基礎隔震框架結構的分布參數(shù)動力模型及地震響應規(guī)律的研究*

彭凌云 劉 文 孫 睿

(北京工業(yè)大學工程抗震與結構診治北京市重點實驗室,北京 100124)

基礎隔震在實際工程中的應用逐漸增多，且都具有良好的減震效果。但基礎隔震建筑的上部結構和隔震層的阻尼特性有顯著差距，是一種非比例阻尼體系[1-2]，對于大部分基礎隔震結構，上部結構與隔震層的相互作用不能僅考慮上部結構的主頻率，高階振型對上部結構的影響也很大。在隔震結構設計時，GB 50011—2010《建筑抗震設計規(guī)范》[3]采用分部設計方法或強迫解耦的振型分解反應譜方法進行計算[4]，兩者均忽略了結構非比例阻尼的影響，當隔震層阻尼逐漸增大時由此引起的誤差也越來越大，更不能真實地描述基礎隔震結構的動力特性，所以許多學者提出了簡化計算模型來彌補這方面的不足。

文獻[5-6]提出一種雙自由度的等效模型，可以預測中低層隔震結構的最大地震響應。對于基礎隔震結構通常采用離散的有限元模型或更簡單的雙自由度、多自由度等效模型[7-8]。杜永峰等采用等效的雙自由度體系簡化模型，對隔震體系上部結構層剪力和隔震層位移進行等效分析[9]。杜永峰等將層間剪切型結構化簡為多級串聯(lián)非比例阻尼隔震結構模型，并將該模型的阻尼矩陣表達形式推廣至多級串聯(lián)非比例阻尼模型，采用狀態(tài)空間法對其進行地震響應分析[10]。但上述簡化方法的應用都比較局限，而分布參數(shù)模型可以給出結構響應顯式的表達形式，在研究結構動力規(guī)律方面更具優(yōu)勢。Skinner等將基礎隔震上部結構等效為剪切梁模型，研究了經典阻尼和非經典阻尼情況下隔震結構動力特性[11]。劉平等提出基礎隔震結構的分布參數(shù)剪切梁模型，并指出該模型可以更清楚、更全面地反映上部結構與基礎隔震參數(shù)的相互關系[12]。潘東輝等認為高層隔震結構可簡化為隔震懸臂梁模型,但并未考慮非比例阻尼對結構動力特性的影響[13]。

以基礎隔震框架結構為對象，基于分布參數(shù)體系并結合結構的特點，將建立考慮非比例阻尼的分布參數(shù)剪切型懸臂梁隔震模型并求解。通過這個模型，研究固定支座、比例阻尼隔震和非比例阻尼隔震模型的動力特征，考察隔震前、后結構周期的變化以及比例阻尼隔震和非比例阻尼隔震對應的周期、阻尼比和振型參與系數(shù)。同時通過振型分解時程分析方法，對比比例阻尼隔震與非比例阻尼隔震模型的響應，一方面對比比例阻尼隔震和非比例阻尼隔震模型的響應差異；另一方面對比分部設計方法與比例阻尼隔震整體設計方法對應的模型響應。

1 基礎隔震剪切型懸臂梁模型

假定基礎隔震框架結構的上部為剪切型懸臂梁，隔震層剛度、阻尼和質量分別為kb、cb、mb，如圖1所示。圖中:u為懸臂梁相對于地面的位移;ρ、G、A分別為懸臂梁的密度、剪切模量和橫截面積；l為梁的高度，下文中歸一化為1。

圖1 剪切型懸臂梁模型Fig.1 A model of shear cantilever beams

1.1 剪切型懸臂梁模型運動方程表達式

圖2 微梁段隔離體Fig.2 Micro beam sections

(1)

為簡化表達，上式中u=u(y,t)，下文同。假定上部結構阻尼較小且分布較為均勻，符合瑞雷阻尼假定，則微段阻尼力可分為質量相關部分和剛度相關部分，即：

fD(y,t)=fDρ(y,t)+fDG(y,t)

