基于小波理論的近場(chǎng)地震動(dòng)模擬方法分析

丁慶燈

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

當(dāng)前有限的實(shí)測(cè)近場(chǎng)地震動(dòng)數(shù)量以及震源環(huán)境和場(chǎng)地條件對(duì)結(jié)構(gòu)抗震的限制，引起了抗震工作者對(duì)脈沖型地震的模擬持續(xù)關(guān)注[1-2]。對(duì)實(shí)測(cè)地震動(dòng)模擬的脈沖模型，學(xué)者所采用的數(shù)學(xué)模型主要有三角形模型、三角函數(shù)模型、帶包絡(luò)函數(shù)的三角函數(shù)模型、小波模型等模型。Mavroeidis和Papageorgiou[3]以Gabor小波為基礎(chǔ)，通過簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)擬合方法提出一種單駝峰的速度時(shí)程脈沖模型；Baker[4]以多貝西小波為窗函數(shù)通過小波變換提出單駝峰的速度脈沖模型；蒲武川等[5]在Makris的模型基礎(chǔ)上考慮地震動(dòng)不同位移恢復(fù)度的情況，提出了改進(jìn)的三角函數(shù)模型。除此之外也有以確定地震動(dòng)為基礎(chǔ)的地震動(dòng)模擬的研究，謝俊舉等[6]對(duì)汶川地震近場(chǎng)地震動(dòng)脈沖特性進(jìn)行了研究，謝禮立等[7]對(duì)唐山地震進(jìn)行了模擬。

目前對(duì)近場(chǎng)地震動(dòng)的模擬都以速度時(shí)程為基礎(chǔ)，這樣減少了高頻成分對(duì)模擬結(jié)果穩(wěn)定性的影響，但Rodríguez 和 Miranda[8]研究發(fā)現(xiàn)地震動(dòng)高頻成分對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)有一定影響，尤其對(duì)加速度需求敏感性較強(qiáng)。同時(shí)，近場(chǎng)地震動(dòng)模擬均只考慮了單脈沖模型，但不少實(shí)測(cè)地震動(dòng)記錄含有多個(gè)脈沖，使得單脈沖模型的能量相較于實(shí)測(cè)地震動(dòng)記錄有很大損失。

基于單脈沖模型的不足，本文提出以多貝西小波為小波基對(duì)地震動(dòng)加速度時(shí)程多次連續(xù)小波變換后模擬地震動(dòng)的方法，該方法可模擬多個(gè)脈沖部分的脈沖模型且不會(huì)影響單脈沖型地震動(dòng)的模擬精度。同時(shí)，選取目前幾種常規(guī)單脈沖型數(shù)學(xué)模擬模型，從速度時(shí)程、反應(yīng)譜和橋梁的非線性地震響應(yīng)結(jié)果3個(gè)方面展開分析，對(duì)比分析各模型對(duì)不同類型地震動(dòng)的模擬精度。

1 脈沖模型

1.1 包絡(luò)三角函數(shù)法

帶包絡(luò)曲線的三角函數(shù)擬合法(Menun模型)由Menun和Fu提出，通過2段帶包絡(luò)線的三角函數(shù)模擬脈沖部分[9]。MF模型含有VP、TP、t0、n1和n25個(gè)參數(shù)，n1、n2為分別控制前后2段三角函數(shù)形狀的參數(shù)，速度模擬公式為

(1)

1.2 Mavroeidis模型

Mavroeidis和Papageorgiou提出了基于Gabor小波提取速度脈沖的方法(MP模型)，該模型中保留Gabor小波諧波振蕩部分，替換高斯包絡(luò)函數(shù)為余弦包絡(luò)函數(shù)[3]。MP模型包含4個(gè)參數(shù)VP、fP、γ和φ，γ控制包絡(luò)線周期，φ確定振蕩函數(shù)相位，速度脈沖的振動(dòng)頻率用偽速度反應(yīng)譜峰值法并計(jì)算后求得，其他參數(shù)用試錯(cuò)法擬合。速度脈沖表達(dá)式為

(2)

1.3 Baker模型

Baker利用4階多貝西進(jìn)行連續(xù)小波變換，對(duì)地震動(dòng)速度時(shí)程信號(hào)進(jìn)行頻譜分析，通過連續(xù)小波變換時(shí)頻圖最大能量所對(duì)應(yīng)的時(shí)刻和頻率來確定脈沖周期和脈沖發(fā)生時(shí)間[4]。

