人字齒輪對稱度偏差對系統(tǒng)振動特性的影響分析*

賈婧瑜，沈云波，曹建鋒

(1.西安工業(yè)大學 機電工程學院，西安710021；2.中國航發(fā)湖南動力機械研究所，株洲 412000)

齒輪傳動作為常見的機械傳動方式之一，隨著科學技術的快速發(fā)展，正朝著高速、重載、高精度的方向發(fā)展，這對其動態(tài)性能也提出了更高的要求。人字齒輪不僅具有傳動穩(wěn)定以及斜齒輪本身承載能力高的優(yōu)點，而且克服了斜齒輪軸向力對支承軸承的磨損，使其成為航空發(fā)動機、船舶動力等高速、重載、大功率傳動的重要傳動形式。然而人字齒輪兩側輪齒存在不可避免的非完全對稱，是引起人字齒輪產生偏載、軸向振動、噪聲的主要根源，嚴重影響齒輪系統(tǒng)的壽命、可靠性等使用性能[1]。

由于引起齒輪振動的因素很多，分析各因素對各種齒輪傳動系統(tǒng)的影響，對了解系統(tǒng)振動的來源具有重要意義。文獻[2-3]建立了簡化的集中質量模型，分別研究了直齒輪傳動過程中動態(tài)傳動誤差、傳動誤差的高次諧波成分、齒輪傳動中時變嚙合阻尼對齒輪系統(tǒng)動態(tài)特性和動態(tài)穩(wěn)定性的影響。然而該集中質量模型僅局限于直齒圓柱齒輪系統(tǒng)的動態(tài)行為和振動特性的分析。文獻[4]研究了由多個部件組成的齒輪系統(tǒng)振動情況，并通過模態(tài)分析得到了齒輪系統(tǒng)的振動特性和齒輪的動載荷系數。但該研究主要解決是的直齒圓柱齒輪系統(tǒng)的振動分析，且沒有涉及軸向振動的問題。文獻[5]研究了人字齒輪輪齒兩側載荷變化情況，通過求解嚙合線上的柔度來獲得人字齒輪副的嚙合剛度。但該研究主要針對輪齒對稱情況下的人字齒輪，沒有考慮對稱度偏差對嚙合剛度的影響。文獻[6]建立了可用于變速動態(tài)分析過程的人字形行星齒輪動態(tài)模型，得到了人字齒輪在忽略齒廓誤差情況下加速過程的動態(tài)響應分析。但該研究尚未考慮人字齒輪兩側輪齒對稱度偏差對系統(tǒng)軸向振動的影響。文獻[7]在理論和實驗方面研究了在不同轉速和扭矩下人字齒輪系統(tǒng)的動態(tài)特性。不過在理論和實驗中未考慮對稱度偏差對軸向振動的影響因素。文獻[8-10]分別采用ANSYS有限元軟件的接觸分析模塊，和螺旋錐齒輪的載荷接觸分析模型，對齒輪傳動進行靜態(tài)接觸分析，從而得到完整嚙合周期內的時變嚙合剛度，為本文具有對稱度偏差的人字齒輪傳動嚙合剛度的計算提供了方法。在人字齒輪動力學研究方面，文獻[11-12]利用TCA和LTCA技術計算了人字齒輪的內部激勵，建立了人字齒輪系統(tǒng)動力學模型，在時域和頻域內分析了系統(tǒng)沿不同方向的振動情況。文獻[13-14]構建了人字齒輪系統(tǒng)動力學模型，考慮了時變嚙合剛度、綜合嚙合誤差等重要因素，對在使用過程中齒距累積誤差對系統(tǒng)的動態(tài)特性產生的影響進行了研究。但文獻并沒有考慮人字齒輪對稱度偏差對嚙合剛度和軸向振動情況的影響。文獻[15]進行了人字齒輪傳動小輪軸向固定和軸向竄動對齒面載荷分布的影響的研究，采用齒面承載接觸分析的方法，根據齒面偏載情況，提出了通過人字齒輪復合修形設計獲得左右齒面載荷均勻分布方法，并確定了最佳修形量。然而該文獻中人字齒輪對稱度偏差與偏載量的關系，缺乏系統(tǒng)的描述。文獻[16]研究了人字齒輪減速器傳動系統(tǒng)動力學模型的建立，分析計算了時變嚙合剛度和傳遞誤差的變化情況，得到了時域和頻域內系統(tǒng)的振動響應，但該研究沒有考慮對稱度偏差對人字齒輪時變嚙合剛度的影響。文獻[17]研究了高轉速下人字齒輪傳動系統(tǒng)沿軸向的振動特性，分析了螺旋角誤差、時變嚙合剛度和綜合齒形誤差激勵下系統(tǒng)的軸向振動情況。但文獻仍未考慮對稱度偏差對人字齒輪傳動系統(tǒng)振動的影響情況。

