高中數(shù)學(xué)人教A版新舊教材“數(shù)列”內(nèi)容比較分析

程雪珂 李治

摘要：隨著新高考和新課標的改革，高中數(shù)學(xué)教材也發(fā)生了巨大的改變。本文以人教A版新舊教材數(shù)列為例，從目錄編排、教材內(nèi)容等方面進行比較，分析新教材與舊教材的相同與不同之處，并總結(jié)了新教材的優(yōu)點。

關(guān)鍵詞：教材;數(shù)列;新舊內(nèi)容

一、問題的提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》包含了數(shù)學(xué)課程的四個基本理念，分別為：學(xué)生發(fā)展為本，立德樹人，提升修養(yǎng);優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)，突出主線，精選內(nèi)容;把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)服考，改進教學(xué);重視過程評價，聚焦素養(yǎng)，提高質(zhì)量[1]。課程標準是教材編寫的主要依據(jù)，教材是課程標準的載體，富含著課程標準的理念與價值。根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》編寫的人教版高中數(shù)學(xué)教科書已經(jīng)在全國大規(guī)模使用，這是一套以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的高中新教材，新教材的編寫理念，章節(jié)排版等都與舊教材有著很大的區(qū)別。本文主要以人教A版新舊教材中的數(shù)列為例，詳細地說明新舊教材的不同，并總結(jié)新教材的優(yōu)點。

二、整體分析比較

目錄是構(gòu)建教材結(jié)構(gòu)的框架，它反映了教材的知識內(nèi)容和知識的編排順序，使得知識清晰化和條理化，讓學(xué)生能夠快速了解所學(xué)的內(nèi)容。人教A版的高中數(shù)學(xué)新教材將數(shù)列部分安排在選修第二冊第四章，舊教材將其安排在必修5第二章，現(xiàn)將兩種教材數(shù)列部分的目錄列表如表1所示：

從上述表中可以看出，新舊教材的目錄發(fā)生了很大變化，其一，新教材中不再把等差數(shù)列的前n項和與等比數(shù)列的前n項和設(shè)置為大章節(jié)，而是作為等差數(shù)列和等比數(shù)列的小章節(jié)，這樣的設(shè)置加深了知識點之間的聯(lián)系，讓學(xué)生們更能理解“前n 項和”的意義與用法。其二，新教材中刪除了信息與技術(shù)應(yīng)用與探究發(fā)現(xiàn)，減少了現(xiàn)實生活的舉例，但增加了數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化融入到知識點中，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)。其三，新教材增加了數(shù)學(xué)歸納法這一章節(jié)，數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的特殊方法，而數(shù)列是定義在正整數(shù)集上的離散函數(shù)，在數(shù)列的學(xué)習(xí)過程中，采用數(shù)學(xué)歸納法可以給出嚴格的數(shù)學(xué)證明，為學(xué)生提供了一種“觀察—歸納—猜想—證明”的思維模式，對之后的學(xué)習(xí)具有很大的幫助，能夠培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)上嚴謹?shù)目茖W(xué)態(tài)度。

三、教材內(nèi)容比較

通過表1的對比，可以看出新舊教材的數(shù)列部分發(fā)生了很大的變化，內(nèi)容有增加也有刪減，有“升級”也有“降級”。但是，目錄只能看到整體結(jié)構(gòu)的變化，不能看到各個章節(jié)具體內(nèi)容的變化，為此以下對新舊教材的重點內(nèi)容進行比較：

3.1數(shù)列的概念

在情景導(dǎo)入環(huán)節(jié)中，舊教材用畢達哥拉斯形數(shù)引出數(shù)列的概念，沒有具體的實例。新教材先給出三個具體的實例，讓同學(xué)們思考三個實例的共同特征，再給出數(shù)列的概念，這有利于增強學(xué)生獨立思考的能力，更能具體的理解數(shù)列的概念。新教材在給出數(shù)列的概念之后，將數(shù)列與函數(shù)相聯(lián)系，指出以前學(xué)過的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù)，并且與其他函數(shù)一樣，數(shù)列也可以用表格和圖像表示，因此，新教材更加符合課程標準的要求，更加強調(diào)函數(shù)的作用，突出了函數(shù)的主線地位，凸顯了知識點之間的聯(lián)系。新舊教材在引出遞推公式定義的方法又有一些不同，新教材用謝爾賓斯基三角形這個例子詳細地給出了遞推公式的定義，而舊教材雖然也引用謝爾賓斯基三角形，但是它沒有在謝爾賓斯基三角形這個實例的基礎(chǔ)上引出遞推公式的定義，而是用數(shù)列an=2an-1+1得出遞推公式的定義，這使得同學(xué)們對于等差數(shù)列和等比數(shù)列的遞推公式都有了一定的了解。在數(shù)列的概念這一章節(jié)最大的變化是新教材增加了數(shù)列{an}的前n項和，這是舊教材中所沒有的，這一變化的優(yōu)點在于讓學(xué)生提前探索數(shù)列的求和公式，為后面學(xué)習(xí)等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項求和打下堅實的基礎(chǔ)，充分考慮到了知識點之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性和系統(tǒng)性。

