)鍵，也是一個(gè)難點(diǎn)，觀察所給條件不難發(fā)現(xiàn)運(yùn)用特殊到一般的規(guī)律進(jìn)行處理，進(jìn)而求解.

由圖甲所示的分形規(guī)律，1個(gè)白圈分形為2個(gè)白圈1個(gè)黑圈，1個(gè)黑圈分形為2個(gè)黑圈1個(gè)白圈，記某行白圈X個(gè)，黑圈y個(gè)為（x，y），則第一行記為（0，1），第二行記為（1，2），第三行記為（4，5），第四行白圈數(shù)為2×5+4=14，黑圈數(shù)為5+2×4=13，第四行中白圈與黑圈的“坐標(biāo)”為（13，14），故答案為（13，14）.

【點(diǎn)評(píng)】這類問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn). 解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)歸納對(duì)象. 如本題把函數(shù)的前幾個(gè)值一一列舉出來(lái).觀察前面列出的函數(shù)值的規(guī)律，歸納猜想一般結(jié)論或周期，從而求得問(wèn)題.

從考試的角度來(lái)看，解填空題只要做對(duì)就行，不需要中間過(guò)程，正因?yàn)椴恍枰虚g過(guò)程，出錯(cuò)的概率大大增加. 我們要避免在做題的過(guò)程中產(chǎn)生筆誤，這種筆誤很難糾錯(cuò)，故解填空題要注意以下幾個(gè)方面：

（1）要認(rèn)真審題，明確要求，思維嚴(yán)謹(jǐn)、周密，計(jì)算有據(jù)、準(zhǔn)確;

（2）要盡量利用已知的定理、性質(zhì)及已有的結(jié)論;

（3）要重視對(duì)所求結(jié)果的檢驗(yàn);

（4）注意從不同的角度分析問(wèn)題，從而比較用不同的方法解決題目的速度與準(zhǔn)確度，從而快速切題，達(dá)到準(zhǔn)確解題的目的.

填空題的主要特征是題目小，跨度大，知識(shí)覆蓋面廣，形式靈活，突出考查考生準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)、全面、靈活運(yùn)用知識(shí)的能力. 近幾年來(lái)全國(guó)新課程高考數(shù)學(xué)填空題作為命題改革實(shí)驗(yàn)的一個(gè)窗口，出現(xiàn)了一些創(chuàng)新題，如閱讀理解型、發(fā)散開放型、多項(xiàng)選擇型、實(shí)際應(yīng)用型等，這些題型的出現(xiàn)，使解填空題的要求更高、更嚴(yán)了.

【本文系北京市教育科學(xué) “十三五” 規(guī)劃課題 “基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)核心概念課堂教學(xué)的反思與重構(gòu)研究” （編號(hào)：CDDB19238）階段性研究成果】

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)