考慮碳排放的多產(chǎn)品競(jìng)爭(zhēng)設(shè)施選址問(wèn)題研究

劉偉偉 王明征 胡祥培

(1.大連理工大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,遼寧大連 116024;2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,山東威海 264209;3.浙江大學(xué)管理學(xué)院,浙江杭州 310058)

1 引言

設(shè)施選址問(wèn)題研究的是企業(yè)如何選擇合適的位置開設(shè)設(shè)施,當(dāng)為顧客提供產(chǎn)品或服務(wù)時(shí),使其總利潤(rùn)達(dá)到最大.設(shè)施選址決策作為企業(yè)的長(zhǎng)期戰(zhàn)略,是企業(yè)生存根本之所在[1].經(jīng)典的選址模型,例如覆蓋問(wèn)題、p-中值問(wèn)題和無(wú)容量設(shè)施選址問(wèn)題,均基于空間壟斷的假設(shè),即企業(yè)是市場(chǎng)的唯一參與者[2,3].然而,該假設(shè)在諸多實(shí)際問(wèn)題中并不成立,例如加油站、超市和快遞門店等設(shè)施的選址中,在新設(shè)施進(jìn)入市場(chǎng)之前,通常已有一個(gè)或多個(gè)競(jìng)爭(zhēng)設(shè)施存在.由于新企業(yè)未進(jìn)入市場(chǎng)前,該行業(yè)產(chǎn)品供需是平衡的.新企業(yè)一旦進(jìn)入,將與對(duì)手競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)份額,勢(shì)必會(huì)打破原有平衡,形成新的市場(chǎng)均衡價(jià)格、產(chǎn)品交易量和生產(chǎn)量,達(dá)到新的平衡狀態(tài)[4].因此,在設(shè)施選址問(wèn)題中考慮到競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的反應(yīng)尤為重要.

競(jìng)爭(zhēng)選址,研究的即為競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下的選址問(wèn)題[5].20 世紀(jì)80 年代后,競(jìng)爭(zhēng)選址逐漸成為選址領(lǐng)域的熱點(diǎn)問(wèn)題,得到了較為廣泛的研究[6?8].作為競(jìng)爭(zhēng)選址問(wèn)題的一種,帶預(yù)見性的競(jìng)爭(zhēng)是指企業(yè)在進(jìn)入市場(chǎng)之前,已經(jīng)考慮到競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手會(huì)緊隨其后進(jìn)入市場(chǎng).此類問(wèn)題被描述為Stackelberg 博弈[9],即雙寡頭壟斷市場(chǎng)的主從博弈.在該博弈中,有兩個(gè)行動(dòng)者(稱為領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者)相繼進(jìn)行決策.領(lǐng)導(dǎo)者預(yù)料跟隨者的反應(yīng),制定自己的最優(yōu)決策;跟隨者在觀測(cè)到領(lǐng)導(dǎo)者的決策之后制定自己的最優(yōu)決策.Hakimi[10]首次將這個(gè)模型引入到選址領(lǐng)域,領(lǐng)導(dǎo)者將跟隨者的最優(yōu)反應(yīng)納入到?jīng)Q策過(guò)程中,并采取最小最大策略來(lái)維護(hù)自己的利益.Miller等[11]研究了寡頭壟斷企業(yè)的選址及市場(chǎng)均衡集成問(wèn)題.Fischer 等[12]根據(jù)序列行動(dòng)和運(yùn)輸價(jià)格固定與否對(duì)雙寡頭競(jìng)爭(zhēng)選址問(wèn)題進(jìn)行研究并提出兩種模型.

近年來(lái),隨著全球?qū)μ紲p排的日益關(guān)注,政府及消費(fèi)者都在迫使企業(yè)減少碳排放[13].許多國(guó)家制定了政策和法律法規(guī)來(lái)約束碳排放量.廠商要想擔(dān)負(fù)起應(yīng)有的社會(huì)責(zé)任、保持競(jìng)爭(zhēng)地位,著重考慮碳排放勢(shì)在必行[14].如何實(shí)現(xiàn)碳減排以及評(píng)估實(shí)施碳減排對(duì)企業(yè)績(jī)效產(chǎn)生的影響成為當(dāng)今企業(yè)普遍關(guān)注的關(guān)鍵問(wèn)題之一.Wu 等[15]認(rèn)為運(yùn)輸是物流系統(tǒng)中環(huán)境污染的最大來(lái)源.Elhedhli 等[16]指出,通過(guò)策略上合理安排設(shè)施的位置,減少車輛的出行距離,可以對(duì)國(guó)家碳足跡的減少起到重要作用.由此,將碳排放約束應(yīng)用于企業(yè)的選址決策中,對(duì)于低碳可持續(xù)發(fā)展,具有廣泛的現(xiàn)實(shí)意義.目前,諸多研究已關(guān)注碳排放[17?22],但在設(shè)施選址問(wèn)題中納入環(huán)境因素的研究尚不十分豐富[23],在競(jìng)爭(zhēng)設(shè)施選址問(wèn)題中考慮碳排放的研究更是相對(duì)較少.Ghaddar 等[4]在政府的碳交易機(jī)制下研究了雙寡頭壟斷企業(yè)的競(jìng)爭(zhēng)設(shè)施選址問(wèn)題,考慮了運(yùn)輸產(chǎn)生的碳排放,目標(biāo)為企業(yè)利潤(rùn)最大化,但他們針對(duì)的是單一產(chǎn)品.

