分部積分教學的幾點思考：方法與應用

崔漢哲 上海電機學院

一、引言

積分學是高校理工科與經(jīng)管類各專業(yè)的基礎必修課程《高等數(shù)學》或《微積分》的主體教學內(nèi)容。在不定積分和定積分的計算中，分部積分是最基本的方法之一（另一基本方法是換元法）。在通行的教材（如[1]）中，分部積分所占篇幅并不非常多。通常是第四章“不定積分”中的一節(jié)內(nèi)容，和第五章“定積分”中的半節(jié)內(nèi)容。但在具體積分實例的計算中，分部積分是非常有效而常見的方法。而隨著學習的深入，在更高階的數(shù)學課程乃至專業(yè)研究中，實踐證明，分部積分法的作用和意義顯得越來越重要。本文從被積函數(shù)分類的角度出發(fā)，分析并總結分部積分法的具體類型，并討論該方法的若干進一步的應用。在本科基礎課的課堂教學中，由于課時所限，這些應用并不屬于常規(guī)的教學內(nèi)容。但教師若能合理安排進度，根據(jù)學生的接受程度選取其中合適的部分講授，可使學生加深對分部積分法的理解與體會，認識到該方法的威力，從而進一步提高教學成效。

二、分部積分法原理

三、分部積分的具體方法與應用

（一）四種最基本類型

被積函數(shù)的最常見類型是五種基本初等函數(shù)。一般的教材中或課堂上，它們都是按照如下順序排列：反三角函數(shù)→對數(shù)函數(shù)→冪函數(shù)→三角函數(shù)→指數(shù)函數(shù)，或反三角函數(shù)→對數(shù)函數(shù)→冪函數(shù)→指數(shù)函數(shù)→三角函數(shù)。被積函數(shù)中如果出現(xiàn)其中兩種不同類型的函數(shù)，則排在前面的函數(shù)看成u(x)，排在后面的函數(shù)則看成v′(x)。然后直接代入分部積分公式求解即可得結果。這個規(guī)律常被歸納為口訣“反對冪三指”或“反對冪指三”，更方便記憶。

例如，若被積函數(shù)由冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相乘而得，則選擇冪函數(shù)為u(x)，指數(shù)函數(shù)為v′(x)。這樣在積分中，冪函數(shù)的冪次將比原先下降直至消失，從而比更容易計算。

又如，當被積函數(shù)為冪函數(shù)與三角函數(shù)的乘積時，則應將冪函數(shù)看成u(x)，將三角函數(shù)為v′(x)。這樣在積分中，冪函數(shù)的冪次同樣將下降乃至消失，從而比更容易解出。

將以上兩種情形做一下歸納，可以看出，分部積分的作用是降低被積函數(shù)中冪函數(shù)的冪次。當冪函數(shù)的冪次降為0次，則被積函數(shù)由單一種類函數(shù)所構成，從而可以直接積出。因而若被積函數(shù)中冪函數(shù)的次數(shù)大于1次時，就需要連續(xù)分部積分，直至冪函數(shù)的次數(shù)降為0，從被積函數(shù)中消失為止。

若被積函數(shù)由對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)相乘而得，則選擇對數(shù)函數(shù)為u(x)，冪函數(shù)為v′(x)。這樣在積分中，對數(shù)函數(shù)求微分之后消失，最后的被積函數(shù)是冪函數(shù)或有理函數(shù)，從而比更容易計算。

反三角函數(shù)與冪函數(shù)相乘的情形與之類似。此時應將反三角函數(shù)看成u(x)，將冪函數(shù)看成v′(x)。這樣在積分中，反三角函數(shù)求微分之后成為有理函數(shù)或代數(shù)函數(shù)，最后的被積函數(shù)中不再有反三角函數(shù)，進而比更容易解出。

另外值得一提的是，若被積函數(shù)由單純的對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)組成，則也屬于上述兩種情況，此時的冪函數(shù)即為常數(shù)函數(shù)1（看成0次冪）。計算的步驟方法是完全相同的。

（二）基本類型中的冪函數(shù)可推廣為有理函數(shù)或代數(shù)函數(shù)

在以上四種基本情形中，冪函數(shù)可進一步推廣為代數(shù)函數(shù)或有理函數(shù)，原理和方法是類似的。例如當反三角函數(shù)與代數(shù)函數(shù)相乘得到被積函數(shù)時，取反三角函數(shù)為u(x)，取代數(shù)函數(shù)為v′(x)。在積分中，反三角函數(shù)求微分之后也成為代數(shù)函數(shù)，因此最后的被積函數(shù)就是代數(shù)函數(shù)，從而比更容易計算。對數(shù)函數(shù)與代數(shù)函數(shù)相乘的情形類似。

