“問題提出”，實(shí)現(xiàn)思維水平的多重提升
——以“百分?jǐn)?shù)變化幅度問題”的教學(xué)為例

浙江省杭州市蕭山區(qū)瓜瀝鎮(zhèn)坎山小學(xué) 李 青

“百分?jǐn)?shù)變化幅度問題”是人教版數(shù)學(xué)六年級上冊 “百分?jǐn)?shù)（一）”的一個學(xué)習(xí)內(nèi)容，具有一定的綜合性，是對本單元百分?jǐn)?shù)相關(guān)知識的綜合性運(yùn)用。到了六年級，學(xué)生完全有能力、也有意愿去探索和研究數(shù)學(xué)問題。為此，教師采用“問題提出”教學(xué)模式，放手讓學(xué)生自主提問、獨(dú)立探究、交流互動，以此達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，并促使學(xué)生用整體的眼光研究同類問題，提升學(xué)生的“問題提出”能力和數(shù)學(xué)思維水平。

一、數(shù)學(xué)分析

教材中的“百分?jǐn)?shù)變化幅度問題”具體為“某種商品4月末的價格比3月末降了20%，5月末的價格比4月末又漲了20%。5月末的價格和3月末比是漲了還是降了？變化幅度是多少？”這是“連續(xù)求一個數(shù)增、減百分之幾”的問題，可以用“□×（1－□%）×（1＋□%）”的形式表示，是“求比一個數(shù)多（少）百分之幾是多少？”和“求一個數(shù)比另一個數(shù)多（少）百分之幾”問題的綜合運(yùn)用。此類題型還可以衍生出“先增后減”“連續(xù)增加百分之幾”“連續(xù)減少百分之幾”“如何增減才能回到原價”等多種問題。教學(xué)時，教師應(yīng)以教材問題為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生在此基礎(chǔ)上不斷提出新問題、發(fā)現(xiàn)新規(guī)律。

二、教學(xué)分析

“百分?jǐn)?shù)變化幅度問題”的難點(diǎn)在于，作為初始單位“1”的3月份是個未知量，同時，連續(xù)增減變化，單位“1”也會隨之變化。并且，這一問題具有一定的綜合性。從不同的角度觀察，我們可以得到不同的記錄。在教學(xué)中，教師不能滿足于得出一個問題的結(jié)果，而應(yīng)從重視變化結(jié)果轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)注變化過程，使學(xué)生能舉一反三解決同類型問題并發(fā)現(xiàn)其中包含的規(guī)律。

因此，本堂課的主要教學(xué)環(huán)節(jié)分為：

1.提供情境引出研究內(nèi)容，并引導(dǎo)學(xué)生提出“分步和綜合”兩種問題，為局部和整體研究此類問題提供素材。

2.學(xué)生解決兩種問題，并在交流匯報的過程中，體會此類問題中包含的“變與不變”的規(guī)律。

3.在解決基本問題的基礎(chǔ)上，鼓勵學(xué)生提出更多相似的問題，從而對一類問題的解決方法及其所包含的規(guī)律進(jìn)行整體研究。

三、教學(xué)實(shí)踐

（一）情境導(dǎo)入，提出問題

課始，教師給出與百分?jǐn)?shù)有關(guān)的問題情境，請學(xué)生提出問題，根據(jù)提問情況引出本堂課的研究內(nèi)容。

師：同學(xué)們都有自己喜歡的書籍吧。月月非常喜歡《奇妙的數(shù)學(xué)世界》，她一直關(guān)注著這套書的價格。這套書“4月的價格比3月降了20%，5月的價格比4月又漲了20%”?？吹竭@些信息，你能提出哪些數(shù)學(xué)問題？可以是簡單的，也可以是稍復(fù)雜的。

生1：4月份的價格是3月份價格的百分之幾？

生2：5月份的價格是4月份價格的百分之幾？

生3：5月份的價格是3月份價格的百分之幾？

生4：5月份的價格是不是和3月份的價格相同？

師：同學(xué)們提的問題都非常好，請你大膽猜想一下，這套書5月份的價格會等于3月份的價格嗎？

生5：我覺得是一樣的，4月份價格先降了20%，5月份價格又漲了20%，相互抵消了。

生6：我覺得不一定，4月份降的20%和5月份漲的20%不一樣，也就是單位“1”不一樣。

師：兩位同學(xué)的說法，似乎都有道理。今天這節(jié)課，我們就來研究“變化幅度”問題。

【設(shè)計意圖：學(xué)生根據(jù)教師給出的信息，結(jié)合自己的實(shí)際水平，提出了涉及部分信息的問題和綜合性問題。這兩類問題將在后續(xù)的深入分析問題和整體呈現(xiàn)規(guī)律等兩方面發(fā)揮重要作用?！?/p>