(2)

其中，質量與剛度相關部分表達為：

(3a)

(3b)

將式(2)代入式(1)后整理得：

(4)

由分離變量法求解方程(4)，其n階振型對應的自由振動解具有如下形式：

un=φn(y)eλnt

(5)

式中：φn(y)為振型函數(shù);λn為復數(shù)特征值;ζn、ωn為第n階振型的阻尼比和頻率比。

將式(5)代入式(4)可得：

(6)

式(6)表示振型求二階導數(shù)后函數(shù)形式不變，可假定振型函數(shù)為：

φn(x)=cos[γn(l-x)]x∈[0,1]

(7)

式(7)表示的振型的頂部位移為1。將式(7)代入式(6)以后得到：

(8)

式中：γnl是剪切梁波數(shù)；α、β為Rayleigh阻尼系數(shù)。梁頂部邊界條件是剪力為零，即切應變?yōu)榱?，?7)表示的振型函數(shù)求一階導數(shù)后自動滿足；根據(jù)梁底部邊界條件可以解得波數(shù)γnl，進而求得對應頻率和振型。下面針對上部剪切梁底部分別為固定支座邊界、自由支座邊界和隔震支座邊界條件進行討論。

1.2 固定支座邊界條件

當梁底部固定時，其邊界條件為cos(γfbnl)=0，其中下標fb表示固定支座，n表示第n階振型，可得：

γfbnl=(2n-1)π/2n=1,2,3…

(9)

比例阻尼條件下，其振型與無阻尼條件結果相同，令α、β為0，式(8)可簡化為：

(10)

可得固定支座條件的第n階振型的頻率為：

(11)

1.3 隔震支座邊界條件

當上部剪切梁底部布置隔震支座時，底部邊界剪力平衡條件為：

(12)

式中：φbn是第n階振型隔震層相對于地面的位移。

其振型函數(shù)形式同式(7)，當x=0時有φbn=cos(γnl)。定義隔震結構第n階復振型特征值為：

λn=λιnωfb1

(13)

ιn=ωn/ωfb1

式中：ωfb1為固定支座邊界條件下隔震結構的第一階振動頻率；ιn為隔震結構的振型頻率比。

將式(7)代入式(12)右端求積分可得：

(14)

(15)

式中：μ、ζb、κ、αm分別為隔震層質量比、阻尼比、隔震系數(shù)和無量綱瑞雷阻尼質量系數(shù)。

μ、ζb、κ、αm的計算式分別為：

(16a)

(16b)

(16c)

(16d)

即把隔震層上部結構當做單自由度的隔震頻率。式(15)表明：隔震結構的振型頻率比、阻尼比依賴于上部結構阻尼系數(shù)αm和隔震層參數(shù)ζb、κ、μ，而與上部結構振型頻率絕對值無關。

將式(13)代入式(7)可求得用復特征值和固定支座條件時第一振型波數(shù)表示的隔震結構波數(shù)計算式：

(17)

其中βk=βωfb1

式中：βk為無量綱瑞雷阻尼剛度系數(shù)。

將式(17)代入式(15)，當上部結構比例阻尼系數(shù)和隔震層參數(shù)已知時，令實部、虛部相等即可獲得關于ζn、ιn的超越方程組，一般情況下需采用數(shù)值方法求解該方程組。將阻尼比和頻率比的解代入式(17)和式(7)即可得到各階波數(shù)和復振型。

1.4 復振型的正交性

參考離散模型復振型正交性的定義，當j不等于k時，分布參數(shù)模型的復振型滿足：

(18a)

(18b)

式中:積分包含了邊界條件[14]，φj、φk分別為第j、k階振型的隔震層相對于地面的位移，與質量相關部分需加上φbjmbφbk，φbj、φbk分別為第j、k階振型的隔震層位移分量，與剛度相關部分按分部積分公式做如下變換：

