探尋數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的本質(zhì)，助力學(xué)生深度學(xué)習(xí)
——以“認(rèn)識周長”的教學(xué)為例

江蘇省南京市漢口路小學(xué) 田 園

課標(biāo)指出，學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。在現(xiàn)階段的教與學(xué)的互動(dòng)過程中，學(xué)生常常會(huì)出現(xiàn)各種認(rèn)知上的偏差甚至是失誤，其原因主要是對知識理解的深度不夠，往往出現(xiàn)“表面式”的學(xué)習(xí)現(xiàn)象。所謂“表面式”的學(xué)習(xí)，也就是將知識學(xué)習(xí)和應(yīng)用割裂開來，無法靈活選擇最優(yōu)的策略或方法解決問題。針對這樣的現(xiàn)象和由此造成的困擾，筆者將結(jié)合學(xué)科經(jīng)驗(yàn)、生活經(jīng)驗(yàn)、舊知經(jīng)驗(yàn)等深化學(xué)生對概念的理解；結(jié)合結(jié)構(gòu)化的教學(xué)材料，促進(jìn)學(xué)生對知識之間內(nèi)在聯(lián)系的探索；建構(gòu)數(shù)學(xué)“經(jīng)驗(yàn)促學(xué)”的教學(xué)目標(biāo)；分析活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的內(nèi)因并制定相應(yīng)的教學(xué)策略。

一、梳理知識網(wǎng)，明晰學(xué)習(xí)價(jià)值

“周長”的知識網(wǎng)是以“認(rèn)識平面圖形”為起點(diǎn)，在不斷地深入探索和研究中產(chǎn)生“周長”的概念。其中包含了規(guī)則圖形的周長、不規(guī)則圖形的周長、組合圖形的周長，以及最終延伸到立體圖形中求包裝盒上彩帶的長度。解決周長問題不僅是為了算出一道數(shù)學(xué)題，還是為了將其運(yùn)用到實(shí)際生活中。

生活中，服裝設(shè)計(jì)師需要測量“腰圍是多少”，才能做出最合適的褲子；體育教師在跑步訓(xùn)練時(shí)要知道“操場一圈是多少米”，才能準(zhǔn)確記錄成績；還有一些需要包邊的手工藝品，等等，都需要用一個(gè)確定的“數(shù)”來量化，進(jìn)而讓我們的生活變得更簡便，而這個(gè)“數(shù)”就是我們所要學(xué)習(xí)和掌握的數(shù)學(xué)概念——周長。教師要厘清“周長”概念的本質(zhì)，積累一定的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和活動(dòng)體驗(yàn)，進(jìn)而為后續(xù)探索“周長”的實(shí)踐操作提供經(jīng)驗(yàn)理論。

“長方形和正方形”這一單元共有三個(gè)信息窗，其內(nèi)容要保證不重復(fù)、不遺漏、不割裂。教師在教學(xué)“認(rèn)識長方形”這一課時(shí)，要使其與第二個(gè)信息窗“認(rèn)識圖形周長”、第三個(gè)信息窗“長方形和正方形的周長計(jì)算”之間相互滲透。

我們知道，長方形和正方形都是由線段圍成的封閉圖形，線段可測量且有具體的長度，而圖形的周長是圍繞圖形一周的長度，它是長度的一種，又與普通的長度有所不同。在教學(xué)“求圖形的周長”時(shí)，教師要讓學(xué)生能夠感受到周長這個(gè)“特殊的長度”的不同之處，即圍繞封閉圖形一周的線段的長度。學(xué)生能從中領(lǐng)悟到不是所有有長度的線段都叫周長，也不是所有的平面圖形都有周長，從而為今后的幾何學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

二、分析學(xué)習(xí)中存在的問題

（一）學(xué)生無法從不同學(xué)科知識中提取有效學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)

幼兒時(shí)期的控筆訓(xùn)練、兒童畫畫啟蒙階段的輪廓臨摹、勞技課上的剪紙民俗作品中的包邊等都與“周長”有著密不可分的聯(lián)系。關(guān)于這些經(jīng)驗(yàn)，每個(gè)學(xué)生或多或少都有，但這種沒有經(jīng)過加工的經(jīng)驗(yàn)并不能直接運(yùn)用到周長概念的認(rèn)識中，需要學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維加以辨析再應(yīng)用。

教學(xué)中，筆者嘗試讓學(xué)生先獨(dú)立描一描圖1中書簽圖片的邊線，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生在描的過程中將書簽內(nèi)部的線條也描上了，部分學(xué)生沒有沿著圖形的邊描，還有部分學(xué)生無從下手。經(jīng)過分析，筆者認(rèn)為，解決邊線認(rèn)知問題是關(guān)鍵。結(jié)合美術(shù)啟蒙中的基礎(chǔ)訓(xùn)練——線條與輪廓的臨摹，筆者改變教學(xué)策略，先與學(xué)生一起借助學(xué)科經(jīng)驗(yàn)厘清什么是書簽的邊線，通過不斷地試錯(cuò)和修正讓學(xué)生主動(dòng)掌握正確描邊線的方法，然后放手讓學(xué)生自己畫圖形的邊線。在后續(xù)的教學(xué)過程中，學(xué)生仍在體驗(yàn)和感受圖形的本質(zhì)中頻頻遇到困難，很難準(zhǔn)確地理解“周長”的含義。