（二）解決問題，比較溝通

在學(xué)生提出兩類問題之后，教師組織學(xué)生獨(dú)立解決問題，并在此基礎(chǔ)上通過局部與整體的比較、辨析，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“百分?jǐn)?shù)變化幅度問題”中包含的規(guī)律。

師：要研究5月份的價格與3月份的價格的關(guān)系，同學(xué)們提的前兩個問題有沒有用？（生1和生2）

生：有用的，因?yàn)轭}目中沒有告訴我們5月份的價格和3月份的價格是什么關(guān)系，我們必須要算出4月份的價格。

師：是的，所以前面兩個問題合起來，就組成了第3個、第4個問題。那現(xiàn)在我們可以解決這些問題了嗎？

生1：還有一個問題，3月份的價格還不知道，那就沒法算4月份的價格，也沒法算5月份的價格。

生2：可以假設(shè)一個數(shù)字。

生3：也可以直接用單位“1”來表示。

師：那就請大家自己試一試吧。

（學(xué)生獨(dú)立嘗試解決問題后匯報交流）

生1：我是假設(shè)3月份的價格為200元，那么，4月份的價格就是200×（1-20%）=160（元），5月份的價格是160×（1＋20%）=192（元），5月份的價格比3月份的價格少了。

生2：我是假設(shè)3月份的價格是100元，然后，4月份就是80元，5月份是96元，5月份的價格也比3月份的價格降了。

生3：我是用字母表示的，假設(shè)3月份的價格是a元，4月份的價格是a×（1－20%）=0.8a（元），5月份的價格是0.8a×（1+20%）=0.96a（元）。

生4：用單位“1”表示也差不多，3月份價格是單位“1”，4月份的價格就是0.8，5月份的價格就是0.96。

師：這幾位同學(xué)的做法都是怎么解決的？

生5：都是假設(shè)3月份的價格，因?yàn)橹挥兄?月份的價格，才能繼續(xù)算其他月份的價格。

生6：根據(jù)3月份的價格，都是先算4月份的價格，再算5月份的價格。

師：有沒有同學(xué)能把這些方法列成綜合算式？

（學(xué)生說綜合算式，教師板書記錄）

師：從這些綜合算式（見圖1）中，我們可以發(fā)現(xiàn)哪些信息呢？

圖1

生1：5月份的價格都比3月份的價格少了，192比200少，96比100少，0.96a比a少，0.96比1少。

生2：我發(fā)現(xiàn)不管設(shè)3月份的價格是多少，后面都要經(jīng)過相同的計算。也就是說，都要先算出3月份價格的80%，得到4月份的價格，再算4月份價格的120%，得到5月份的價格。

生3：我們可以把兩次運(yùn)算合起來看，簡單地說，就是先降20%得到80%，再漲20%，得到120%。

生4：補(bǔ)充一下，這個120%不是3月份價格的120%，而是4月份價格的120%，那么就相當(dāng)于3月份價格的96%。因?yàn)橄鹊玫?0%，再乘120%，最后是96%。

生5：他的意思是，可以先算后面兩次變化。那么，5月份價格=3月份價格×（1－20%）×（1＋20%）=3月份價格×96%。

師：這幾位同學(xué)的發(fā)現(xiàn)非常重要，從他們的發(fā)現(xiàn)里，你可以得到怎樣的結(jié)論？

生：我發(fā)現(xiàn)不管假設(shè)3月份的價格為多少，5月份的價格總是它的96%，那么，總是比3月份的價格下降1－96%=4%, 下降了4%。

師：同學(xué)們，剛才我們提出了不同的問題，有分步計算的問題，也有列綜合算式解決的問題，你覺得分步算好還是綜合算好？

生1：綜合的好，綜合的方便我們比較，發(fā)現(xiàn)5月份的價格只有3月份價格的96%。

生2：分步的也有優(yōu)點(diǎn)，沒有分步的，我一下子寫不出綜合算式。而且，分步的問題也讓我知道了4月份的價格是多少。

生3：通過分步算式，我知道了單位“1”是在變化的。求4月份的價格時，單位“1”是3月份的價格，求5月份的價格時，單位“1”是4月份的價格。因此，不能簡單地看到先降20%再漲20%，就以為價格不變了。