(19)

式(19)右邊第一項的物理意義為：當GA=1時，第k階振型底部剪力在第j階振型底部自由度做的虛功，代表底部隔震層彈性支座對正交性的貢獻。

1.5 不考慮阻尼的振型分解

當不考慮阻尼時，式(17)變換為λιn=iιn，式(15)和式(17)分別變換為如下形式：

(20)

式中：ιn和γn都是實數(shù)。

γnl=γfb1ιn

(21)

將式(21)代入式(20)后可求得τn，然后代入式(8)可得到振型函數(shù)。

1.6 振型阻尼比的強迫解耦方法

(22)

據(jù)式(8)可得上式中的積分式為：

(23)

2 基礎隔震框架結構地震響應

地震作用下，式(1)中慣性力部分的增加地面運動加速度分量。相應的，式(4)變?yōu)槿缦滦问剑?/p>

(24)

參考離散模型復振型參與系數(shù)的定義，按照前述正交條件可得到分布參數(shù)模型復振型參與系數(shù)的計算式為：

(25)

不考慮阻尼影響時的振型參與系數(shù)計算式為：

(26)

文獻[16]給出地震作用下采用復振型表示的位移響應計算式為：

(27)

其中un=2Re[ηnδn(t)φn]

式中:ηn、φn為復數(shù)形式的振型參與系數(shù)、振型向量；δn(t)為第n階振型復數(shù)形式的響應時程；un為第n階振型對應的位移，為實數(shù)。

分布參數(shù)模型有無數(shù)振型，按照振型分解理論，取有限階振型組合即可。

第n階振型復數(shù)形式的響應按一階系統(tǒng)杜哈梅公式求解如下：

(28)

利用歐拉公式和單自由度系統(tǒng)杜哈梅積分公式可得：

(29)

代入式(27)可得到：

(30)

與比例阻尼系統(tǒng)振型分解相比，考慮非比例阻尼的振型分解對應響應包含了速度項。當系統(tǒng)退化為比例阻尼時，速度項中Re(ηnφn)為0(因為比例阻尼系統(tǒng)的ηn實部為0，φn虛部為0)，式(30)將退化為比例阻尼系統(tǒng)的振型分解式。

剪切型分布參數(shù)結構的截面剪力為GA與位移函數(shù)一階導數(shù)的乘積，與式(30)對應的截面剪力計算式為：

(31)

分布參數(shù)結構的層間位移角等于位移函數(shù)的一階導數(shù)：

(32)

3 基礎隔震框架結構動力特征分析

基于基礎隔震剪切型懸臂梁模型，研究固定支座模型、比例阻尼隔震和非比例阻尼隔震模型的動力特征?？疾炝烁粽鹎昂蠼Y構周期及振型的變化，同時對式(17)、(15)、(25)和式(20)、(22)、(26)表示的非比例阻尼隔震(考慮阻尼影響)和比例阻尼隔震(不考慮阻尼影響)求得的頻率、阻尼比和振型參與系數(shù)的結果加以對比分析。

比例阻尼隔震和非比例阻尼隔震模型分別采用強迫解耦方法和復振型分解方法計算。

算例計算參數(shù)如下：上部結構前兩階振型的阻尼比為0.05，計算得到無量綱的瑞雷阻尼系數(shù)αm和βk分別為0.075和0.025；隔震系數(shù)κ=0.5、隔震層質量比μ=0.1，隔震層阻尼比ζb=0.2；隔震前結構周期為1.5 s。

3.1 隔震前后結構周期及阻尼比對比

根據(jù)式(12)、(17)、(20)求固定支座(隔震前)以及隔震支座邊界條件下的周期，固定支座邊界條件下采用實振型解耦方法計算；隔震支座邊界條件下按強迫解耦和復振型分解方法計算。