1.4 蒲武川模型

蒲武川根據(jù)Makris的三角函數(shù)模型考慮速度峰值的正負(fù)向差異，對(duì)Makris的三角函數(shù)脈沖模型作出改進(jìn)，使模型能夠模擬不同永久位移的地震動(dòng)[5]。該模型(PWC模型)包含正負(fù)向速度時(shí)程峰值vm+、vm-；位移時(shí)程峰值dm；脈沖周期TP。速度模擬及脈沖周期公式為

(3)

(4)

2 本文擬合方法

地震波屬于典型的非平穩(wěn)信號(hào)，頻域特性隨時(shí)間變化而變化。對(duì)于局部區(qū)域的頻譜特性傅里葉變換不能實(shí)現(xiàn)，類似于窗口函數(shù)的小波變換在非平穩(wěn)信號(hào)中有明顯的優(yōu)勢(shì)，能反映地震波的局部頻譜特性。小波變換表達(dá)式如式(5)所示，通過改變幅值a和窗函數(shù)時(shí)間t來實(shí)現(xiàn)。

(5)

Baker模型中僅得到單脈沖模型，對(duì)近斷層地震動(dòng)中高頻成分和多脈沖部分的模擬有很大局限性。前幾種模型都以地震動(dòng)速度時(shí)程為研究對(duì)象，雖然能簡(jiǎn)化擬合的難度，但是經(jīng)過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，用速度時(shí)程曲線作為擬合對(duì)象會(huì)丟失地震動(dòng)加速度時(shí)程曲線的很多特性，尤其是加速度多脈沖時(shí)程?；诖耍疚囊约铀俣葧r(shí)程曲線為研究對(duì)象，利用多次小波變換來模擬多脈沖地震動(dòng)以提高擬合精確度。

本文先通過MATLAB對(duì)地震動(dòng)加速度時(shí)程進(jìn)行連續(xù)小波變換，然后獲得頻譜圖中最大能量值所處位置，根據(jù)小波變換尺度數(shù)組查找并確定對(duì)應(yīng)幅值a，脈沖周期T計(jì)算公式為

(6)

式中：Fs為采樣頻率；Fc為小波中心頻率。

根據(jù)對(duì)地震波的觀察發(fā)現(xiàn)，大多地震波的脈沖次數(shù)在4次以下，本文經(jīng)過4次擬合得到多脈沖模型，速度脈沖周期取多脈沖模型最優(yōu)頻率所對(duì)應(yīng)的周期。

3 地震動(dòng)模擬

3.1 地震波選取

本文中為盡可能確保各模擬方法保持原文的準(zhǔn)確性，從Mavroeidis模型所提供的近場(chǎng)地震時(shí)程中根據(jù)Baker所提出的脈沖指示公式篩選出8條地震波(見表1)，所選地震波均為與斷層向垂直的波分量。選取的8條地震波按典型特征又分為了3類：1、2、3號(hào)地震波為典型單脈沖型地震波；4、5、6號(hào)地震波為多脈沖型地震波；7、8號(hào)地震波為長(zhǎng)周期脈沖型地震波。

3.2 地震動(dòng)速度時(shí)程曲線擬合

Menun模型實(shí)際模擬過程中，按原文所述先用遺傳法得到5個(gè)參數(shù)的局部最優(yōu)值，然后用牛頓法求出整體最優(yōu)值。蒲武川模型原文中未給出脈沖初始時(shí)刻的求值方法，實(shí)際模擬過程中用脈沖地震動(dòng)與原始地震動(dòng)最小標(biāo)準(zhǔn)差的方法求得，脈沖周期取Baker模型的周期，其余參數(shù)按原文所述求得。其他模型均按原文方法模擬。本文模型以加速度時(shí)程為參考擬合后轉(zhuǎn)化為速度時(shí)程曲線，地震動(dòng)速度時(shí)程曲線擬合結(jié)果見圖1。