師：同學(xué)們對這類問題分析得非常到位，評價也很合理，太好了。

【設(shè)計意圖：學(xué)生通過分步計算，解決了實(shí)際問題，發(fā)現(xiàn)用不同的方法解決，5月份的價格都比3月份的價格要小。在此基礎(chǔ)上，教師呈現(xiàn)綜合算式，組織學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)算式中隱藏的規(guī)律：不管怎么算，5月份的價格總是3月份價格的96%。隨后，教師組織學(xué)生對自己提出的分步和綜合兩類問題的作用進(jìn)行比較，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩類問題各有自己的價值，前者能幫助我們更好地運(yùn)用知識、解決問題，后者有利于我們發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律?！?/p>

（三）“問題提出”，拓展延伸

在研究例題的基礎(chǔ)上，教師鼓勵學(xué)生自己提出問題，通過“問題提出”考查學(xué)生對此類問題的理解程度。

師：剛才，我們提出了分步和綜合的兩類問題，在解決問題的過程中，發(fā)現(xiàn)了價格變化幅度問題的規(guī)律。你能不能試著自己提出一個類似的問題？

生1：商場里搞促銷，一臺電視機(jī)先降價20%，促銷結(jié)束后又漲價20%?，F(xiàn)在價格和原來比是貴了還是便宜了？

生2：冬天快到了，一款羽絨衣漲價了20%，到了春天，又降價20%。這款羽絨衣比原價貴了還是便宜了？

生3：我也是電視機(jī)，但是，我是先降價10%，再漲價10%，問貴了還是便宜了？

生4：一臺洗衣機(jī)，先降價20%，再上漲百分之幾才能回到原價？

生5：如果是連續(xù)漲20%，5月份的價格與3月份的價格比相差多少？如果是連續(xù)降價20%，5月份的價格和3月份的價格相比，相差多少？

師：太精彩了，同學(xué)們不但提出了和課本上類似的問題，還提出了很多新問題。我們先來研究哪一個呢？

生6：第一個問題和剛才的例題是一樣的，所以我不研究了。我想研究先漲價再降價的問題，因?yàn)檫@個問題的過程和例題剛好相反。

生7：我想研究降價10%再漲價10%的問題，我想看看百分?jǐn)?shù)變了，是不是還是一樣的結(jié)果。

生8：連續(xù)降價肯定比原價低，連續(xù)漲價也肯定比原價高，但是相差多少，還是可以研究的。

生9：洗衣機(jī)先降價20%，再漲多少的問題有點(diǎn)復(fù)雜，但我想試試。

（學(xué)生解答自己感興趣的問題后，在全班交流）

1.研究“先漲20%再降20%”的問題

生：我是假設(shè)羽絨衣的價格為單位“1”，1×（1+20%）×（1-20%）=0.96=96%。我發(fā)現(xiàn)和先降再漲是一樣的。

師：怎么會這樣呢？兩種不同的算法，4月份的價格是不一樣的?。?/p>

生1：“先漲再降”是先乘120%再乘80%，“先降后漲”是先乘80%再乘120%，不管先后順序，最終都是原價的96%，和先降20%再漲20%一樣。

結(jié)合學(xué)生的回答，教師完成完整板書：

先漲再降：1×（1+20%）×（1-20%）=1×96%=0.96

先降再漲：1×（1-20%）×（1+20%）=1×96%=0.96

生2：根據(jù)乘法交換律，先乘80%或先乘120%，結(jié)果都是一樣的。

2.研究“先降10%再漲10%”的問題

師：剛才有一個問題，是把20%都換成了10%，誰解決了這個問題？

生1：改成10%的話，那就是1×（1－10%）×（1＋10%）=0.99，也就是99%，還是便宜了。

生2：我發(fā)現(xiàn)改成先漲10%再降10%，也是一樣的，因?yàn)橹皇墙粨Q了一下運(yùn)算順序。

生3：我自己又把10%改成了30%試了一下，1×（1－30%）×（1＋30%）=91%，還是降了。

師：這個嘗試非常好，我們把10%、20%、30%聯(lián)系起來看一下，你有什么發(fā)現(xiàn)？（見圖2）

圖2

生1：不管是百分之幾，也不管是先漲后降，還是先降后漲，都比原來要便宜。

生2：而且，這個百分?jǐn)?shù)越大，最后就越便宜。

生3：漲和降必須是同一個百分?jǐn)?shù)，比方說，都是10%，或都是20%。

師：大家觀察得很仔細(xì)，最后這個意見非常嚴(yán)謹(jǐn)，確實(shí)是這樣的。

3.研究“先降20%再漲（ ）%才能回到原價”