表1給出了基礎隔震剪切型懸臂梁模型在隔震前后相應的前六階振型周期計算結果。

表1 剪切型懸臂梁模型周期對比Table 1 The contrast to periods of the shear cantilever beam model s

從表中可以看出：1)基礎隔震顯著延長第一階振型周期，對高階振型周期影響逐步減小，該現(xiàn)象及其原因可參考文獻[11]。2)采用復振型分解計算的振型周期結果與不考慮阻尼實振型差別較小。

圖3給出了當隔震系數(shù)κ取0.3～1.0，隔震層阻尼比ζb取0.05～0.25時，實振型強迫解耦計算的前四階振型阻尼比相對于復振型分解計算結果的誤差結果。

a—一階振型阻尼比誤差；b—二階振型阻尼比誤差；c—三階振型阻尼比誤差；d—四階振型阻尼比誤差。圖3 兩種阻尼比計算相對誤差Fig.3 The relative errors of damp ratios between calculated by the proportional damping model and by the non-proportional damping isolated model

圖3中誤差為復振型分解方法與強迫解耦方法計算結果的差除以復振型分解方法計算結果?？芍敻粽饘幼枘釁?shù)保持不變，隔震系數(shù)κ從0.3遞增至1.0時，強迫解耦模型前4階振型對應的阻尼比相對誤差也逐漸增大；當隔震系數(shù)保持不變，隔震層阻尼比ζb從0.05遞增至0.25時，模型前四階振型對應的阻尼比相對誤差逐漸減小，總體誤差不超過10%。

上述結果表明，隨著隔震層阻尼比及隔震系數(shù)的增大，強迫解耦方法與復振型分解方法的計算誤差也相應增大，但總體上區(qū)別不大。

3.2 隔震前后結構振型對比

圖4給出了剪切型懸臂梁模型在隔震前后前三階振型的對比情況。隔震支座邊界條件下采用復振型分解方法計算，復振型實部與虛部分開作圖。

強迫解耦；復振型實部；復振型虛部；固定支座;b為隔震層所在位置。圖4 不同支座情況下前三階振型對比Fig.4 Comparisons of the first three modals with different supports

由圖4可以看出：1)強迫解耦方法振型與復振型分解方法振型實部接近，但強迫解耦方法忽略了虛部對振型的影響，計算結果偏小。2)復振型虛部繪制的振型曲線符合一般規(guī)律，但其絕對數(shù)值明顯小于實部，對模型振型的影響較小。3)基礎隔震結構的受力特點與固定支座結構明顯不同，結構設計時需要考慮振型的影響。

4 隔震前后結構地震響應特征

4.1 隔震前后振型參與系數(shù)對比

表2給出了固定支座結構及根據(jù)式(25)和式(26)計算的比例阻尼隔震和非比例阻尼隔震模型前四階振型的振型參與系數(shù)。

表2 隔震前后振型參與系數(shù)對比Table 2 Comparisons of modal participation coefficients before and after being isolated

由表2可知，基礎隔震顯著降低了結構高階振型參與系數(shù)，且復振型分解方法的振型參與系數(shù)隨振型階數(shù)的增加而快速減小，第四階時振型參與系數(shù)已衰減至0.000 1；強迫解耦方法的振型參與系數(shù)變化規(guī)律和復振型分解方法一致。

雖然3.1節(jié)分析結果顯示基礎隔震對高階振型周期影響較小，但由于其有效降低了結構高階振型的振型參與系數(shù)，因而是可以對高階振型起到顯著減震效果的。

4.2 隔震前后樓層剪力分布規(guī)律

結構計算參數(shù)同第3節(jié)算例，圖5給出了隔震前后結構前三階振型的層剪力分布規(guī)律。

a—振型1；b—振型2；c—振型3。 強迫解耦；復振型實部；復振型虛部；固定支座。圖5 隔震前后層剪力分布Fig.5 Floor shear distribution before and after being isolated

