可展開機構(gòu)自鎖鉸鏈的誤差分析與公差優(yōu)化設(shè)計

南凱剛，吳騰飛，李光明,趙強強，郭俊康

(1.西安交通大學(xué) 科技與教育發(fā)展研究院，陜西 西安 710049；2.西安交通大學(xué) 機械工程學(xué)院，陜西 西安 710049；3. 西安交通大學(xué) 現(xiàn)代設(shè)計及轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)教育部重點實驗室，陜西 西安 710049)

雷達衛(wèi)星可以不受云霧、沙塵、雨雪和光照條件的限制，實現(xiàn)全天候、高分辨率和大面積對地觀測[1-3]。高性能雷達衛(wèi)星對天線提出了大尺寸的要求，但這又與運載火箭有限的空間和運載能力相矛盾[4-5]。將桁架可展開天線結(jié)構(gòu)應(yīng)用于合成孔徑雷達衛(wèi)星，可以滿足其高展收比、高精度、高剛度與輕量化的要求[6-7]。在不考慮電子器件本身性能影響的情況下，衛(wèi)星可展開機構(gòu)自鎖鉸鏈的可靠鎖定與否直接決定衛(wèi)星發(fā)射任務(wù)的成敗[8-10]，一旦鎖定失敗將造成巨大的經(jīng)濟損失并影響國防信息化建設(shè)。

在誤差分析方法方面，文獻[11]將基于矢量環(huán)的公差分析模型和直接線性化方法(Direct Linearization Method ，DLM)，用于二維和三維機械組件公差分析，而不再用顯式函數(shù)來描述最終裝配尺寸和制造零件尺寸之間的關(guān)系；劉海濤等提出了一種基于裝配約束關(guān)系和裝配順序構(gòu)建偏差傳遞矢量環(huán)和矢量方程的方法[12]；趙東平等基于裝配約束建立偏差傳遞矢量環(huán)和矢量方程后，在小偏差的條件下利用一階泰勒展開式求解偏差源敏感度矩陣，實現(xiàn)了對機構(gòu)裝配精度的預(yù)測[13]；蒙特卡洛(Monte Carlo)法在公差分析中被廣泛運用，通過統(tǒng)計蒙特卡洛法模擬所得封閉環(huán)的公差分布，可以得到各組成環(huán)對封閉環(huán)影響的敏感系數(shù)[14]；Zhao等提出了一種考慮關(guān)節(jié)間隙和冗余約束的平面閉環(huán)機構(gòu)精度預(yù)測算法，并以合成孔徑雷達天線可展開機構(gòu)的裝配為例，驗證了該方法的正確性[9]；Beaucaire等基于系統(tǒng)可靠性，用蒙特卡洛法模擬了幾何偏差對系統(tǒng)裝配質(zhì)量的影響[15]；Chen等提出了一種預(yù)測由輸入不確定性和關(guān)節(jié)間隙引起的平面連桿機構(gòu)運動軌跡偏差的方法[16]。在公差優(yōu)化設(shè)計方面，余順年等提出了較可靠的裝配尺寸鏈優(yōu)化設(shè)計方法[17]；有學(xué)者提出了在滿足組件公差約束條件的同時最大程度地降低制造總成本的優(yōu)化算法[18]，以及用蟻群優(yōu)化算法按照組成環(huán)的公稱尺寸進行精度優(yōu)化設(shè)計的方法[19]；肖人彬等以裝配成功率為約束條件, 將成本和質(zhì)量損失作為設(shè)計目標，通過粒子群優(yōu)化算法實現(xiàn)了尺寸精度的優(yōu)化設(shè)計[20]；郭迎福等基于遺傳算法，提出了一種以減少質(zhì)量損失和加工成本為優(yōu)化目標的多目標優(yōu)化設(shè)計方法[21]。

本文以衛(wèi)星可展開機構(gòu)自鎖鉸鏈為研究對象，建立鉸鏈幾何誤差模型，通過分析鉸鏈的幾何誤差敏感度來明確幾何誤差對鉸鏈鎖定可靠性的影響，并基于遺傳算法對精密自鎖鉸鏈關(guān)鍵尺寸公差進行優(yōu)化設(shè)計，以便提高衛(wèi)星可展開機構(gòu)自鎖鉸鏈鎖定的可靠性。

