干擾輸入影響下離散線性切換系統(tǒng)的反饋控制方法

黃麗瓊，王園園

(1.商洛學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用學(xué)院，陜西 商洛 726000；2.商洛學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院，陜西 商洛 726000)

0 引言

輸出調(diào)節(jié)問(wèn)題是當(dāng)前切換系統(tǒng)輸出控制的關(guān)鍵性問(wèn)題之一，一般通過(guò)設(shè)計(jì)反饋控制器消除外界干擾。然而，由于切換系統(tǒng)是一類特殊的混雜系統(tǒng)，容易受到外界環(huán)境影響，存在系統(tǒng)穩(wěn)定性差的問(wèn)題。因此，離散切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性與反饋問(wèn)題是切換系統(tǒng)理論研究的重要內(nèi)容，除了強(qiáng)線性分析方法之外，在離散切換系統(tǒng)中，漸近式子系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行仍是一個(gè)難點(diǎn)。為此，需控制離散線性切換系統(tǒng)。

文獻(xiàn)[1]提出了基于平均駐留時(shí)間的反饋控制方法，該方法通過(guò)控制切換輸出反饋控制器和對(duì)切控制器控制離散線性切換系統(tǒng)，該系統(tǒng)在每次切換時(shí)，都要執(zhí)行復(fù)位操作，以保證每一個(gè)切換時(shí)刻的狀態(tài)都能實(shí)時(shí)地控制系統(tǒng)輸出結(jié)果，解決了切換系統(tǒng)輸出的調(diào)節(jié)問(wèn)題。文獻(xiàn)[2]提出的基于切換原理的反饋控制方法，把刷新時(shí)間間隔作為延時(shí)變量，并將其轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)不同子系統(tǒng)之間的數(shù)據(jù)切換，保證輸出結(jié)果趨于穩(wěn)定。上述2種方法受到外界環(huán)境干擾，導(dǎo)致控制效果不佳，因此，提出了干擾輸入影響下離散線性切換系統(tǒng)的反饋控制方法。

1 離散線性切換系統(tǒng)分析

離散線性切換系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)，系統(tǒng)的控制層和輸入層決定了系統(tǒng)輸出結(jié)果，并且在該過(guò)程中，各個(gè)子系統(tǒng)在同一時(shí)間內(nèi)只能激活1個(gè)子系統(tǒng)。因此，子系統(tǒng)的輸入信號(hào)切換性能是決定整個(gè)系統(tǒng)的關(guān)鍵因素[3]。設(shè)定矩陣為對(duì)稱正定矩陣，描述離散線性切換系統(tǒng)，即

x(k+1)=Aλ(k)x(k)+Bλ(k)u(k)+ω(k)

(1)

x(k)為離散線性切換系統(tǒng)輸入狀態(tài)；u(k)為離散線性切換系統(tǒng)控制輸入；ω(k)為干擾輸入；Aλ(k)、Bλ(k)均為常數(shù)矩陣；λ(k)為依賴于離散線性切換系統(tǒng)輸入狀態(tài)x(k)的切換信號(hào)[4-5]。由此構(gòu)建的離散線性切換系統(tǒng)模型如圖1所示。

圖1 離散線性切換系統(tǒng)

由圖1可知，該系統(tǒng)的切換穩(wěn)定性不僅受到激活子系統(tǒng)影響，還受到切換規(guī)則的限制[6]。在整個(gè)信號(hào)切換過(guò)程中，一旦選擇的切換規(guī)則不當(dāng)，就會(huì)導(dǎo)致整個(gè)切換系統(tǒng)不穩(wěn)定[7]。

基于上述系統(tǒng)，設(shè)定2種情況：

a.離散線性切換信號(hào)是唯一的。

如果外部干擾是存在的，則干擾信號(hào)ω(k)輸入需滿足

ω(k)Tω(k)≤Z

(2)

其中，Z≥0為常數(shù)。

b.離散線性切換信號(hào)是任意的。

如果外部干擾是不存在的，則離散線性切換系統(tǒng)可表示為

x(k+1)=Aλ(k)x(k)+Bλ(k)u(k)

(3)

充分考慮上述2種情況，設(shè)計(jì)線性切換狀態(tài)下的反饋控制器，即

(4)

分析所有可能影響系統(tǒng)的切換序列，判斷其穩(wěn)定條件，這對(duì)系統(tǒng)的反饋控制具有重要影響[8]。

2 基于輸出反饋的魯棒鎮(zhèn)定控制研究

2.1 輸出反饋的問(wèn)題描述

在干擾輸入影響下的離散線性切換系統(tǒng)是一個(gè)動(dòng)態(tài)切換過(guò)程，被控對(duì)象描述為

(5)