表1 地震波基本信息

圖1 速度時(shí)程曲線

由圖1可看出：不同的地震波、不同的模擬方法結(jié)果有一定偏差，部分能與原地震動(dòng)很好吻合，也有部分?jǐn)M合出現(xiàn)較大偏差。其中：1、2、3號(hào)地震波各擬合方法均較好，但是蒲武川模型因其模型的缺陷使得最后一個(gè)小脈沖無法擬合；4、5、6號(hào)地震波為多脈沖地震波并含有大量高頻成分，而上述擬合方法中單脈沖模型均只能擬合有限數(shù)量脈沖，故整體擬合結(jié)果不夠理想，同時(shí)多脈沖的緣故使得各單脈沖模型識(shí)別出不同的主脈沖而導(dǎo)致脈沖周期也因擬合方法不同而明顯不同，本文模型則對(duì)多脈沖型地震動(dòng)的模擬效果則明顯提升，能有效模擬多個(gè)脈沖；7、8號(hào)地震波的擬合中Baker和Mavroeidis模型的擬合地震波整體略大于原始地震波，其余單脈沖模型僅能較好擬合主脈沖，但多脈沖模型則能很好擬合出主脈沖中的次要脈沖。

不同擬合方法所得擬合結(jié)果的地震特征參數(shù)見表2。由表2可知：不同模型的單脈沖地震動(dòng)和長(zhǎng)周期地震動(dòng)脈沖周期結(jié)果相近，偏差很??；4、5、6號(hào)多脈沖周期地震動(dòng)不同模型的脈沖周期偏差較大，如6號(hào)波MF模型周期TP=6.45 s，而Baker模型周期TP=1.04 s，這主要是本文所列舉的脈沖模型均只考慮單一脈沖，對(duì)多脈沖模型的擬合沒有一定的準(zhǔn)確性。

表2 各模型模擬結(jié)果

3.3 反應(yīng)譜分析

將每條地震動(dòng)不同模擬方法的反應(yīng)譜與原地震動(dòng)的反應(yīng)譜結(jié)果對(duì)比，分別計(jì)算阻尼比為5%、10%、30%三種情況下相對(duì)速度反應(yīng)譜的結(jié)果。圖2反映了阻尼比分別取5%、10%、30%時(shí)不同地震動(dòng)擬合波與原波的反應(yīng)譜表現(xiàn)。

由圖2可以看出：在高自振頻率內(nèi)，所有實(shí)測(cè)地震動(dòng)的反應(yīng)譜曲線明顯高于其單脈沖擬合地震動(dòng)反應(yīng)譜曲線，隨著自振頻率降低兩者逐漸相吻合；相較于單脈沖模型，本文模型擬合地震動(dòng)與實(shí)測(cè)地震動(dòng)的反應(yīng)譜相比，在高自振頻率和低自振頻率段均有良好的吻合度，較單脈沖模型在低自振周期有明顯優(yōu)化。這種現(xiàn)象主要由多個(gè)原因?qū)е拢瑢?duì)單脈沖型地震動(dòng)而言，本文模型因有多次擬合過程，能有效擬合部分含有較高能量的高頻成分；對(duì)多脈沖型地震動(dòng)而言，模擬多個(gè)脈沖使得更多脈沖被識(shí)別；對(duì)于長(zhǎng)周期地震動(dòng)而言，能有效識(shí)別主脈沖中的次要脈沖而有效提高地震動(dòng)整體的擬合度。對(duì)于不同單脈沖模型的結(jié)果也會(huì)出現(xiàn)局部大偏差，如Mavroeidis模型對(duì)多脈沖模型的模擬在實(shí)測(cè)地震動(dòng)卓越周期出現(xiàn)后有很大偏差，所有單脈沖模型對(duì)長(zhǎng)周期地震動(dòng)的模擬在實(shí)測(cè)地震動(dòng)卓越周期出現(xiàn)后幾秒內(nèi)也有很大偏差。同時(shí)隨著阻尼比增加，高自振頻率部分的峰值減少，反應(yīng)譜曲線更光滑。