1 衛(wèi)星可展開機構(gòu)自鎖鉸鏈介紹

衛(wèi)星可展開機構(gòu)由天線、自鎖鉸鏈、桁架式可展支撐機構(gòu)和驅(qū)動部件等組成。受運載工具自身空間的限制，衛(wèi)星天線在發(fā)射過程中必須處于折疊狀態(tài)，待進入指定軌道后由驅(qū)動部件驅(qū)動天線完全展開并鎖定，進入穩(wěn)定的工作狀態(tài)。其中自鎖鉸鏈是衛(wèi)星可展開機構(gòu)實現(xiàn)展開鎖定功能的核心部件。本文以一種典型的軸銷式自鎖鉸鏈為例，進行誤差分析，以明確鉸鏈各偏差源對鉸鏈展開鎖定可靠性的影響。

衛(wèi)星可展開機構(gòu)自鎖鉸鏈(其結(jié)構(gòu)如圖1所示)主要包括母鉸鏈、公鉸鏈和鎖定桿等部件。

鉸鏈鎖定過程為：驅(qū)動電機驅(qū)動公鉸鏈繞轉(zhuǎn)軸逆時針轉(zhuǎn)動，鎖定桿上滾輪與公鉸鏈滑槽發(fā)生接觸，滾輪受扭簧彈力作用沿著滑槽滾動，待公鉸鏈相對母鉸鏈轉(zhuǎn)動至指定角度時，鎖定桿上滾輪滾至指定位置，鉸鏈成功鎖定。對該鎖定過程分析后認為，可將鎖定桿上滾輪滑入卡槽的深度作為判斷鉸鏈是否鎖定成功的標準。在鎖定狀態(tài)下，公鉸鏈和母鉸鏈之間通過轉(zhuǎn)動副約束，母鉸鏈和鎖定桿之間也通過轉(zhuǎn)動副約束，公鉸鏈和鎖定桿之間通過線接觸副約束，鉸鏈自由度為0。

2 幾何誤差建模

在不計鉸鏈間隙的情況下，自鎖鉸鏈的各零件僅在與x-y平行的平面內(nèi)運動，因此可將鉸鏈投影至x-y平面后進行鉸鏈展開鎖定過程的分析。自鎖鉸鏈的關(guān)鍵特征矢量環(huán)如圖2所示。

圖2 自鎖鉸鏈的關(guān)鍵特征矢量環(huán)

結(jié)合圖2進行分析可知，公鉸鏈滑槽、鎖定桿和鎖定桿安裝位置等都是自鎖鉸鏈的關(guān)鍵特征。根據(jù)零件約束關(guān)系和關(guān)鍵特征矢量在x-y平面的投影，可建立圖3所示的180°鉸鏈偏差傳遞矢量環(huán)。在偏差傳遞矢量環(huán)中：a1、a2、a3、a4和a5為零件特征矢量；a6為鎖定桿上滾輪滑入卡槽的深度矢量；矢量與矢量的夾角α1、α2、α3、α4和α5為相對角度；矢量的變化范圍為零件尺寸的公差范圍；各矢量與x軸正方向的夾角θ1、θ2、θ3、θ4、u1和u2為絕對角度，且規(guī)定相對于x軸正方向順時針為負，逆時針為正。

將矢量環(huán)中的各矢量分別投影在x方向和y方向，并求和，且令各矢量在x方向和y方向投影的和都為0，則

(1)

式中：hx表示各矢量在x方向投影之和；hy表示各矢量在y方向投影之和。

考慮到誤差累積的影響，對自鎖鉸鏈進行公差分析時應(yīng)采用相對角度。絕對角度與相對角度之間的關(guān)系為：

(2)

將式(2)代入式(1)可得：

(3)

將式(3)按一階泰勒公式展開，可寫成下列矩陣形式：

AX+BY=0

(4)