Cλ為常數(shù)矩陣；Sc為被控對(duì)象。假設(shè)被控對(duì)象在kT+tik時(shí)延下采集到的輸入信號(hào)為u(kT+tik),i=1,2,…,p，經(jīng)過(guò)零階保持器處理后，能夠產(chǎn)生一個(gè)連續(xù)信號(hào)u(t)，即為被控對(duì)象的輸入信號(hào)[9]。零階保持器在信號(hào)處理過(guò)程中，能夠保持刷新時(shí)間不變[10]。

結(jié)合離散線性切換系統(tǒng)實(shí)際應(yīng)用情況，簡(jiǎn)化信號(hào)非統(tǒng)一輸入過(guò)程，詳細(xì)內(nèi)容為：

a.實(shí)際上在不均勻輸入過(guò)程中，輸入信號(hào)一般具有時(shí)滯性，當(dāng)前輸入信號(hào)與過(guò)去的歷史信號(hào)是相關(guān)的，即

u(kT+tik)=u(kT-ZT)

(6)

為了計(jì)算方便，Z取整數(shù)；T為輸入周期。

b.產(chǎn)生的連續(xù)信號(hào)，可表示為

(7)

其中，τk為刷新時(shí)間，也是時(shí)延。

c.輸入周期是由N個(gè)最小周期T0組成的，可表示為

T0=T/N

(8)

由式(8)可知，零階保持器HΓ存在固有的刷新周期。

上述3點(diǎn)在實(shí)際不均勻輸入系統(tǒng)中是常見(jiàn)的，如離散線性切換系統(tǒng)的延遲、切換時(shí)的信號(hào)交換延遲等[11]。

2.2 切換過(guò)程分析

通過(guò)描述輸出反饋的問(wèn)題可知，時(shí)延變化范圍為0≤τk≤T，在任意切換時(shí)間內(nèi)，都存在2個(gè)控制量，分別為u(kT)和u(kT-T)，將這2個(gè)控制量同時(shí)作用于被控對(duì)象，由此得到的控制信號(hào)時(shí)序，如圖2所示。

圖2 控制信號(hào)時(shí)序

由圖2可知，控制信號(hào)u(k)經(jīng)過(guò)時(shí)延τk=t1-kT后，到達(dá)零階保持器端，零階保持器在kT+3T0時(shí)間范圍內(nèi)讀取輸入值，將u(k-1)更新為u(k)[12]。

針對(duì)任意k>0的輸入值，將u(kT)和u(kT-T)這2個(gè)控制量同時(shí)作用于被控對(duì)象，作用的時(shí)間分別為n0(k)T0和n1(k)T0，則有

(9)

n1(k)值與時(shí)延大小有關(guān)。對(duì)式(9)進(jìn)行離散化處理時(shí)，應(yīng)充分考慮時(shí)延大小，離散線性切換模式的2個(gè)輸入矩陣與n1(k)和n0(k)大小有關(guān)[13]。當(dāng)離散線性切換模式具有多變性時(shí)，說(shuō)明n1(k)和n0(k)的值不一致；當(dāng)離散線性切換模式具有唯一性時(shí)，說(shuō)明n1(k)和n0(k)的值一致[14]。因此，式(9)可視為子系統(tǒng)數(shù)目有限的切換系統(tǒng)[15]。

2.3 反饋控制流程設(shè)計(jì)

2.3.1 降階控制律設(shè)計(jì)

為了使離散線性切換系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，設(shè)計(jì)了降階控制律，使其具有加權(quán)增益性能。假設(shè)α為系統(tǒng)的切換信號(hào)，[t1,t2]為時(shí)間間隔，Nα(t1,t2)為切換次數(shù)。

對(duì)于任意條件N0≥1，τa>0，則有

(10)

τa為平均駐留時(shí)間；N0為活動(dòng)界限。

2.3.2 有限時(shí)間鎮(zhèn)定反饋控制

通過(guò)構(gòu)造一階輸出反饋律，設(shè)計(jì)干擾輸入影響下的有限時(shí)間鎮(zhèn)定反饋控制方案。在離散線性切換系統(tǒng)切換過(guò)程中，由于離散線性切換系統(tǒng)受到外部環(huán)境的干擾，會(huì)產(chǎn)生延遲和丟包現(xiàn)象。

以下是通過(guò)緩沖器的信號(hào)與信號(hào)是否傳輸成功之間的關(guān)系，即

(11)

(12)

假定對(duì)切換系統(tǒng)作出如下假設(shè)：

a.時(shí)延小于系統(tǒng)的切換周期。

b.以時(shí)間驅(qū)動(dòng)方式，保持切換周期一致。

c.在切換過(guò)程中，信號(hào)可能隨時(shí)出現(xiàn)丟失情況，且信號(hào)丟失情況一般存在上界。

在假設(shè)條件下，若存在對(duì)稱矩陣，則S>0；如果存在變量代換矩陣Y，則實(shí)數(shù)γ≥1，則有

(13)