再用第二類換元法中的三角代換計算后一積分（具體過程略），最后得

（三）被積函數(shù)為三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積

當被積函數(shù)為三角函數(shù)f與指數(shù)函數(shù)g的乘積時，具體的計算過程和上述幾種情形略有不同。此時無論將f視為u、將gdx視為；或?qū)視為u、將fdx視為，都是可行的。要點在于連續(xù)分部積分兩次，得到一個關于原積分的簡單代數(shù)方程，從中解得原積分。特別要注意，在先后兩次分部積分時，對u(x)與v(x)的選取類型必須完全相同，才能最終求出原積分。即第一次分部時若將三角函數(shù)視為u、將指數(shù)函數(shù)視為v′，則第二次時也應將三角函數(shù)作為u、將指數(shù)函數(shù)作為v′，而不能顛倒。否則在第二次分部積分之后，得到的表達式會“倒退”成為原來的所求積分，相當于抵消了第一次分部積分的作用。這樣就回到了原點，等于什么都沒做。

（四）被積函數(shù)為三種不同類型函數(shù)的乘積

以上的幾種情形，被積函數(shù)都是由兩種不同類型的初等函數(shù)相乘而得。事實上，這也是實踐中用到分部積分的大多數(shù)情況。但有時在被積函數(shù)是三種不同類型函數(shù)乘積的情況下，也可用分部積分法求出原函數(shù)。

具體而言，當冪函數(shù)f、指數(shù)函數(shù)g、三角函數(shù)h相乘組成被積函數(shù)時，可用和上一種情形類似的方法。例如將冪函數(shù)f與指數(shù)函數(shù)g的乘積作為u，將三角函數(shù)h作為v′，這樣使用分部積分公式后，在積分∫v(x)du(x)中，的表達式仍由冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)組成，于是在u(x)與v(x)分類相同的情況下第二次分部積分，也會得到一個關于原積分的代數(shù)方程，進而可以從中求出原積分。

被積函數(shù)由三種基本初等函數(shù)相乘而得、且又能夠解出積分的情況，基本僅限于上述這一種?？梢宰C明在其他的情況下，原函數(shù)很難用初等函數(shù)表示，分部積分法此時是失效的。

（五）換元法和分部積分相結合

換元法是另一種最基本的積分方法。很多具體積分的計算，單純用分部積分比較困難，或初學者不易看出如何正確選取u(x)與v(x)。此時往往需要先用換元法對原積分恒等變形，使被積函數(shù)變得更簡單或常見，再用分部積分法，就能較容易的求出原函數(shù)。

（六）被積函數(shù)為一般的初等函數(shù)

在熟悉了分部積分的一些基本類型之后，通過領會其精神，可將被積函數(shù)的類型進一步推廣。當被積函數(shù)為一般的初等函數(shù)時，也可通過靈活選擇分部積分公式中的，將原積分積出。要點就在于區(qū)分被積函數(shù)中的不同類型函數(shù)，將導致積分更困難的那一部分看成u(x)。若在分部積分法公式的中，u(x)積求微分之后，原來的函數(shù)特征消失，那么積分就有希望計算。

例如，當被積函數(shù)中含有對數(shù)函數(shù)表達式時，若要用分部積分，那么應將對數(shù)函數(shù)項視為u(x)，這樣在積分中，經(jīng)由求微分后，對數(shù)函數(shù)的特征從被積函數(shù)中消失，從而該積分可以更容易求得。

（七）推導積分的遞推表達式

在很多不定積分或定積分的計算中，被積函數(shù)不但依賴于積分變量，還和自然數(shù)n有關。此時應用分部積分法，一般不能直接得到原函數(shù)，但可以在不改變原被積函數(shù)表達式的情況下，將其中的n變成n-1。如果繼續(xù)進行類似的推演，就可將n降為1，從而最終解得該積分。這就是積分的遞推法。所得的積分表達式中也同時含有積分變量和自然數(shù)n，稱為積分的遞推表達式。以下舉例說明。先看一個不定積分的例子。

例11中的遞推公式在有理函數(shù)的積分中占有基本而重要的地位。任何有理函數(shù)的積分，經(jīng)由多項式除法以后，只需要考慮有理真分式的情況。而用化部分分式的方法不難驗證，任何有理真分式最后都是四種最簡單真分式的線性組合。因此，有理函數(shù)不定積分的計算最后就轉(zhuǎn)化為四種最簡單的有理真分式不定積分的計算問題。而這四種最簡單真分式中，前三種較容易直接積出，不需要遞推公式。例11恰恰是其中最困難的第四種。因此，例11的積分遞推公式基本解決了有理函數(shù)不定積分的計算問題。而由例11的遞推公式和初值1I的表達式可知，任何有理函數(shù)的不定積分，都可以寫成三類初等函數(shù)的表達式：有理函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與反三角函數(shù)。