文中旨在提出并建立考慮對稱度偏差的人字齒輪系統(tǒng)多自由度動力學分析模型，研究對稱度偏差對人字齒輪傳動系統(tǒng)軸向振動的影響，并驗證了理論分析結果與實驗結果變化規(guī)律的一致性。

1 人字齒輪對稱度偏差

人字齒輪是由兩個螺旋角相等、方向相反的斜齒輪構成。如果要求兩側輪齒的同側齒面圍繞中心平面對稱，那么齒輪左右的同一位置的輪齒上的螺旋特征也圍繞中心平面對稱。

圖1給出了人字齒輪沿齒輪分度圓柱面展開時對稱度偏差的定義。即人字齒輪左右兩側斜齒輪同一側齒面上的理論螺旋線的交點O應位于中心平面上。但由于齒輪加工和制造誤差，實際兩側齒面的螺旋線在分度圓柱展開平面上的交點偏離到中心平面的H點，那么實際交點H與中心平面之間的距離就定義為人字齒輪的對稱度偏差fA。

圖1 對稱度偏差的定義Fig.1 Definition of symmetry deviation

根據對稱度偏差的定義，并考慮齒輪齒距測量的方法，構建了螺旋線法[18]人字齒輪兩側輪齒對稱度偏差測量模型，建立的對稱度偏差測量坐標系如圖2所示。

圖2 齒輪測量坐標系

在圖3所示的數控CNC齒輪測量中心對人字齒輪的對稱度偏差進行了測量，所測量的齒輪參數見表1。

表1 試驗所用人字齒對的基本參數

圖3 人字齒輪對稱度偏差測量Fig.3 Measurement of symmetry deviation of herringbone gears

小輪的對稱度偏差測量結果如圖4所示，其中橫坐標為齒的序號，縱坐標為相鄰齒的對稱度偏差。可以看出，15號齒和16號齒間的對稱度偏差較為明顯。

圖4 小齒輪相鄰齒對稱度偏差的測量結果Fig.4 Measurement results of full tooth helix of pinion

對采樣數據進行處理，采用統(tǒng)計分析的方法獲得了小輪的對稱度偏差為fa1=0.025 mm。利用同樣的測量原理和方法，測量出大輪的對稱度偏差為fa2=0.048 mm。

2 人字齒輪系統(tǒng)動力學模型

2.1 十二自由度動力學分析模型

人字齒輪中兩對斜齒輪的結構和材料屬性是相同的，但由于對稱度偏差對齒輪嚙合的影響，左右兩組斜齒輪副的嚙合剛度有所不同。將齒輪輪轂和軸視為一個整體，忽略輪轂和軸的連接形式，將人字齒輪退刀槽部分看作剛體，左右兩側斜齒輪視為剛性連接，對稱度偏差造成的嚙合剛度變化會使得原本人字齒輪兩側對稱分布的軸向力發(fā)生變化，從而引發(fā)軸向竄動。建立考慮對稱度偏差的人字齒輪傳動系統(tǒng)動力學分析模型，如圖5所示。