眾所周知,顧客對(duì)服務(wù)與產(chǎn)品的需求往往不是單一的.隨著企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)的多元化,企業(yè)已向顧客提供多種替代和/或者互補(bǔ)產(chǎn)品.由于產(chǎn)品之間存在著替代或者互補(bǔ)關(guān)系,一種產(chǎn)品的價(jià)格會(huì)對(duì)另一種產(chǎn)品的需求量產(chǎn)生影響,甚至當(dāng)一種產(chǎn)品的價(jià)格高至其需求為零時(shí),該產(chǎn)品仍然對(duì)其它產(chǎn)品的需求產(chǎn)生影響,所以產(chǎn)品的需求量不僅受到自身價(jià)格的影響,也受到其它產(chǎn)品價(jià)格的影響[24].企業(yè)在設(shè)施選址時(shí)考慮到產(chǎn)品之間的替代或者互補(bǔ)關(guān)系具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.如何將產(chǎn)品之間的替代或者互補(bǔ)關(guān)系及政府的碳排放政策融入競(jìng)爭(zhēng)設(shè)施選址問(wèn)題中為企業(yè)制定出最優(yōu)的設(shè)施選址策略,以實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化,是本文解決的主要問(wèn)題.由此,本文探討了碳交易機(jī)制下的雙寡頭壟斷企業(yè)的競(jìng)爭(zhēng)設(shè)施選址問(wèn)題,將運(yùn)輸碳排放及多種產(chǎn)品之間的替代或互補(bǔ)關(guān)系考慮在內(nèi).

多產(chǎn)品的需求-價(jià)格關(guān)系是選址決策制定的關(guān)鍵.產(chǎn)品之間替代或者互補(bǔ)關(guān)系的存在導(dǎo)致了需求-價(jià)格關(guān)系極其復(fù)雜,因此現(xiàn)有選址文獻(xiàn)普遍采用僅在某個(gè)區(qū)域上有定義的需求函數(shù),如線性需求函數(shù).Soon等[24]通過(guò)實(shí)例論證了基于該類型的需求函數(shù)制定的決策可能是次優(yōu)決策,表明了基于定義于整個(gè)非負(fù)價(jià)格區(qū)域上的需求函數(shù)制定最優(yōu)決策的必要性.現(xiàn)有文獻(xiàn)主要有兩種定義于整個(gè)非負(fù)價(jià)格區(qū)域上的需求函數(shù)：一種是利用單片可微函數(shù)近似需求,如Cobb-Douglas函數(shù)[25]和Logit 函數(shù)[26].該類型的函數(shù)形式上簡(jiǎn)單易處理,卻不能反映真實(shí)市場(chǎng).例如,在Cobb-Douglas 模型中會(huì)出現(xiàn)當(dāng)其它產(chǎn)品價(jià)格上升,產(chǎn)品的需求量趨于無(wú)限大的情形;一種是利用分片光滑函數(shù)近似需求,如Boyer 等[27]和Kubler 等[28],但它們具有與第一種函數(shù)類似的不可取的特性.Soon 等[24]提出了一個(gè)分片光滑的多產(chǎn)品需求函數(shù)–互補(bǔ)需求函數(shù),該函數(shù)能精確刻畫整個(gè)非負(fù)價(jià)格區(qū)域上的需求,且具有如單調(diào)性等從經(jīng)濟(jì)管理角度可取的性質(zhì).為了制定全局最優(yōu)選址決策,本文基于互補(bǔ)需求函數(shù)研究考慮碳排放的多產(chǎn)品競(jìng)爭(zhēng)設(shè)施選址問(wèn)題.目前僅有Federgruen 等[29?31]基于互補(bǔ)需求函數(shù)進(jìn)行研究,但他們針對(duì)產(chǎn)品定價(jià),不涉及設(shè)施選址.