因此，狀態(tài)反饋控制器可以用離散線性切換系統(tǒng)來(lái)表示為

u′(k)=YS-1x(k)

(14)

在式(14)下，離散線性切換系統(tǒng)處于有限時(shí)間穩(wěn)定狀態(tài)。

3 仿真實(shí)例

設(shè)考慮被控對(duì)象為

(15)

采樣周期為10 ms，將采樣周期均等分為10份，每份為1 ms，控制器可表示為

(16)

假設(shè)控制器工作的最大時(shí)延為4 ms，輸入5種輸入信號(hào)時(shí)延的取值情況，即τ(k)∈{0,1,2,3,4}，也說(shuō)明離散線性切換系統(tǒng)存在5個(gè)子系統(tǒng)。用Sci(i=0,1,2,3,4)表示這5個(gè)子系統(tǒng)，對(duì)應(yīng)的輸入矩陣都是由n1(k)和n0(k)決定的，相應(yīng)的取值依次為[0 10]，[1 9]，[2 8]，[3 7]，[4 6]。

當(dāng)時(shí)延為0時(shí)，Sc0為閉環(huán)采樣系統(tǒng)模型；當(dāng)時(shí)延發(fā)生改變時(shí)，Sc1為閉環(huán)采樣系統(tǒng)模型。結(jié)合LMI的可行解問(wèn)題解算器feasp，確定對(duì)稱矩陣的可行解，即

上述得到的解滿足輸入條件，即指數(shù)衰減率滿足最小解，因此，輸出反饋控制器能夠使離散線性切換系統(tǒng)保持穩(wěn)定，仿真結(jié)果如圖3和圖4所示。

圖3 系統(tǒng)x1(k+1)輸出

圖4 系統(tǒng)x2(k+1)輸出

在圖3和圖4中，模擬結(jié)果顯示，系統(tǒng)明顯收斂到0，且是逐漸穩(wěn)定的，由此也說(shuō)明在滿足切換條件下，離散線性切換系統(tǒng)輸出指數(shù)穩(wěn)定。

為了證明所研究方法的有效性，在最大時(shí)延6 ms情況下，輸入7種輸入信號(hào)時(shí)延的取值情況，τ(k)∈{0,1,2,3,4，5,6}，也說(shuō)明離散線性切換系統(tǒng)存在7個(gè)子系統(tǒng)，與此對(duì)應(yīng)的x1(k)、x2(k)響應(yīng)曲線，如圖5所示。

圖5 最大時(shí)延上界為6 ms的控制情況

由圖5可知，x1(k)、x2(k)輸出指數(shù)呈負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，在時(shí)間為0～100 s時(shí)，x1(k)輸出指數(shù)變化范圍為0.10～0，x2(k)輸出指數(shù)變化范圍為-0.10～0。在時(shí)間為100～300 s時(shí)，x1(k)、x2(k)輸出指數(shù)一致，均為0，趨于穩(wěn)定狀態(tài)。

基于此，分別使用平均駐留時(shí)間的反饋控制方法、基于切換原理的反饋控制方法和基于輸出反饋的魯棒鎮(zhèn)定控制研究方法，對(duì)比分析x1(k+1)、x2(k+1)響應(yīng)曲線變化情況，如圖6所示。

圖6 3種方法x1(k+1)、x2(k+1)響應(yīng)曲線變化對(duì)比

由圖6可知，使用平均駐留時(shí)間的反饋控制方法，在時(shí)間為0～300 s時(shí)，x1(k+1)輸出指數(shù)變化范圍為0.10～-0.02，x2(k+1)輸出指數(shù)變化范圍為-0.10～0.02，相交點(diǎn)為100 s，此時(shí)x1(k+1)、x2(k+1)輸出指數(shù)均為0；使用基于切換原理的反饋控制方法，在時(shí)間0～300 s時(shí)，x1(k+1)輸出指數(shù)變化范圍為0.10～0，x2(k+1)輸出指數(shù)變化范圍為-0.10～0，相交點(diǎn)為150 s，此時(shí)x1(k+1)、x2(k+1)輸出指數(shù)均為0；使用基于輸出反饋的魯棒鎮(zhèn)定控制方法，在時(shí)間為0～300 s時(shí)，x1(k+1)輸出指數(shù)變化范圍為0.10～0，x2(k+1)輸出指數(shù)變化范圍為-0.10～0，相交點(diǎn)為100 s，與實(shí)際最大時(shí)延上界為6 ms的控制情況一致，說(shuō)明使用該方法反饋控制效果較好。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種用于求解具有平均停留時(shí)間的切換離散線性內(nèi)容的降階控制律，將控制問(wèn)題引入到綜合控制問(wèn)題中，并在統(tǒng)一的框架下建立了具有保證穩(wěn)定性和最佳加權(quán)增益性能的降階控制器。