師：剛才還有一個問題，先降20%，然后要回到原價，你怎么看？

生1：那肯定不可能是漲20%了。

生2：要比20%大一點(diǎn)。

生3：我剛才選的就是這個問題。先降20%，那就是0.8，然后要回到原價，就是回到單位“1”，所以，我只要用單位“1”除以0.8就行了，得到1.25，也就是125%，那么就是再漲25%。

師：按照你的方法，算式應(yīng)該是1÷（1－20%）－1=25%。我們也可以把25%放到乘法算式中驗(yàn)算一下：“1×（1－20%）×（1＋25%）”，回到原價了嗎？

生：1×（1-20%）×（1+25%）=1×80%×125%=1×1=1，是原價。

師：按照他的方法，我們還可以研究先降10%，再漲百分之幾，可以回到原價的問題，當(dāng)然也可以研究其他百分?jǐn)?shù)，這個問題我們課后再去研究。

【設(shè)計意圖：在提問的過程中，一部分學(xué)生模仿例題對所學(xué)知識進(jìn)行了運(yùn)用，更多的學(xué)生則在原有的基礎(chǔ)上進(jìn)行了發(fā)散性思考，提出了包含更多變化的新問題。這些問題的提出和解決，使學(xué)生對此類問題有了新的認(rèn)識和更深的理解。學(xué)生的“問題提出”和數(shù)學(xué)思考能力得到了進(jìn)一步的發(fā)展。】

四、教學(xué)反思

本堂課的教學(xué)過程，充分體現(xiàn)了“問題提出”教學(xué)模式對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、情感態(tài)度和數(shù)學(xué)思考等方面的價值。

（一）創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫彻膭顚W(xué)生提出問題

“問題提出”教學(xué)模式的目的是給學(xué)生創(chuàng)造更多的學(xué)習(xí)機(jī)會，鼓勵更多的學(xué)生參與學(xué)習(xí)活動。因此，教師應(yīng)重視不同層次學(xué)生的課堂表現(xiàn)，在課堂教學(xué)之初，應(yīng)該降低學(xué)習(xí)的門檻，讓更多學(xué)生參與進(jìn)來。教師請學(xué)生根據(jù)情境，提出簡單的或稍復(fù)雜的問題，這有利于不同水平的學(xué)生提出符合自身認(rèn)知的問題。因此，學(xué)生提出了分步和綜合兩種問題，一方面，分步問題分解了學(xué)習(xí)難點(diǎn)，使學(xué)生得以運(yùn)用所學(xué)知識解決問題；另一方面，綜合問題有利于學(xué)生從整體的視角觀察和審視問題中包含的規(guī)律。

在學(xué)生解決基本問題之后，教師再次鼓勵學(xué)生提出類似的問題。這既為學(xué)生運(yùn)用剛得出的方法提供了機(jī)會，也為提出和研究新問題創(chuàng)造了條件。學(xué)生在第一次提問活動的激勵下，進(jìn)行發(fā)散性的思考，提出了三種新的問題，為進(jìn)一步研究這類問題提供了優(yōu)質(zhì)的素材。

（二）提出不同層次的問題推動思維發(fā)展

在整個教學(xué)活動中，學(xué)生提出問題的思維水平層層遞增。從分步問題到綜合問題再到變式問題，最后提出發(fā)散性問題，學(xué)生在解決這些問題的過程中，對“百分?jǐn)?shù)變化幅度問題”的認(rèn)識，經(jīng)歷了計算問題的結(jié)果到研究解答的過程，再到同類型問題的舉一反三和歸納整理的過程。在這一過程中，學(xué)生不僅掌握了研究此類問題的方法，在變式運(yùn)用中提高了對問題本質(zhì)的理解，而且提升了自己的思維水平，在研究問題的方法、策略等方面也積累了相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)。

因此，可以說，“問題提出”教學(xué)模式激發(fā)了學(xué)生研究數(shù)學(xué)問題的強(qiáng)烈愿望，并為研究提供了一條清晰的路徑，對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的進(jìn)一步發(fā)展起到了重要的作用。