非對(duì)稱結(jié)構(gòu)索輪組位姿的精確求解方法

溫新婕 吳曉光 樊俊宏 李越秀 虞麗芳

北京起重運(yùn)輸機(jī)械設(shè)計(jì)研究院有限公司 北京 100007

0 引言

高速大運(yùn)量客運(yùn)索道技術(shù)的發(fā)展對(duì)索道設(shè)計(jì)提出了更精確高效的要求。對(duì)于單線循環(huán)脫掛式索道、脈動(dòng)索道以及單線固定索道等類型索道而言，索輪組是重要的線路設(shè)備。索道運(yùn)行過程中索輪組位姿的確定是索道設(shè)計(jì)中關(guān)鍵一環(huán)。在不同線路不同的載荷工況下，線路上索輪組受力不同，鋼絲繩的出入繩角度也不同，快速高效計(jì)算出不同繩折角情況下的各索輪位姿，可給索道的安全性和舒適性設(shè)計(jì)以及給其他相關(guān)設(shè)備如線路支架走臺(tái)角度的設(shè)計(jì)提供依據(jù)。隨著高速大運(yùn)量客運(yùn)索道線路動(dòng)態(tài)特性研究的深入，建立線路設(shè)備等的理輪模型并進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真是今后索道系統(tǒng)研究的方向之一。

齊次變換方法是在多體系統(tǒng)研究中分析結(jié)構(gòu)的常用方法。在工程機(jī)械領(lǐng)域也有廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)[1]已經(jīng)介紹了索道線路支撐結(jié)構(gòu)，并以8輪組為例，基于齊次變換方法，推導(dǎo)了8輪組索輪輪心位姿坐標(biāo)的解算方法，得出了位姿坐標(biāo)的矩陣表達(dá)方式。但是通常索道輪組除了由對(duì)稱結(jié)構(gòu)輪組組成，如4，8，16輪組，還有許多非對(duì)稱結(jié)構(gòu)輪組，如6，10，12，14輪結(jié)構(gòu)。對(duì)于對(duì)稱結(jié)構(gòu)輪組，其每對(duì)2輪組、4輪組、8輪組之間梁角度關(guān)系由于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性直接可得，從而可以直接用齊次變換求解。非對(duì)稱輪組中結(jié)構(gòu)的位姿由于索輪組和梁結(jié)構(gòu)的非對(duì)稱性，梁角度關(guān)系非直接可得，從而也不能直接用齊次變換方法求出輪組位姿，因而需要在分析結(jié)構(gòu)關(guān)系的基礎(chǔ)上，尋找求解方法。

1 非對(duì)稱輪組結(jié)構(gòu)

以6輪為例，輪組的結(jié)構(gòu)如圖1所示。6輪組索輪系統(tǒng)中，有3個(gè)2輪組，輪1、2鉸接于軸3，輪4、5鉸接于軸6，輪8、9鉸接于軸10，軸3、6通過夾板連接，組成一組4輪組，該4輪組中心通過軸7鉸接于索輪組大梁上，軸10另一端也鉸接于索輪組大梁上，索輪組大梁通過可繞軸11轉(zhuǎn)動(dòng)，軸11通過固定支座固定在索道支架橫擔(dān)端部。本文中，兩點(diǎn)間的距離表達(dá)為Li-j，i，j為點(diǎn)的標(biāo)號(hào)。

圖1 6輪組結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)結(jié)構(gòu)布置可知

輪組設(shè)計(jì)時(shí)，6輪組結(jié)構(gòu)和支座的鉸接點(diǎn)11在L3距4輪組1/3處，即

考慮折角關(guān)系的6輪組結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖2所示。

圖2 6輪組結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

索道支架上輪組的繩折角φ，每個(gè)輪上的繩折角為

中間兩輪組相對(duì)左側(cè)兩輪組轉(zhuǎn)過2θ，最右側(cè)兩輪組相對(duì)左側(cè)兩輪組轉(zhuǎn)過了4θ。

6輪組各輪的位姿問題即求解各輪心相對(duì)于鉸軸11的位姿。

如圖1，由于輪組結(jié)構(gòu)的不對(duì)稱性，對(duì)于已知每個(gè)輪上的繩折角，無法如對(duì)稱結(jié)構(gòu)輪組一樣，直接由齊次變換得出梁L3的空間位置關(guān)系。