另外值得一提的是，有理函數(shù)積分是不定積分的一個重要例子，教學時不可忽略。但如要在課堂上向?qū)W生嚴謹且完整的推導（甚至只是寫出）一般情形下的公式，其中的字符和上下標卻又非常多，難免使初學者頭暈目眩、不知所云。因此根據(jù)筆者的教學經(jīng)驗，最好通過不同情況的實例分析（例子中用具體數(shù)字取代一般字母），向?qū)W生說明有理函數(shù)如何化為部分分式，四種最簡真分式的不定積分又如何計算。如此才利于學生的理解和接受，能收到較好的效果。

下面再看一個定積分中三角函數(shù)的例子。

以下是分部積分計算積分遞推公式的一個巧妙應用。

【例13】證明π為無理數(shù)。

證明：乍看之下，往證的結論和分部積分毫無關系。而我們可以構作如下定積分

這里n為自然數(shù)。當n≥2時，運用分部積分法，可得Jn的遞推表達式如下：

即Jn=(4n-2)Jn-1-π2Jn-2。由此遞推式，結合初值J0,J1，可知Jn=Rn(π2)，這里Rn為是某個次數(shù)最高為n的整系數(shù)多項式。

以下用反證法。若π為有理數(shù)，則π2也為有理數(shù)。設，p,q均為正整數(shù)。則在Jn=Rn(π2)兩邊同乘qn，得到。觀察該式左邊可知其為整數(shù)，又由Jn的具體構作可知其＞0，于是該式應為正整數(shù)。但另一方面，令n→∞，由Jn定義中的積分具體表達式，可知該式右邊→0。從而導致矛盾。所以π為無理數(shù)。證畢。

（八）證明積分不等式

各種類型的積分不等式，特別是當被積函數(shù)中含有高階導數(shù)的情形，在各類數(shù)學專業(yè)的研究中有著舉足輕重的作用。在與數(shù)學分析相關的專業(yè)方向如偏微分方程、微分流形、復幾何、幾何分析等學科中，積分不等式隨處可見。在證明這些積分不等式時，往往首先需要對被積函數(shù)進行恒等變形，然后才能進一步估計積分值。此時分部積分就是一種重要的方法。記得筆者在攻讀研究生期間上《偏微分方程》課程，研讀L.Evans的名著《Partial Differential Equations》[2]。任課教授在第一節(jié)課就說，分部積分法在偏微分方程的研究中幾乎是最基本的技巧：當需要估計積分值而不知如何下手時，第一反應就是先嘗試分部積分，看看能得到什么。以下我們舉一個簡單的例子。

【例14】設f(x)在區(qū)間[1,2]上存在二階導函數(shù)且f′可積，f(1)=f(2)=0。證明：

證明：首先觀察要證的不等式，右邊出現(xiàn)了二階導數(shù)，而左邊的被積函數(shù)中只有f(x)。因此需要先對左邊的積分恒等變形，使被積函數(shù)中出現(xiàn)f′。具體的，反復利用分部積分法則與題設條件，我們有

（九）計算廣義積分

廣義積分是常義定積分的推廣，共分二種：第一類即無界區(qū)間上的廣義積分，第二類即無界被積函數(shù)的廣義積分。無論是哪一種，廣義積分的分部積分法和常義定積分的情形都是相似的。所要注意的一點，即是將積分的上下限代入原函數(shù)計算函數(shù)值時，如果上下限為無窮或瑕點，則此時無法直接計算函數(shù)值，而應代之以相應的極限。如果極限存在，則廣義積分收斂，可以計算積分值；如果極限不存在，則廣義積分發(fā)散，此時積分值便無法計算。以下舉例說明。

解：這是第一類即無界區(qū)間上的廣義積分。觀察被積函數(shù)，由冪函數(shù)和關于指數(shù)函數(shù)的有理分式相乘而得，于是類似前述的最基本情形，將x視為u，將視為v′，運用分部積分法則，先計算上界為有限值時的常義積分，得

四、小結

本文從具體方法和應用的角度總結了關于分部積分教學的一些思考。根據(jù)筆者的實際經(jīng)驗，若能結合學生的具體情況，將其落實到教學實踐中，可以收到良好的效果，提高教學質(zhì)量。