圖1

（二）學(xué)生無法準(zhǔn)確找到舊知與新知的關(guān)聯(lián)

“認(rèn)識周長”的相關(guān)知識在中高年級學(xué)習(xí)“幾何圖形的周長、面積、體積”等內(nèi)容中發(fā)揮著基礎(chǔ)性的作用。在低年級的學(xué)習(xí)與日常生活中，學(xué)生已對“物體表面與平面圖形的認(rèn)識”積累了大量的感性體驗(yàn)，初步學(xué)習(xí)了長度的概念和基本的長度單位，并能借助學(xué)習(xí)用具測量線段長度。這些知識都為學(xué)生學(xué)習(xí)周長概念奠定了一定的認(rèn)知基礎(chǔ)。

在教學(xué)過程中，筆者引出問題：“如何將書簽完整地剪下來”，調(diào)動(dòng)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)科經(jīng)驗(yàn)，將數(shù)學(xué)活動(dòng)置于真實(shí)的生活背景中，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。同時(shí)，筆者借助“剪一剪”“指一指”“描一描”等活動(dòng)操作，引導(dǎo)學(xué)生探索“邊線”的特點(diǎn)，進(jìn)而生成“周長”的概念。學(xué)生在反復(fù)的探索和交流中認(rèn)清平面圖形“周長”的本質(zhì)是一周邊線的長，而不是平面圖形的形狀和大小。通過辨析，學(xué)生進(jìn)一步明晰核心概念“周長即是特殊的長度”。

三年級學(xué)生的年齡特征決定了其學(xué)習(xí)狀態(tài)很容易止步于“形式把握”。想要沖破“形式”意義學(xué)習(xí)的枷鎖，一方面，教師在教學(xué)中，要把握知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓課堂生成的內(nèi)容更具有發(fā)展性；另一方面，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用，將教材的重難點(diǎn)與生活經(jīng)驗(yàn)和其他學(xué)科經(jīng)驗(yàn)結(jié)合起來，運(yùn)用舊知解決新問題或結(jié)合掌握的數(shù)學(xué)思想方法主動(dòng)探索知識的內(nèi)在聯(lián)系。

三、對策梳理實(shí)踐學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)

教育家杜威認(rèn)為，教育實(shí)踐即經(jīng)驗(yàn)的改造。目前，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最具成效的是利用學(xué)生的親身經(jīng)驗(yàn)促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生。在實(shí)際開展教學(xué)活動(dòng)中，我們不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生總是帶著真實(shí)的、不同的個(gè)性經(jīng)驗(yàn)走進(jìn)課堂。教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用自身生活經(jīng)驗(yàn)及學(xué)科經(jīng)驗(yàn)解決現(xiàn)階段遇到的數(shù)學(xué)問題。但無論直接經(jīng)驗(yàn)還是間接經(jīng)驗(yàn)，常常難以用語言描述，而我們可以通過活動(dòng)的形式“做”出來。

（一）借助經(jīng)驗(yàn)，初步認(rèn)識“周長”概念

學(xué)科經(jīng)驗(yàn)是指將學(xué)生在低年級美術(shù)等學(xué)科上給圖片描邊、給簡筆畫涂色等經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用到“認(rèn)識周長”的學(xué)習(xí)中。學(xué)生在剪一剪、畫一畫的活動(dòng)中知道了規(guī)則圖形與不規(guī)則圖形的邊線，同時(shí)發(fā)現(xiàn)圖形的邊線不一定都是完整的一周，有些圖形的邊線還在內(nèi)部，像這樣，內(nèi)部的邊線和不能畫完一周的邊線都不屬于本節(jié)學(xué)習(xí)的內(nèi)容。學(xué)生通過對比掌握“平面圖形一周邊線”的概念，進(jìn)而繼續(xù)學(xué)習(xí)“周長”概念。

由書簽導(dǎo)入，在學(xué)生初步感知“一周”后，教師呈現(xiàn)下面六個(gè)平面圖形（見圖2），請學(xué)生思考這些平面圖形有無“一周”，如果有，請你用彩色筆描出來。

圖2

單純從有無“一周”這樣的簡單問題來獲取知識，無法使學(xué)生經(jīng)驗(yàn)達(dá)到外放的效果。這個(gè)環(huán)節(jié)通過任務(wù)驅(qū)動(dòng)式“思考+操作”代替了“個(gè)別表達(dá)”，使每個(gè)參與課堂的學(xué)生都有了更充足的時(shí)間和空間，確保了經(jīng)驗(yàn)展露的普遍性、可靠性。

（二）自主反思，直接經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化為抽象的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)

