道路土石方調(diào)配數(shù)學(xué)模型與方案精細(xì)度研究

劉廣鑫，曾凡云，唐俊成

（中國電建集團(tuán)中南勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，湖南 長沙 410014）

0 前 言

土石方調(diào)配是土木工程中的重要環(huán)節(jié)，尤其在水電工程、道路工程中土石方調(diào)配方案的優(yōu)劣對(duì)工程的經(jīng)濟(jì)性產(chǎn)生了重要的作用。土石方調(diào)配問題主要針對(duì)工程項(xiàng)目在施工過程中產(chǎn)生的土石開挖、填筑量進(jìn)行最優(yōu)分配。過程中涉及土石料的利用率、各區(qū)域之間的運(yùn)距、取棄土場(chǎng)的位置等一系列問題。

土石方最優(yōu)調(diào)配的現(xiàn)有研究成果多針對(duì)于水電工程項(xiàng)目，道路工程方向研究較少，且多延續(xù)水電工程項(xiàng)目的做法，適用性不強(qiáng)。道路工程中的土石方調(diào)配由于其工程的線性特點(diǎn)，路線較長，土石方調(diào)配方案更為重要。同時(shí)，由于道路工程全線的土石分布情況較為復(fù)雜，對(duì)土石料的分類要求和利用要求更為嚴(yán)格，土石方的調(diào)配問題有其獨(dú)特性。

國內(nèi)外對(duì)土石方最優(yōu)調(diào)配的研究側(cè)重于水電工程的土石壩土方平衡問題，研究方法以線性規(guī)劃建立數(shù)學(xué)模型為主。天津大學(xué)的胡程順、鐘登華等對(duì)土石壩的最優(yōu)調(diào)配問題進(jìn)行總結(jié)［1］，并提出了通用性較強(qiáng)的土石壩最優(yōu)調(diào)配數(shù)學(xué)模型。申明亮等針對(duì)堆石壩施工中的料物分配做了深入研究［2］，并編寫了調(diào)配軟件［3］。鄭霞忠等以實(shí)際項(xiàng)目為依托，研究建立了針對(duì)性較強(qiáng)的線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型［4］，并在項(xiàng)目中進(jìn)行了應(yīng)用。曹生榮等從水電項(xiàng)目中的道路工程土石方調(diào)配問題切入，提出了數(shù)學(xué)模型和工程應(yīng)用［5］。以上學(xué)者在研究過程中，針對(duì)土石壩的土方平衡均提出了數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型在總體一致的基礎(chǔ)上，各有側(cè)重。道路工程由于其特殊性，其土石方最優(yōu)調(diào)配的線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型也有其特殊性。

綜合以上研究成果，道路工程中的土石方最優(yōu)調(diào)配問題沒有針對(duì)性強(qiáng)、適用性強(qiáng)的研究成果可以應(yīng)用［6～10］，以上成果多源自水電工程項(xiàng)目，道路工程的特性不明顯，其數(shù)學(xué)模型未能綜合考慮道路工程中的土石分類、利用率等多種因素。研究成果多為書面形式，數(shù)學(xué)模型的求解部分未能提出重復(fù)利用的工具性成果，沒有適用性較強(qiáng)的軟件程序可以使用。

1 道路土石方調(diào)配數(shù)學(xué)模型

1.1 工程特點(diǎn)分析

為構(gòu)建具有道路工程特點(diǎn)的土石方最優(yōu)調(diào)配數(shù)學(xué)模型，首先針對(duì)道路工程土石方調(diào)配問題的特點(diǎn)進(jìn)行分析。將道路工程土石方調(diào)配的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，考慮到數(shù)學(xué)模型中。

道路工程由于其線性的特點(diǎn)，在土石方調(diào)配的過程中，一般考慮的土石種類較多，會(huì)根據(jù)各種土石類別分別計(jì)算松方系數(shù)和土石利用率，除工程項(xiàng)目自身的填挖方量外，沿線布置的取土場(chǎng)、棄土場(chǎng)同樣要考慮各類土石的松方系數(shù)和土石利用率。需首先將此類問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。