由上述分析,本文將能夠反映市場(chǎng)情況的互補(bǔ)需求函數(shù)引入多產(chǎn)品競(jìng)爭(zhēng)設(shè)施選址問(wèn)題中,以此融入了多種產(chǎn)品之間的替代和/或者互補(bǔ)關(guān)系.基于互補(bǔ)需求函數(shù),建立了考慮碳排放的多產(chǎn)品競(jìng)爭(zhēng)設(shè)施選址模型,為雙層規(guī)劃,是強(qiáng)NP-hard 問(wèn)題;為了有效求解該問(wèn)題,利用Karush-Kuhn-Tucker 條件、大M 方法和McCormick 外逼近方法將雙層規(guī)劃轉(zhuǎn)化為有界閉集上的0-1 混合整數(shù)凹規(guī)劃,極大地降低了問(wèn)題的求解難度,并提出具有全局收斂性的分支提升算法;通過(guò)對(duì)數(shù)值結(jié)果的討論分析,本文為低碳可持續(xù)環(huán)境下的企業(yè)運(yùn)營(yíng)提供了決策參考.

2 考慮碳排放的多產(chǎn)品競(jìng)爭(zhēng)設(shè)施選址模型

2.1 問(wèn)題描述

考慮兩家制造企業(yè).企業(yè)F 已建立b(≥1)處設(shè)施生產(chǎn)并向n(≥1)個(gè)顧客點(diǎn)提供其所需的l(≥2)種產(chǎn)品(產(chǎn)品之間存在替代或者互補(bǔ)關(guān)系).企業(yè)L 打算進(jìn)入市場(chǎng)與企業(yè)F 競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)份額,因此需要從m(≥1)處備選設(shè)施中確定開設(shè)的設(shè)施.每處潛在設(shè)施均有能力生產(chǎn)此l種產(chǎn)品,且均可將產(chǎn)品運(yùn)輸?shù)礁鱾€(gè)顧客需求點(diǎn),運(yùn)輸產(chǎn)品的過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生碳排放.本文考慮政府的碳交易機(jī)制,即政府對(duì)企業(yè)L 和企業(yè)F 分別規(guī)定碳限額EL和EF,當(dāng)碳排放量超過(guò)EL(EF)時(shí),企業(yè)L(F)可以從碳交易市場(chǎng)上購(gòu)買其所需的份額;當(dāng)碳排放量低于EL(EF)時(shí),企業(yè)L(F)可以將多余的份額在碳交易市場(chǎng)上賣出,獲取部分收益.

企業(yè)L 和企業(yè)F 之間是Stackelberg 博弈,企業(yè)L 為領(lǐng)導(dǎo)者,企業(yè)F 為追隨者.Stackelberg[32]最早引入該博弈,之后出現(xiàn)了諸多擴(kuò)展[33,34].企業(yè)L 預(yù)測(cè)企業(yè)F 的反應(yīng),確定開設(shè)的設(shè)施、設(shè)施到顧客點(diǎn)的產(chǎn)品運(yùn)輸量及產(chǎn)品的價(jià)格策略,以實(shí)現(xiàn)自身利潤(rùn)最大化.企業(yè)F 在觀察到企業(yè)L 的決策后,確定已建立設(shè)施到顧客點(diǎn)的產(chǎn)品運(yùn)輸量策略,以實(shí)現(xiàn)自身利潤(rùn)最大化.

2.2 模型建立

本文假設(shè)對(duì)于任意,非線性互補(bǔ)問(wèn)題的解唯一且∈?,該假設(shè)成立的具體條件見3.1節(jié).

由于諸多理論模型和實(shí)證研究中普遍采用仿射結(jié)構(gòu),因此本文針對(duì)給定的需求函數(shù)dj(p)為線性需求函數(shù)的情形進(jìn)行分析.線性需求函數(shù)dj(p)的具體形式為

表1 符號(hào)說(shuō)明Table 1 Symbol description

基于以上介紹,企業(yè)F 的利潤(rùn)最大化模型為(aF)

企業(yè)L 的利潤(rùn)最大化模型為(aL)

企業(yè)L 和F 的優(yōu)化模型構(gòu)成雙層規(guī)劃模型,上層是企業(yè)L 的優(yōu)化模型(aL),下層是企業(yè)F 的優(yōu)化模型(aF),這即為本文所建立的考慮碳排放的多產(chǎn)品競(jìng)爭(zhēng)設(shè)施選址模型.上層模型(aL)為帶均衡約束的0-1 混合整數(shù)二次規(guī)劃,下層模型(aF)為帶均衡約束的二次規(guī)劃,且兩個(gè)模型的目標(biāo)函數(shù)中均含有非線性程度高的雙線性函數(shù),求解異常復(fù)雜,為強(qiáng)NP-hard 問(wèn)題[37].