因每個(gè)輪上折角相等，且輪組為剛體假設(shè)。易知輪組4-5-6與輪組8-9-10在空間上對(duì)稱，且L5-8與水平線的夾角為3θ。

則在（X3，Y3）坐標(biāo)系下點(diǎn)10坐標(biāo)可求。

2 點(diǎn)10坐標(biāo)求解

由參考文獻(xiàn)[1]可知：4輪組1-7點(diǎn)在坐標(biāo)系（X3，Y3）中坐標(biāo)矩陣為

式中：Tn(i，j)為矩陣中第i行，j列對(duì)應(yīng)的元素直線L6-10的方程為

整理上式并代入6點(diǎn)坐標(biāo)值為

3 6輪組位姿齊次坐標(biāo)求解

4輪組1-7點(diǎn)在坐標(biāo)系(X3，Y3)中坐標(biāo)矩陣已知，接下來需求解右側(cè)兩輪組中點(diǎn)8-9-10在坐標(biāo)系(X4，Y4)中各點(diǎn)坐標(biāo)。

3.1 右側(cè)2輪組在坐標(biāo)系(X4，Y4)中各點(diǎn)位姿

由文獻(xiàn)[1]可知

4θ旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換矩陣為

T4即為所求。

3.2 組裝6輪組（X5，Y5）坐標(biāo)系中各點(diǎn)位姿

計(jì)算4輪組在(X5，Y5)坐標(biāo)系中坐標(biāo)T5A：即將4輪組平移矩陣為

計(jì)算2輪組在(X5，Y5)坐標(biāo)系中坐標(biāo)T5B：即將2輪組平移矩陣為

點(diǎn)11在坐標(biāo)系(X5，Y5)中坐標(biāo)為

組裝1-11點(diǎn)在坐標(biāo)系(X5，Y5)中坐標(biāo)矩陣T5

對(duì)應(yīng)各列即為各點(diǎn)坐標(biāo)。

參考參考文獻(xiàn)[1]中同理可得入繩角φ1時(shí)水平坐標(biāo)系(X，Y )坐標(biāo)系中1-11點(diǎn)各輪心坐標(biāo)矩陣為

式中：T6(i，1)為i點(diǎn)x坐標(biāo)；T6(i，2)為i點(diǎn)y坐標(biāo)。

4 結(jié)論

本文以6輪組為例給出了齊次坐標(biāo)法求解非對(duì)稱結(jié)構(gòu)輪組位資中關(guān)鍵點(diǎn)的方程解法。并推導(dǎo)了計(jì)算公式，得出關(guān)鍵點(diǎn)的解析解。此方法可以類推到所有非對(duì)稱結(jié)構(gòu)輪組位姿分析。完善了等分折角條件下齊次坐標(biāo)法求解對(duì)稱和非對(duì)稱索輪組結(jié)構(gòu)的方法。在此基礎(chǔ)上，可編寫程序，提高索輪組位姿求解效率。進(jìn)而索輪組與橫擔(dān)的相對(duì)位置關(guān)系，也可在用齊次坐標(biāo)方法求解有傾角支架的橫擔(dān)位置之后計(jì)算得到，可用于更精確地確定線路支架的高度。在滿足GB 12352—2018《客運(yùn)架空索道安全規(guī)范》的前提下提高索道總體和部件設(shè)計(jì)的精度和效率。另外本文討論的輪組位姿變化適用于吊具不經(jīng)過索輪組時(shí)的情況。對(duì)于吊具經(jīng)過索輪組時(shí)，索輪組的位姿變化及動(dòng)力學(xué)特性，還需進(jìn)一步研究。