本研究在建立土石方最優(yōu)調(diào)配的數(shù)學(xué)模型時(shí)，部分摒棄了以往研究成果中的數(shù)學(xué)假定。例如，由于道路工程中在進(jìn)行土石方調(diào)配之前取、棄土場(chǎng)的容量已經(jīng)確定，所以摒棄掉以往研究成果中料場(chǎng)容量無限大的數(shù)學(xué)假定；道路工程中的土石料進(jìn)行了詳細(xì)的土石種類劃分，確定了各類土石的土石松方系數(shù)和土石利用率，所以摒棄掉以往研究成果中關(guān)于料場(chǎng)可滿足任意級(jí)配要求的數(shù)學(xué)假定；道路工程中要求整個(gè)項(xiàng)目滿足填挖平衡，即所有的填缺區(qū)域需要填滿，所有的挖余區(qū)域都要被使用或者棄置，所以摒棄掉以往研究結(jié)果中關(guān)于不考慮開挖料及中轉(zhuǎn)料場(chǎng)的棄渣的部分。

綜合道路工程土石方調(diào)配中的特點(diǎn)，結(jié)合道路工程中的土石方調(diào)配問題中各類土石的松方系數(shù)［11］、土石成分［12］、利用率等幾個(gè)較為特殊的邊界條件，建立了可應(yīng)對(duì)各種情況的道路土石方調(diào)配數(shù)學(xué)模型。

1.2 建立數(shù)學(xué)模型

模擬一個(gè)完整的道路土石方調(diào)配過程：考慮路基設(shè)計(jì)方案中有m個(gè)挖方區(qū)域，其體積為W1～Wm；n個(gè)填方區(qū)域，其體積為T1～Tn；r個(gè)取土場(chǎng)，其可用體積為Q1～Qr；s個(gè)棄土場(chǎng)，其容量為D1～Ds（如圖1所示）。在調(diào)配過程中考慮土石成分、松方系數(shù)等條件的挖方折減系數(shù)awij、填方折減系數(shù)atij。在上述邊界條件下，已知土石調(diào)配的運(yùn)距為cij，求解最優(yōu)調(diào)配方案xij，以達(dá)到整個(gè)項(xiàng)目調(diào)配的總運(yùn)距最小等優(yōu)化目標(biāo)。

圖1 土石方調(diào)配邊界條件示意

這一問題可看成典型的產(chǎn)銷平衡問題，適合利用線性規(guī)劃的方法進(jìn)行數(shù)學(xué)建模與求解，將此問題抽象為線性規(guī)劃矩陣模型，如圖2所示。

圖2 土石方調(diào)配問題對(duì)應(yīng)的線性規(guī)劃矩陣示意

1.2.1 目標(biāo)函數(shù)

本數(shù)學(xué)模型按照道路工程傳統(tǒng)上運(yùn)距最優(yōu)的目標(biāo)為例，目標(biāo)函數(shù)如式（1）所示：

式中：Cij表示由第i個(gè)土石來源區(qū)域調(diào)配到第j個(gè)土石目標(biāo)區(qū)域的運(yùn)距；xij為第i個(gè)土石來源區(qū)域調(diào)配到第j個(gè)目標(biāo)區(qū)域的土石總方量。

1.2.2 約束條件

根據(jù)道路工程土石方調(diào)配的要求可抽象出4個(gè)約束條件：為挖方約束、為填方約束、為取土場(chǎng)約束、為棄土場(chǎng)約束，如式（2）所示：

式中：aw、at表示土石體積修正系數(shù)；xij表示調(diào)配土石料的體積；Wi表示挖方區(qū)域土石料總體積；Tj表示填方區(qū)域所需的土石料總體積；Qi表示取土場(chǎng)的土石料總體積；Di表示棄土場(chǎng)的土石料容量的總體積。

1.2.3 軟件設(shè)計(jì)

本研究同時(shí)編寫了土石方自動(dòng)調(diào)配軟件，可以識(shí)別現(xiàn)有道路設(shè)計(jì)軟件的土石方基礎(chǔ)數(shù)據(jù)文件格式，軟件核心算法采用的1.2中建立的數(shù)學(xué)模型，包含了數(shù)據(jù)前處理、求解、數(shù)據(jù)后處理3部分。

（1）數(shù)據(jù)前處理。根據(jù)道路工程項(xiàng)目信息，讀取數(shù)學(xué)模型求解所需要的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)進(jìn)行前處理，包括項(xiàng)目全線填挖區(qū)域的方量、各類土石的土石成分以及項(xiàng)目上已經(jīng)確定的土石松方系數(shù)。