式中：

J11=cosu1；

J12=-(a2sinθ1+a3sinθ2+a6sinθ3+

a4sinθ4+a5sinu2);J13=cosθ1；

J14=-(a3sinθ2+a6sinθ3+a4sinθ4+

a5sinu2)；J15=cosθ2；

J16=-(a6sinθ3+a4sinθ4+a5sinu2)；J17=cosθ4；

J18=a5sinu2；J19=cosu2；

J110=-(a1sinu1+a2sinθ1+a3sinθ2+a6sinθ3+a4sinθ4+a5sinu2)；J21=sinu1；

J22=a2cosθ1+a3cosθ2+a6cosθ3+a4cosθ4+a5cosu2；J23=sinθ1；

J24=a3cosθ2+a6cosθ3+a4cosθ4+a5cosu2；

J25=sinθ2；

J26=a6cosθ3+a4cosθ4+a5cosu2；

J27=sinθ4；J28=-a5cosu2；J29=sinu2;

J210=a1cosu1+a2cosθ1+a3cosθ2+

a6cosθ3+a4cosθ4+a5cosu2;

X=[da1dα1da2dα2da3dα3da4dα5da5du1]T;

Y=[da6dα4]T。

分析自鎖鉸鏈的特征與鎖定過程可知：da1、da2、da3、da4、da5為獨立變化的零件特征矢量偏差；dα1、dα2、dα3、dα5和du1為獨立變化的矢量夾角的偏差；da6為鎖定桿上滾輪滑入卡槽深度(即鎖定深度)矢量的偏差；dα4為鎖定桿相對滑槽的角度偏差。

將式(4)移項可得：

Y=SX

(5)

式中：S為誤差敏感度系數(shù)矩陣，S=-B-1A。

誤差敏感度系數(shù)是用來描述單位偏差源變化量與鎖定深度偏差對應(yīng)關(guān)系的。

3 誤差分析

對于式(5)來說，輸入為da1、da2、da3、da4、da5和dα1、dα2、dα3、dα5、du1；輸出為da6和dα4。在實際工程中，常用鎖定桿上滾輪滑入卡槽深度來判斷鉸鏈的鎖定狀態(tài)，本文分析中主要采用da6來判斷鉸鏈的鎖定狀態(tài)。這里，僅考慮對鉸鏈展開鎖定可靠性有影響的關(guān)鍵特征矢量的值及矢量夾角。自鎖鉸鏈部分設(shè)計特征矢量的值和矢量夾角如表1所示。

表1 自鎖鉸鏈部分設(shè)計特征矢量的值和矢量夾角

令各偏差源在其公差帶內(nèi)服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，每個偏差源獨立生成1 000個樣本值，作為輸入，按6組方案(方案1-方案6)進行試驗。其中：案例1-案例3的偏差源期望值μ均為0，標準差σ分別為0.01、0.02和0.03；案例4-案例6的偏差源期望值u分別為0.01,0.02和0.03，標準差σ均為0.02。各偏差源期望值的單位與零件設(shè)計尺寸的單位相同。

由案例1-案例6所得鎖定深度矢量偏差的概率密度曲線如圖4所示。

分析圖4(a)可知：當(dāng)輸入偏差源均為正態(tài)分布時，輸出的鎖定深度矢量偏差da6也為正態(tài)分布；當(dāng)輸入偏差源的標準差均增大時，da6的標準差增大；對于該鉸鏈設(shè)計尺寸，da6取-6.219 6 mm，為鎖定桿上滾輪滑入卡槽深度的極限偏差，當(dāng)da6取值小于-6.2196 mm時，鉸鏈無法滿足鎖定成功的幾何條件；隨輸入偏差源標準差增大，鉸鏈滿足鎖定成功的幾何條件的概率減小。

(a) 正等軸測圖

(a) 相對角度

(a) 案例1-案例3

分析圖4(b)可知，當(dāng)輸入偏差源的期望值均增大時，輸出的鎖定深度矢量偏差da6的期望值減小，鉸鏈滿足鎖定成功幾何條件的概率會減小。

針對6組試驗方案，用Monte Carlo法分析的結(jié)果如表2所示。分析可知：當(dāng)輸入偏差源均為正態(tài)分布時，輸出的鎖定深度矢量偏差da6也為正態(tài)分布；當(dāng)輸入偏差源的標準差均增大時，da6的標準差增大，鉸鏈滿足鎖定成功幾何條件的概率減??；當(dāng)輸入偏差源的期望值均增大時，da6的期望值減小，鉸鏈滿足鎖定成功幾何條件的概率也減小。