為顯示模擬結(jié)果的直觀性，圖3反映了各模擬地震動(dòng)與原始地震動(dòng)相對(duì)位移反應(yīng)譜的比值，模擬結(jié)果與圖2所表現(xiàn)的基本一致，單脈沖模型模擬的單脈沖型和長(zhǎng)周期型地震動(dòng)的反應(yīng)譜在短自振周期內(nèi)出現(xiàn)很大差異，長(zhǎng)自振周期階段則吻合度較高，而本文模型則對(duì)整個(gè)階段均表現(xiàn)良好。單脈沖模型對(duì)多脈沖型地震動(dòng)的整個(gè)階段模擬結(jié)果很差，Mavroeidis模型模擬結(jié)果明顯高于實(shí)測(cè)地震動(dòng)反應(yīng)譜，而其他模型則低于實(shí)測(cè)地震動(dòng)反應(yīng)譜。本文模型則對(duì)4、6號(hào)波的反應(yīng)譜表現(xiàn)較差，對(duì)5號(hào)波的反應(yīng)譜表現(xiàn)良好，這可能是4、6號(hào)波多脈沖不夠顯現(xiàn)的原因，但本文模型整體較單脈沖模型的結(jié)果有提升。

由圖2～3可知：多脈沖模型的擬合結(jié)果相較于單脈沖模型擬合地震動(dòng)的反應(yīng)譜結(jié)果有明顯提升；對(duì)單脈沖型地震動(dòng)可提升高自振頻率段內(nèi)反應(yīng)譜的擬合度；對(duì)多脈沖型地震動(dòng)可以優(yōu)化整體反應(yīng)譜吻合度；對(duì)長(zhǎng)周期型地震動(dòng)可提高反應(yīng)譜高中自振頻率段吻合度。

圖3 相對(duì)位移反應(yīng)譜比

4 橋梁結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析

4.1 有限元模型的建立

本文所選橋梁為某鐵路4跨連續(xù)梁橋(72+2×120+72) m，該橋位于Ⅱ類場(chǎng)地，抗震設(shè)防級(jí)別8度，地震動(dòng)峰值加速度0.3g。本橋橋面寬12.2 m，上部為變截面單箱單室C55混凝土現(xiàn)澆結(jié)構(gòu)，下部結(jié)構(gòu)采用重力式橋墩，邊墩為C40混凝土材料，中墩為C50混凝土材料。承臺(tái)材料為C30混凝土，樁基礎(chǔ)材料為C35混凝土。

本文基于CSi Bridge有限元分析模塊建立橋梁非線性有限元模型，主梁用彈性梁?jiǎn)卧M，摩擦擺支座采用系統(tǒng)自帶的Friction Isolator單元模擬，橋墩采用彈塑性梁柱單元模擬，從左往右編號(hào)依次為1#～5#橋墩。在本文材料本構(gòu)模型模擬中，鋼筋用軟件自有的Simple模型模擬，混凝土用Mander本構(gòu)模擬。構(gòu)件所選滯回曲線的準(zhǔn)確性對(duì)時(shí)程響應(yīng)結(jié)果的精確性有決定性作用，選擇合理的滯回模型很有必要，簡(jiǎn)單的模型影響結(jié)果的準(zhǔn)確性，復(fù)雜的模型又會(huì)影響計(jì)算效率，因此本文使用考慮剛度退化的武田雙折線模型。全橋的有限元模型見圖4。

圖4 全橋有限元模型

4.2 非線性時(shí)程分析結(jié)果

時(shí)程分析會(huì)因地震波峰值加速度PGA不同有明顯差異，為減小不同地震動(dòng)PGA對(duì)時(shí)程結(jié)果分析的影響，將原始地震動(dòng)幅值均調(diào)整為0.3g，對(duì)應(yīng)的擬合地震動(dòng)按相應(yīng)比例調(diào)幅。經(jīng)過對(duì)時(shí)程響應(yīng)結(jié)果的查看，各橋墩的地震響應(yīng)結(jié)果規(guī)律相近，為便于比較，本文以2#墩為分析對(duì)象作對(duì)比分析。圖5顯示了不同地震動(dòng)作用下2#墩墩底最大彎矩值，圖6顯示了不同地震動(dòng)作用下2#墩墩底最大剪力值，圖7顯示了不同地震動(dòng)作用下2#墩墩頂最大位移值。

圖5 2#墩墩底最大彎矩值

圖6 2#墩墩底最大剪力值

圖7 2#墩墩頂最大位移值

由圖5～7可知，同工況下的墩底彎矩、墩底剪力和墩頂位移結(jié)果趨勢(shì)大致相同。本文以墩底彎矩結(jié)果為參考來分析地震響應(yīng)結(jié)果。