圖5 彎-扭-軸耦合人字齒輪振動模型

根據牛頓第二力學定律，系統(tǒng)的動力學方程可以由圖5中得到：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：yi,zi,θi(i=1，2，3，4)分別為主動輪和從動輪中心點O1,O2,O3和O4在z方向和y方向的平移量和角位移量；m1,m2,m3,m4,I1,I2,I3,I4分別為人字齒輪左側和右側斜齒輪的質量及轉動慣量；β1為人字齒輪的螺旋角；Fy1,Fy2為人字齒輪左右兩側斜齒輪副的切向嚙合力；Fz1,Fz2為人字齒輪左右兩側斜齒輪副的軸向嚙合力；Rb1,Rb2分別為主動輪和從動輪的基圓半徑；cy1,cy2,cy3,cy4,ky1,ky2,ky3,ky4為每個滾動軸承在徑向的支撐阻尼和支撐剛度；cz2,cz4,kz2,kz4為從動輪在軸向的支撐阻尼和支撐剛度；cz13,cz24,kz13,kz24為左側和右側斜齒輪中間退刀槽部分在軸向的拉、壓阻尼和剛度；Fs1(t),Fs2(t)為人字齒輪左側和右側斜齒輪副的嚙入沖擊激勵；T1和T3分別為小齒輪兩側主動輪的輸入扭矩。

其中，由于嚙入沖擊時間很短，因此通常將嚙合沖擊力曲線簡化成鋸齒波函數來處理。從圖6所示的嚙入沖擊力曲線可以看出對稱度偏差對人字齒輪輪齒兩側的嚙合沖擊影響較小。

圖6 嚙入沖擊力曲線圖

通過龍格-庫塔法求解可得到人字齒輪主從動輪在軸向和徑向的振動位移和振動速度，以及扭轉變形量和齒輪在軸承處的支承力變化情況。

2.2 有限元法求解齒輪嚙合剛度

使用Abaqus對人字齒輪嚙合剛度進行仿真時，由于考慮到輪轂和軸等支承結構增加模型的計算量影響計算精度，為了獲得準確的嚙合剛度，需要簡化人字齒輪系統(tǒng)模型。對人字齒輪三維簡化模型進行相關的網格劃分，因齒輪輪齒和輪轂的網格密度不同，剖分后分別劃分網格。齒輪輪齒先剖分出一個齒，生成端面的面網格，同時采用軟件的實體映射劃分功能對單個斜齒的體網格進行生成(如圖7所示)，進而得到整個斜齒輪的體網格。因所研究人字齒輪考慮到對稱度偏差的影響，在實際模型中可以看作兩側輪齒并非完全對稱，而是一側斜齒輪相對另一側含有微小的圓心角偏移。則最后需要對斜齒輪網格進行復制和旋轉命令，使其成為目標網格，即生成含有對稱度偏差的人字齒輪體網格，如圖8所示。

圖7 單個斜齒的網格劃分Fig.7 Meshing of a single helical tooth

仿真使用的齒輪模型參數與之前所測齒輪參數一致。仿真時約束了除兩齒輪繞軸旋轉的自由度外所有自由度，在小齒輪上施加一個較低的準靜態(tài)速度，在大輪上施加一個額定的負載扭矩，進行齒輪嚙合傳動的準靜態(tài)仿真。圖9為齒輪嚙合模擬中某時間的嚙合狀態(tài)。由Abaqus得到的嚙合剛度曲線(圖10)可以看出，由于對稱度偏差存在，人字齒輪兩側斜齒輪副嚙合剛度曲線存在偏差，右側斜齒輪副的嚙合剛度略小于左側齒輪副的嚙合剛度。

圖9 齒輪嚙合模擬中某時間的嚙合狀態(tài)Fig.9 Meshing state at one point in the simulation of gear mesh

圖10 人字齒輪左右側的嚙合剛度Fig.10 Meshing stiffness of the left and right sides of the gear

2.3 人字齒輪系統(tǒng)軸向振動特性仿真

根據測得的對稱度偏差，可得知人字齒輪傳動系統(tǒng)中主動輪中左旋相對右旋偏差0.025 mm，從動輪中左旋相對右旋偏差0.048 mm。進一步求得主動輪兩側輪齒圓心角偏移量為54″，從動輪兩側輪齒圓心角偏移量為35″，人字齒輪傳動動力學參數見表2。人字齒輪傳動的振動情況可以根據給出的動力學模型計算，得到人字齒輪的軸向振動速度如圖11所示。