（2）求解。軟件采用開源數(shù)學(xué)庫glpk進(jìn)行數(shù)學(xué)求解，通過求解器快速求解出方程組在可行域內(nèi)的最優(yōu)解，具體如下：

（3）數(shù)據(jù)后處理。根據(jù)數(shù)據(jù)前處理的運(yùn)算過程解析出調(diào)配方案，將調(diào)配方案結(jié)存儲(chǔ)到數(shù)據(jù)庫，方便后期查看、出表等。

2 方案精細(xì)度優(yōu)化

2.1 方案精細(xì)度分析

國內(nèi)外現(xiàn)有的相關(guān)研究，幾乎沒有對(duì)土石方調(diào)配數(shù)學(xué)模型的最優(yōu)解進(jìn)行分析。本研究從實(shí)際項(xiàng)目出發(fā)，最終結(jié)果需要應(yīng)用到實(shí)際工程中去，所以對(duì)數(shù)學(xué)模型求出的最優(yōu)解進(jìn)行了分析。

本節(jié)以某道路工程項(xiàng)目為例，采用本研究建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行最優(yōu)解計(jì)算，進(jìn)行分析。工程為某省道項(xiàng)目的一段，全長約4.8km，道路橫斷面采用公路二級(jí)標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)。在數(shù)據(jù)前處理中，根據(jù)線性規(guī)劃方程求得的最優(yōu)解——二維數(shù)組xij繪制3D堆積條狀圖，如圖3所示。i軸表示數(shù)學(xué)模型的下標(biāo)i；j軸表示數(shù)學(xué)模型的下標(biāo)j，xij表示土石方量，m3。由于全線范圍內(nèi)的解為474×478的數(shù)組，共有474個(gè)挖方區(qū)域Wi和478個(gè)填方區(qū)域Ti，數(shù)據(jù)量巨大。本節(jié)主要研究最優(yōu)調(diào)配方案的實(shí)際項(xiàng)目可行性，注重最優(yōu)調(diào)配方案的細(xì)節(jié)，所以圖3僅截取其中的0～1.5km的結(jié)果進(jìn)行局部分析。

根據(jù)圖3所示，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型計(jì)算出的純數(shù)學(xué)解具有明顯的數(shù)學(xué)特點(diǎn)，即：碎片化。這種碎片化特點(diǎn)在圖4的局部細(xì)節(jié)放大圖中更易觀察。

圖3 自動(dòng)調(diào)配方案3D堆積條狀圖（局部）

圖4 局部細(xì)節(jié)放大示意

如圖4所示，以0≤i≤15為例，每一處i區(qū)域的土石料被細(xì)碎的分散成0.1～1m3調(diào)配至多個(gè)j區(qū)域。這在數(shù)學(xué)角度是可以理解的，最優(yōu)解的情況可以是離散的、碎片的。但從工程角度，這種最優(yōu)解是不可取的，將某一挖方區(qū)域的土石方分成細(xì)散的幾十個(gè)甚至上百個(gè)部分，分別調(diào)配到不同區(qū)域，這在人力物力調(diào)度角度是不現(xiàn)實(shí)的。

2.2 數(shù)學(xué)模型優(yōu)化

為了利用本數(shù)學(xué)模型的最優(yōu)解，同時(shí)解決最優(yōu)解的離散性問題。本研究針對(duì)道路工程土石方調(diào)配的實(shí)際情況提出了方案精細(xì)度P的概念。

方案精細(xì)度P指實(shí)際項(xiàng)目中根據(jù)土石方調(diào)配使用的交通工具、人力等實(shí)際因素確定的調(diào)配方案xij精細(xì)程度。基于方案精細(xì)度P對(duì)本文建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行優(yōu)化，采用整數(shù)規(guī)劃。將計(jì)算所需的土方數(shù)據(jù)基于P整數(shù)化。

以2.1中的工程項(xiàng)目為例，首先根據(jù)項(xiàng)目實(shí)際情況確定方案精細(xì)度P（一般取項(xiàng)目使用運(yùn)土車的容量，如10m3），對(duì)調(diào)配過程基于P進(jìn)行優(yōu)化處理，該處理僅對(duì)基礎(chǔ)土石數(shù)據(jù)進(jìn)行合并，未影響土石數(shù)據(jù)的精確性。采用glpk整數(shù)規(guī)劃求解器進(jìn)行求解后，得到與圖3相同區(qū)域的優(yōu)化后自動(dòng)調(diào)配方案3D堆積條狀圖（局部），如圖5所示。