隔震支座邊界條件下分別采用強迫解耦方法和復振型分解方法計算結構振型層剪力。由圖5可知，隔震后結構的層剪力分布與固定支座結構明顯不同。

4.3 分部設計方法與整體設計方法對比

本節(jié)通過振型分解時程分析方法，對比分部設計方法與整體設計方法(比例阻尼隔震模型)計算的結構響應；同時比較比例阻尼隔震模型與非比例阻尼隔震模型響應。

算例計算參數(shù)如下：分部設計方法的上部結構基本周期為1.5 s、瑞雷阻尼為0.05；包含隔震層的整體結構的隔震層隔震系數(shù)κ=0.5，質量比μ=0.1，隔震層阻尼比ζb=0.2；輸入的地震動數(shù)據(jù)采用美國應用技術委員會(ATC)報告[17]建議的22條遠場地震波和28條近場地震波，分別為EQ01～EQ22和JEQ01～JEQ28，地震動峰值加速度調整為0.1g。

由分部設計方法及整體設計方法計算結構振型剪力，得出該算例的樓層剪力分布規(guī)律，如圖6所示。

a—分部設計方法樓層剪力；b—整體設計方法(比例阻尼隔震模型)樓層剪力。左圖為上部結構在各個時程下對應的層剪力/總重力的數(shù)值；右圖為將左圖各時程對應的值以底部最大值作為基準做歸一化處理。圖6 分部設計方法與整體設計方法樓層剪力Fig.6 The floor shear force of the division design method and the integral design method

圖6可知，整體設計方法(比例阻尼隔震模型)與分部設計方法計算的層剪力均隨結構高度的增加而逐漸減小，整體設計方法的樓層剪力計算結果約為分部設計方法的1/4。

將各時程對應的層剪力進行底部對齊處理后，分部設計方法與時程方法計算均值較為吻合，而整體設計方法計算的剪力值由于受高階振型的影響相比于時程均值離散情況更為明顯，且計算結果偏小。這也是因為基礎隔震對結構振型參與系數(shù)的影響較大，且隔震前后結構受力顯著不同，所以導致分部設計方法與整體設計方法計算的結果有明顯差異。

圖7給出了不考慮非比例阻尼的整體隔震模型與考慮非比例阻尼的整體隔震模型的樓層剪力計算結果對比。結果表明：不考慮非比例阻尼時的計算結果比考慮非比例阻尼時的計算結果偏小，二者最大差值為22.75%，所以用包含隔震層的整體模型進行計算時，應考慮非比例阻尼的影響。

比例阻尼隔震；-----非比例阻尼隔震。圖7 比例阻尼隔震與非比例阻尼隔震模型樓層剪力對比Fig.7 Comparisons of floor shear forces between calculated by the proportionally damped model and by the non-proportionally damped isolation model

5 結束語

基于分布參數(shù)體系并結合基礎隔震框架結構的特點，介紹了考慮非比例阻尼的分布參數(shù)懸臂梁隔震模型的建立及求解過程?；诖四Ｐ?，通過算例分析得出如下結論：

1) 復振型分解方法和實振型分解方法在求解隔震結構的動力特征方面差別較小?；趯嵳裥偷膹娖冉怦罘椒ㄓ嬎愀粽鸾Y構響應結果偏小，其原因是不考慮隔震層非比例阻尼導致漏算了速度部分的貢獻。

2) 隔震層對高階振型周期的影響有限，但可有效降低結構高階振型的振型參與系數(shù)。

3) 基礎隔震結構與固定支座結構的振型、振型參與系數(shù)及層剪力存在顯著差異，采用分部設計方法計算的樓層剪力分布與非比例阻尼方法計算整體模型結果存在一定的差異，不過誤差較小。

對于剪切型基礎隔震結構的設計，采用分部設計方法也是合適的，對于其他類型結構則需另做討論。若采用包含隔震層的整體模型進行分析，則建議采用考慮非比例阻尼特征的復振型分解方法。