圖11 對稱度偏差為0.025 mm時的軸向振動速度

表2 人字齒輪傳動動力學參數

3 實驗驗證和分析

3.1 封閉功率流人字齒輪試驗臺

與傳統(tǒng)的開放功率流試驗臺相比，本次實驗中使用的封閉式功率流試驗臺更加節(jié)能。封閉式功率流意味著能量傳輸的路線在整個測試臺中形成一個閉環(huán)。變頻逆變系統(tǒng)使加載設備消耗的部分能量轉化為電能，然后再傳輸回驅動系統(tǒng)達到加載和節(jié)能的效果。振動速度傳感器型號為CYT9200，測量范圍0～50 mm·s-1，系統(tǒng)采樣頻率2 000 Hz。

試驗臺的布局如圖12所示。在測試和測量過程中，傳感器分別在輸入軸的軸向90°，180°和270°三個測量點進行測試。

圖12 人字齒輪試驗臺布局

3.2 測試結果的驗證分析

人字齒輪在不同速度和扭矩下的振動速度是由試驗臺測量的。以時間為橫坐標，以小齒輪右側沿Z方向的振動速度為縱坐標，得到三個測量點的振動速度對比圖。

圖13所示為人字齒輪在轉速為8 00 r·min-1、1 200 r·min-1，1 500 r·min-1時分別沿軸向的振動速度?？梢钥闯觯敎y量點和扭矩保持不變的條件下，轉速的增加導致了振動速度的增加；同樣在1 500 r·min-1時，明顯看出相對比其他兩種情況下齒輪的軸向振動速度波動更大。

圖13 恒定扭矩下不同轉速下的振動速度比較Fig.13 Comparison of the vibration speeds at different revolutions per minute with constant torque

圖14所示為轉速為1 000 r·min-1時不同扭矩情況下齒輪沿軸向的振動速度對比圖?？梢钥闯?，在測量點和轉速不變的條件下，扭矩的增加導致振動速度增加；同時當扭矩較大時，齒輪在軸向的振動速度波動較大。

圖14 恒定轉速不同扭矩下的振動速度Fig.14 Comparison of vibration speed at 1 000 rpm with different torques

圖15所示為齒輪在800 r·min-1，1 200 r·min-1，1 500 r·min-1時齒輪沿軸向的振動速度對比圖。得到在轉速和扭矩不變的條件下，測量點移動振動速度的變化規(guī)律。當轉速為800 r·min-1和1 200 r·min-1時，三個測量點的振動速度變化幅度不大，但當轉速達到1 500 r·min-1時，明顯看到隨著測量點位置的變化，振動速度逐漸變快，表現出對稱度偏差對齒輪軸向振動的影響。

圖15 不同扭矩下的振動速度比較

為了進一步評估模型的準確性，對人字齒輪在1 000 r·min-1時測量結果和理論結果進行直接比較。從圖16中可以看出，響應曲線的整體形狀都吻合得很好，盡管可以看到有小數量的誤差，但模型和實驗之間的合理一致性仍然相當明顯。

圖16 人字齒輪測量和理論仿真的響應曲線的比較

4 結 論

1) 建立了考慮人字齒輪兩側輪齒對稱度偏差的傳動系統(tǒng)12自由度彎-扭-軸動力學分析模型，并采用有限元法精確求解了考慮對稱度偏差影響的兩側輪齒嚙合的時變嚙合剛度，結果表明了對稱度偏差明顯減少了齒輪副的綜合嚙合剛度。

2) 采用齒輪齒距測量法獲得了小輪的對稱度偏差為0.025 mm，大輪的對稱度偏差為0.048 mm；運用龍格-庫塔法求解了動力學方程，獲得了不同工況下傳動系統(tǒng)軸向振動速度；搭建了封閉功率流人字齒輪傳動試驗臺，在實際扭矩和速度范圍內對人字齒輪進行實驗，測試結果表明扭矩和轉速的增大會造成振動速度的增加；理論分析結果與實驗結果直接比較表明小輪軸向振動速度變化趨勢具有高度的一致性。

3) 文中獲得的理論分析結果僅考慮了不同工況下的齒輪系統(tǒng)的動力學行為，因而與齒輪箱表面實驗測試數據對比誤差較大。考慮齒輪箱的動態(tài)特性，建立齒輪系統(tǒng)和箱體的耦合動力學分析模型并探究齒輪箱體耦合振動情況，是進一步研究的方向。