由圖5可見，優(yōu)化后的調(diào)配方案不再有碎片化的缺點(diǎn)，調(diào)配方案的xij均為方案精細(xì)度P（本例為10m3）的整數(shù)倍，且調(diào)配方案更加整體化，可以直接應(yīng)用于實(shí)際項(xiàng)目的土石方調(diào)配工作中，大大增加了最優(yōu)調(diào)配方案的適用性。

圖5 優(yōu)化后自動(dòng)調(diào)配方案3D堆積條狀圖（局部）

綜合以上幾點(diǎn)，證明方案精細(xì)度優(yōu)化后的數(shù)學(xué)模型既可以快速地生成優(yōu)于手動(dòng)調(diào)配的最優(yōu)調(diào)配方案，又可直接將調(diào)配方案應(yīng)用于實(shí)際項(xiàng)目。

3 工程實(shí)例應(yīng)用

為驗(yàn)證本數(shù)學(xué)模型的適用性，針對(duì)多個(gè)道路工程項(xiàng)目進(jìn)行了傳統(tǒng)的土石方手動(dòng)調(diào)配，形成調(diào)配方案。同時(shí)采用優(yōu)化后的數(shù)學(xué)模型，利用本研究編寫的土石方自動(dòng)調(diào)配軟件進(jìn)行自動(dòng)調(diào)配，形成了自動(dòng)調(diào)配方案。將手動(dòng)調(diào)配方案和自動(dòng)調(diào)配方案進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果見表1。

表1中6個(gè)道路工程項(xiàng)目道路包含了多種道路等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，項(xiàng)目均在可行性研究階段確定了取棄土場(chǎng)的位置和容量。通過6個(gè)道路工程項(xiàng)目的手動(dòng)調(diào)配與自動(dòng)調(diào)配的方案對(duì)比結(jié)果得出結(jié)論：

表1 實(shí)際項(xiàng)目土石方調(diào)配方案對(duì)比

（1）本研究建立并優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型完美地適用于表中6個(gè)項(xiàng)目的土石方調(diào)配問題。

（2）相比于手動(dòng)調(diào)配，自動(dòng)調(diào)配無論在操作上還是用時(shí)上都大大地提高了效率，提高的效率在數(shù)量上與路線的長度呈正相關(guān)。

（3）本數(shù)學(xué)模型求得的最優(yōu)解相比于傳統(tǒng)手動(dòng)調(diào)配方案更經(jīng)濟(jì)，降低了土石方調(diào)配的費(fèi)用。

4 結(jié) 論

（1）結(jié)合道路工程特點(diǎn)，建立土石方最優(yōu)調(diào)配數(shù)學(xué)模型。模型考慮了多個(gè)線性工程中特有的問題：土石分類、松方系數(shù)、土石利用率等。在道路工程領(lǐng)域適用性較高，可以處理現(xiàn)有工程中的各種實(shí)際問題。

（2）土石方自動(dòng)調(diào)配軟件是基于本研究建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行編寫設(shè)計(jì)的，已經(jīng)在多個(gè)道路工程實(shí)際項(xiàng)目中進(jìn)行應(yīng)用。通過與手動(dòng)調(diào)配方案對(duì)比，大幅度減少了土石方調(diào)配的耗時(shí)，降低了土石方調(diào)配的成本。

（3）針對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了方案精細(xì)度優(yōu)化。未優(yōu)化的原始方案是碎片化的，離散性較高，直接應(yīng)用于道路工程項(xiàng)目的土石方調(diào)配中是不現(xiàn)實(shí)的。結(jié)合實(shí)際項(xiàng)目對(duì)方案精細(xì)性進(jìn)行分析，提出了方案精細(xì)度P的概念，對(duì)原有數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了精細(xì)度優(yōu)化。通過設(shè)置方案精細(xì)度P，提高了自動(dòng)調(diào)配方案在實(shí)際項(xiàng)目中的適用性，使調(diào)配方案可直接應(yīng)用于實(shí)際道路工程項(xiàng)目。