表2 Monte Carlo法的分析結(jié)果

按式(5)進行運算，可得到表示自鎖鉸鏈各零件特征矢量偏差的da1、da2、da3、da4、da5，以及表示各矢量夾角偏差的dα1、dα2、dα3、dα5、du1與鎖定深度矢量偏差da6之間關(guān)系的誤差敏感度系數(shù)矩陣S。根據(jù)誤差敏感度系數(shù)矩陣，可確定自鎖鉸鏈各偏差源對鎖定桿上滾輪滑入卡槽深度矢量偏差da6的影響。圖5 所示為零件特征矢量偏差源偏差與鎖定深度矢量偏差的關(guān)系曲線。圖6所示為矢量夾角偏差源偏差與鎖定深度矢量偏差的關(guān)系曲線。

圖5 零件特征矢量偏差源偏差與鎖定深度矢量偏差的關(guān)系曲線

圖6 矢量夾角偏差源偏差與鎖定深度矢量偏差的關(guān)系曲線

比較圖5和圖6可知，零件特征矢量偏差源偏差對鎖定深度矢量偏差的影響較小，而矢量夾角偏差源偏差對鎖定深度矢量偏差的影響較大。因此，這里只對后者(即圖6)進行了分析。分析圖6可知，dα1、dα2、dα5和du1對da6的影響較大，且dα5與da6正相關(guān)，dα1、dα2、du1與da6負相關(guān)。

4 公差優(yōu)化設(shè)計

在設(shè)計機械精度時，根據(jù)產(chǎn)品的性能要求和制造成本對封閉環(huán)的公差進行合理分配，是提升產(chǎn)品可靠性、保障產(chǎn)品性能、降低其制造成本的有效途徑?，F(xiàn)有精度優(yōu)化設(shè)計研究文獻通常以保障產(chǎn)品性能為前提，以盡可能降低產(chǎn)品制造成本為優(yōu)化目標。衛(wèi)星可展開機構(gòu)的自鎖鉸鏈屬于精度高、專用性強、生產(chǎn)批量小的產(chǎn)品。提高鉸鏈展開鎖定的可靠性是公差優(yōu)化設(shè)計的首要任務(wù)，應(yīng)在滿足可靠性要求的前提下降低零件的加工難度和加工成本。零件的公差與加工成本成反比，要求的公差越小，產(chǎn)品加工難度就越大，成本就越高。在滿足鉸鏈鎖定幾何要求的情況下，增大零件的尺寸公差范圍，鉸鏈在相同的制造水平下合格率會提高，裝配時的修配工作量會減小，加工的難度和成本也會降低。因此，本文將成本公差模型作為優(yōu)化設(shè)計的目標函數(shù)。

成本公差模型中的成本是指除去材料成本之外的加工成本。由于零件具有不同的幾何特征，不同幾何特征可能對應(yīng)著不同的加工方法，因此很難用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型來表達具有不同特征的產(chǎn)品的成本公差關(guān)系。常用的成本公差模型是以尺寸公差的雙邊對稱分布為前提的?；诔醯群瘮?shù)的成本公差模型有倒數(shù)冪模型、指數(shù)關(guān)系模型、三次多項式模型、倒數(shù)模型、倒數(shù)平方模型和混合模型等[22]。對比這些成本公差模型的數(shù)學(xué)表達式不難發(fā)現(xiàn)，精度要求越高，制造難度和制造成本就越大；精度要求越低，制造難度和制造成本就越小。零件不同加工特征對應(yīng)著不同的成本公差模型，方紅芳等將零件的加工特征分為外圓、內(nèi)孔、定位和平面四大類，并基于線性和指數(shù)混合成本公差模型，定義了這四大類特征的成本公差模型[23]。其中，定位特征的成本公差模型數(shù)學(xué)表達式為：

(6)