3.2等差數(shù)列

在知識導(dǎo)入環(huán)節(jié)中，舊教材類比實數(shù)的運算法則與性質(zhì)，提出在數(shù)列中能不能像研究實數(shù)一樣，去研究數(shù)列的項與項之間的關(guān)系，運算與性質(zhì)呢？從四個現(xiàn)實生活中的實例入手，采用從特殊到一般的方法，引出等差數(shù)列。新教材在引言中強調(diào)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，類比函數(shù)的研究方法，在了解數(shù)列的一般概念后，去研究一些具有特殊變化規(guī)律的數(shù)列，并列舉了四個具體的實例，從中了解到數(shù)列的取值規(guī)律，進而得到等差數(shù)列的概念。

一般而言，數(shù)學(xué)概念的引入方式有兩種：第一種，從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展進程中引入新的概念;第二種，從解決實際問題需要出發(fā)引出新的概念[2]。新舊教材都是從實際生活出發(fā)舉例，但是兩者類比的內(nèi)容不同，舊教材類比實數(shù)的研究方法，新教材類比函數(shù)的研究方法，導(dǎo)致學(xué)生理解的角度不同。新教材將數(shù)列與函數(shù)聯(lián)系起來，更加符合課程標準的要求。除此之外，新舊教材在等差數(shù)列的通項公式的導(dǎo)出也存在不同之處，新教材采用完全歸納法，將推導(dǎo)過程和結(jié)果詳細地寫出，而舊教材采用不完全歸納法，將結(jié)果設(shè)置為“填空”的形式，讓學(xué)生自己歸納得到[3]。這樣編排留給了學(xué)生獨立思考的空間，有利于提高學(xué)生的邏輯思維能力和推理能力。在等差數(shù)列求和公式中，雖然都引用了高斯故事為例，但是在內(nèi)容方法上有所差異，舊教材根據(jù)高斯算法的啟示，對于公差d的等差數(shù)列，用兩種方式表示Sn：

引出“倒敘相加法”的思想后，得出等差數(shù)列{an}的前n項和：。但是舊教材卻忽略了n的取值問題，n取任何數(shù)都能得到以上結(jié)論嗎？這不免使學(xué)生產(chǎn)生疑惑。新教材則充分考慮到了學(xué)生的認知特點，增加了對n的分類討論，詳細地給出了n為偶數(shù)和奇數(shù)的求和過程，并讓同學(xué)思考，在求前n個正整數(shù)的和時，要對n分奇數(shù)、偶數(shù)進行討論會比較麻煩，有沒有其他的方法避免討論？為了減少計算量，在分類討論的基礎(chǔ)上，將奇數(shù)和與偶數(shù)和相加，二者合二為一，得出倒敘相加法，不僅為學(xué)生提供了分類討論的思想，還提高了學(xué)生數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。

3.3等比數(shù)列

在等比數(shù)列的概念這一小節(jié)中，舊教材用四個實例作為知識導(dǎo)入，讓同學(xué)們觀察四個數(shù)列的共同特點，從而引出等比數(shù)列的概念，沒有與等差數(shù)列聯(lián)系起來，將等差數(shù)列與等比數(shù)列作為兩個獨立的知識點，割斷了知識點之間的連接，讓同學(xué)們學(xué)習(xí)等比數(shù)列時無從下手。而新教材除了列舉四個實例外，還類比等差數(shù)列的思路和方法，將等差數(shù)列和等比數(shù)列緊密聯(lián)系起來，從運算的角度，讓同學(xué)們了解到數(shù)列不僅有“差”的形式，還能從“和”、“積”、“除”的角度去研究數(shù)列，而等比數(shù)列的概念就是通過除法運算得到的，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)等比數(shù)列概念的同時，還能鞏固前面所學(xué)的知識，更能開發(fā)學(xué)生的思維活動，讓學(xué)生思考在加法運算和乘法運算的角度，數(shù)列有著怎樣的變化與規(guī)律。在等比數(shù)列的通項公式中，將等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系，類比指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，思考公比q>0的等比數(shù)列的單調(diào)性及q>0且q≠1的等比數(shù)列{an}的圖像的特點，進一步凸顯了函數(shù)這一主線。

四、結(jié)論

通過綜合對比，可以發(fā)現(xiàn)新舊教材在內(nèi)容、編排上發(fā)生了很大變化，但是新教材相較于舊教材而言更具有優(yōu)越性，新教材是對舊教材的繼承與發(fā)展。新教材在每個章節(jié)的知識引入中更符合學(xué)生的認知規(guī)律，以問題情境為切入點，引導(dǎo)學(xué)生認真思考。新課標將數(shù)列放在函數(shù)這一主題當(dāng)中，新教材在數(shù)列這一章節(jié)中也一直以函數(shù)為主線，強調(diào)等差數(shù)列與一次函數(shù)有關(guān)，等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)有關(guān)，感受函數(shù)與數(shù)列的共性與個性，體會數(shù)學(xué)知識點的系統(tǒng)性與整體性。

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]孫浩潔.蘇教版與人教版數(shù)列教材內(nèi)容比較研究[J].科教文匯（下旬刊），2019（07）：140-143+151.

[3] 莫紹貴.三種版本教材“數(shù)列”內(nèi)容編寫的比較與建議[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2020（18）：17-19.EF6A59BB-D45B-402B-9FFB-9A32031F6F89