首先分析單脈沖模型對(duì)各類型模擬地震動(dòng)響應(yīng)結(jié)果。1、2、3號(hào)單脈沖型模擬地震動(dòng)的時(shí)程結(jié)果比較均衡，除Mavroeidis模型外實(shí)測(cè)地震動(dòng)的響應(yīng)結(jié)果誤差在25%以內(nèi)且小于實(shí)測(cè)地震動(dòng)響應(yīng)值，各模型間的誤差也在30%以內(nèi)。單脈沖模型模擬地震動(dòng)的響應(yīng)結(jié)果以Baker模型和蒲武川模型為最優(yōu)，誤差控制在20%以內(nèi)。4、5、6號(hào)多脈沖型模擬地震動(dòng)作用下隨地震波和模擬方法變化地震動(dòng)響應(yīng)值變化很大。如Baker模型對(duì)4、6號(hào)波的誤差值分別為11%、70%，出現(xiàn)明顯的不穩(wěn)定性，Baker模型和蒲武川模型對(duì)6號(hào)波的誤差值分別為1%、70%，出現(xiàn)明顯模型間的不穩(wěn)定性。7、8號(hào)長(zhǎng)周期型模擬地震動(dòng)作用下的時(shí)程結(jié)果與4、5、6號(hào)波作用結(jié)果相似，即同一條波不同模擬方法、相同模擬方法對(duì)不同地震波的結(jié)果偏差均變化很大，其中蒲武川模型、Menun模型對(duì)地震波的模擬結(jié)果較好，其余2種模型對(duì)不同地震動(dòng)的模擬出現(xiàn)很大差異。

從分析結(jié)果可知單脈沖模型對(duì)單脈沖型地震動(dòng)的模擬比較優(yōu)秀，對(duì)多脈沖型地震動(dòng)和長(zhǎng)周期地震動(dòng)的模擬出現(xiàn)明顯的不穩(wěn)定性。以Baker模型和Menun模型最典型，對(duì)單脈沖型地震動(dòng)的模擬較好，對(duì)其他2類地震動(dòng)的模擬很差，蒲武川模型的模擬結(jié)果則相對(duì)較穩(wěn)定。

相較于單脈沖模型，本文所提出的多脈沖模型的模擬結(jié)果有明顯的提高。對(duì)單脈沖型地震動(dòng)、多脈沖型地震動(dòng)和長(zhǎng)周期地震動(dòng)的模擬結(jié)果誤差最大分別為10%、22%、25%，雖對(duì)多脈沖型地震動(dòng)和長(zhǎng)周期型地震動(dòng)模擬精度較單脈沖型地震動(dòng)較弱，但模擬的精確度和穩(wěn)定性較單脈沖模型均有明顯提高。

5 結(jié)論

1) 本文基于小波變換的方法提出了多脈沖型地震動(dòng)的模擬方法，通過與單脈沖模型的模擬結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了本文方法對(duì)多脈沖型和長(zhǎng)周期型地震動(dòng)的模擬的可靠性，同時(shí)也不會(huì)影響對(duì)單脈沖地震動(dòng)的模擬精度。

2) 本文基于加速時(shí)程為研究對(duì)象，相較于單脈沖模型基于速度時(shí)程為研究對(duì)象，從反應(yīng)譜和時(shí)程響應(yīng)結(jié)果可以看出，本文方法的模擬結(jié)果對(duì)短自振周期結(jié)構(gòu)的響應(yīng)更接近。

3) 從時(shí)程響應(yīng)結(jié)果可知，時(shí)程響應(yīng)結(jié)果對(duì)單脈沖型地震動(dòng)、多脈沖型地震動(dòng)和長(zhǎng)周期地震動(dòng)的模擬結(jié)果誤差最大分別為10%、22%、25%，本文模型相較于單脈沖模型對(duì)不同類型地震動(dòng)的模擬精度均有提升。

4) 本文模型較單脈沖模型考慮了一種模擬多脈沖型地震動(dòng)的方法，但對(duì)于高頻成分的模擬還需要更進(jìn)一步的研究，有研究表明高頻成分也具有一定能量且對(duì)短自振周期結(jié)構(gòu)有較大損傷，需要進(jìn)一步研究。