筆者在教學(xué)環(huán)節(jié)中安排了一個(gè)圖形“變、變、變”的活動(dòng)形式。由于學(xué)生在前面的活動(dòng)和操作中已對平面圖形有了初步的認(rèn)識，明確了只有封閉圖形才有“一周”，在直接經(jīng)驗(yàn)的引領(lǐng)下，學(xué)生很容易去辨別哪些圖形有“一周”，哪些圖形沒有。只有這些經(jīng)驗(yàn)還不足以解決實(shí)際應(yīng)用中出現(xiàn)的各種典型問題，因此，教師需要更多的經(jīng)驗(yàn)積累去深入理解“周長”的本質(zhì)意義。如圖3中的三個(gè)平面圖形，它們之間是層層遞進(jìn)的關(guān)系。

圖3

對于圖3中的第一個(gè)和第二個(gè)平面圖形，學(xué)生根據(jù)現(xiàn)有經(jīng)驗(yàn)很容易描出它們的“一周邊線”。第三個(gè)平面圖形內(nèi)部增加了一個(gè)封閉的“田字形”窗戶，這顯然超出了學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知。于是，學(xué)生出現(xiàn)了田字形的外圍一周也屬于圖形的“一周邊線”的錯(cuò)誤認(rèn)識?，F(xiàn)實(shí)問題和原有經(jīng)驗(yàn)的碰撞，能讓學(xué)生在活動(dòng)中引發(fā)自我反思和培養(yǎng)批判精神，使學(xué)生在教師的引導(dǎo)和自我的內(nèi)化過程中，獲得解決新問題的經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)由低層次向高層次的豐富和升華。

（三）結(jié)構(gòu)化訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)

怎樣幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的目標(biāo)？在教學(xué)過程中為學(xué)生提供一組結(jié)構(gòu)化的材料，是行之有效的教學(xué)策略。結(jié)合這組材料進(jìn)行多個(gè)層次、不同視角的思考、實(shí)踐、交流，使學(xué)生對“周長”概念的理解由淺入深、從偏到全，深度學(xué)習(xí)才能真正發(fā)生。筆者結(jié)合圖4進(jìn)行分析：

圖4

第一層次，在憑經(jīng)驗(yàn)判別“是否有周長”的基礎(chǔ)上，請學(xué)生“描周長”，強(qiáng)化“組合圖形的周長”是最外圍一周邊線的長。第二層次，通過研究“如何計(jì)算三個(gè)圖形的周長”，突出“封閉圖形”中“組合圖形”這一重要的概念背景。第三層次，重點(diǎn)聚焦由相同個(gè)小正方形組合成的規(guī)則圖形的周長，讓學(xué)生用自己喜歡的方式計(jì)算“誰的一周更長”，揭示“一周長度的總和是周長”的學(xué)科本質(zhì)。學(xué)生根據(jù)小組討論交流，總結(jié)出不同的周長計(jì)算方法，靈活掌握與周長相關(guān)的計(jì)算，為后面的學(xué)習(xí)積累經(jīng)驗(yàn)。另外，在結(jié)果的對比中，學(xué)生可以獲得新的認(rèn)識：相同個(gè)數(shù)的正方形拼在一起組成的大的規(guī)則圖形的周長可能相同，也可能不同。同時(shí)，教師在指導(dǎo)教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)觀察組合圖形的特點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)周長不同的原因。教師在精準(zhǔn)確立課時(shí)目標(biāo)的基礎(chǔ)上統(tǒng)籌劃定教學(xué)層次，并將其融入一組結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)材料中，使重點(diǎn)環(huán)節(jié)緊密圍繞這組材料的多輪次使用來充分展開。

（四）借助經(jīng)驗(yàn)和新知，拓展數(shù)學(xué)思維

教師要根據(jù)規(guī)則圖形周長的測量與計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)，拓展學(xué)生的思維，進(jìn)而讓學(xué)生去探索由曲線圍成的圖形周長的測量方法，在活動(dòng)中感知“化曲為直”的數(shù)學(xué)思想方法。同時(shí)，在活動(dòng)過程中，學(xué)生之間的合作與交流能夠碰撞出新的火花。

回顧“認(rèn)識周長”的磨課過程，在反復(fù)實(shí)踐中，筆者意識到學(xué)生的困惑與問題所在。雖然本章節(jié)是在學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)上的教學(xué)，但由于學(xué)生對經(jīng)驗(yàn)沒有系統(tǒng)地整理，部分經(jīng)驗(yàn)反而阻礙了思維的發(fā)展。這時(shí)，教師就需要在課堂上加以引導(dǎo)和規(guī)范，讓學(xué)生能更好地將經(jīng)驗(yàn)有效運(yùn)用到學(xué)習(xí)中。

綜上所述，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中關(guān)注學(xué)生發(fā)展，使學(xué)習(xí)真正發(fā)生，既是彰顯學(xué)生主體地位的需要，又有利于教學(xué)組織充分順應(yīng)認(rèn)知規(guī)律，讓有意義的學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生、深度進(jìn)行。教師通過調(diào)整教學(xué)策略，抓住數(shù)學(xué)核心內(nèi)容，圍繞數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思想方法，聚焦思維過程，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生的學(xué)習(xí)能真正發(fā)生，進(jìn)而獲得個(gè)性化學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，從而促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。