平面特征的成本公差模型數(shù)學(xué)表達式為：

(7)

式中：T為公差帶寬；C(T)為總成本。

在公差優(yōu)化設(shè)計時，應(yīng)根據(jù)鉸鏈尺寸鏈各部分的特征類型，選擇合適的成本公差模型。鉸鏈的總成本公差模型(即優(yōu)化設(shè)計的目標函數(shù))為：

(8)

式中：Ti為上文所述關(guān)鍵結(jié)構(gòu)i的公差；Ci(Ti)為對應(yīng)于公差Ti的成本；n為待優(yōu)化的公差個數(shù)，對于該自鎖鉸鏈而言,n=10。

鉸鏈展開鎖定的可靠性是公差優(yōu)化設(shè)計需考慮的首要約束條件。由表2分析結(jié)果可知，當(dāng)輸入偏差源為正態(tài)分布且標準差均增大時，da6的標準差增大，鉸鏈滿足鎖定成功的概率減小。因此，本文將鎖定深度矢量的最小值大于鉸鏈鎖定幾何條件中鎖定臨界深度作為一個約束條件，即

min(da6)>dp

(9)

式中,dp為滿足鉸鏈鎖定幾何條件的鎖定臨界深度。

鉸鏈的鎖定角度也是公差優(yōu)化設(shè)計需考慮的重要約束條件。在不考慮鉸鏈安裝誤差的條件下，理論上衛(wèi)星可展開機構(gòu)外板相對于內(nèi)板轉(zhuǎn)動180°時鉸鏈鎖定。該鎖定角度會影響天線的指向精度，因此對鉸鏈的鎖定角度有一定的精度要求，即

|du1|<δφ

(10)

式中，δφ為鉸鏈鎖定角度的精度要求。

假設(shè)輸入偏差源服從均值為0、標準差為σ的正態(tài)分布，則根據(jù)表2分析結(jié)果，取σ=0.02，以3σ作為尺寸公差帶半帶寬的約束，再結(jié)合式(9)和式(10)可列出下列約束條件：

(11)

式中，T1,T2,…,T10分別為對應(yīng)鉸鏈關(guān)鍵結(jié)構(gòu)中a1，α1,a2，α2,a3，α3,a4,α5,a5,u1特征矢量或矢量夾角的公差。

基于遺傳算法的公差優(yōu)化設(shè)計流程如圖7所示。采用Matlab程序運算，可得表3所示的自鎖鉸鏈公差優(yōu)化設(shè)計結(jié)果。

圖7 基于遺傳算法的公差優(yōu)化設(shè)計流程

表3 自鎖鉸鏈公差優(yōu)化設(shè)計結(jié)果

5 結(jié) 語

(1) 根據(jù)衛(wèi)星可展開機構(gòu)自鎖鉸鏈展開鎖定過程的特點，將復(fù)雜的三維鉸鏈模型簡化為僅包含關(guān)鍵特征的二維模型，通過分析得出了鉸鏈可靠鎖定的判定依據(jù)?；谑噶凯h(huán)法，建立了自鎖鉸鏈的偏差傳遞矢量環(huán)和偏差傳遞方程，得到了誤差敏感度系數(shù)矩陣。

(2) 基于Monte Carlo法分析了偏差源服從不同正態(tài)分布時，鎖定桿上滾輪滑入卡槽深度矢量偏差的概率密度，以及輸入偏差源標準差、期望值對鉸鏈滿足鎖定成功幾何條件概率的影響，定量分析了各偏差源偏差對鉸鏈鎖定可靠性的影響。結(jié)果表明，dα1、dα2、dα5和du1對da6的影響較大，且dα5與da6正相關(guān)，dα1、dα2、du1與da6負相關(guān)。

(3) 基于遺傳算法，對鉸鏈尺寸公差進行了優(yōu)化設(shè)計，并以自鎖鉸鏈總的成本公差模型為目標函數(shù)，以鉸鏈可靠鎖定的要求為約束條件，建立了可以反映不同特征加工難度的公差優(yōu)化設(shè)計模型，通過編程計算得到了自鎖鉸鏈的公差優(yōu)化設(shè)計結(jié)果。