3 模型分析

為了提出有效的求解算法,本節(jié)對(duì)雙層規(guī)劃模型進(jìn)行分析.3.1 節(jié)將雙層規(guī)劃等價(jià)轉(zhuǎn)化為單層規(guī)劃;3.2節(jié)利用大M 方法將均衡約束等價(jià)轉(zhuǎn)化為線性約束;3.3 節(jié)通過(guò)利用McCormick 外逼近方法將目標(biāo)函數(shù)中的雙線性函數(shù)線性化,將模型轉(zhuǎn)化為有界閉集上的0-1 混合整數(shù)凹規(guī)劃.

3.1 雙層規(guī)劃到單層規(guī)劃的等價(jià)轉(zhuǎn)化

企業(yè)F 的最優(yōu)決策,即模型(aF)的最優(yōu)解可由Karush-Kuhn-Tucker(KKT)條件刻畫,即

其中變量ρjk和σqk分別為對(duì)應(yīng)于約束(2)和約束(3)的對(duì)偶變量.

由此,雙層規(guī)劃模型可以轉(zhuǎn)化為如下單層規(guī)劃模型(b)

若dj(p)為線性函數(shù),則線性互補(bǔ)問(wèn)題存在唯一解(即均衡約束(17)有唯一解)的充分必要條件是Aj是P矩陣[24].由此,本文余下部分假定為P矩陣1.

將模型(b)中的約束(6)和約束(13)替換為式(16)～式(18),得到如下等價(jià)模型(c)

將雙層規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單層規(guī)劃,求解難度在一定程度上有所降低,但此等價(jià)模型包含更多的均衡約束,即式(12),式(14),式(17)～式(18),且其目標(biāo)函數(shù)中有雙線性函數(shù),仍為強(qiáng)NP-hard 問(wèn)題[38],求解難度仍不低.

3.2 均衡約束的等價(jià)轉(zhuǎn)化

帶均衡約束的優(yōu)化問(wèn)題一般難以求解,因?yàn)槠淇尚杏蚍峭股踔敛贿B通.現(xiàn)實(shí)生活中,由于顧客對(duì)產(chǎn)品的需求量是有限的,所以(?k ∈K)有上界.本節(jié)利用大M 方法[4],通過(guò)引入統(tǒng)一的系數(shù)M 及二進(jìn)制變量,分別將均衡約束(12),約束(14),約束(17)～約束(18)等價(jià)轉(zhuǎn)化為線性約束,得到如下模型(d)

相比模型(b)的等價(jià)模型(c),模型(d)中不再含有均衡約束,結(jié)構(gòu)更加明確,為帶線性約束的0-1 混合整數(shù)二次規(guī)劃.由于均衡約束的等價(jià)轉(zhuǎn)化,則模型(c)與模型(d)是等價(jià)的.因此,可用求解模型(d)取代求解模型(b).注意到模型(d)的約束均為線性約束,則其約束集已為有界閉集,進(jìn)一步分析模型(d)的目標(biāo)函數(shù),有下面的結(jié)論.

命題1模型(d)的目標(biāo)函數(shù)不是凹函數(shù).

命題1 的證明見附錄.

為便于模型分析,將dj(p)的具體形式代入約束(16),約束(23)和約束(26)中,得到如下等價(jià)模型(e)

3.3 混合整數(shù)非凹規(guī)劃到凹規(guī)劃的轉(zhuǎn)化

引理1滿足Lx≤x≤Ux(Lx

確定的包絡(luò)wxy.

與模型(e)相比,模型(f)目標(biāo)函數(shù)中非線性項(xiàng)僅有. 此時(shí)進(jìn)一步分析模型(f),有下列結(jié)論.

定理1模型(f)的目標(biāo)函數(shù)為凹函數(shù).

證明目標(biāo)函數(shù)中的非線性項(xiàng)為二次項(xiàng),其余項(xiàng)均為線性項(xiàng).由于此二次函數(shù)是凹函數(shù),從而目標(biāo)函數(shù)為凹函數(shù)2雖然均導(dǎo)致模型(e)目標(biāo)函數(shù)非凹,但當(dāng) 被其McCormick 包絡(luò)代替后,模型(f)的目標(biāo)函數(shù)已變?yōu)榘己瘮?shù). 因此本節(jié)僅對(duì) 線性化而未再對(duì)線性化.. 證畢.

通過(guò)上述分析,求解帶均衡約束的0-1 混合整數(shù)二次規(guī)劃(b),取而代之地求解有界閉集上的0-1 混合整數(shù)凹規(guī)劃(f)即可,這極大程度地降低了問(wèn)題的求解難度.

4 分支提升算法

相比原問(wèn)題,模型(f)由于約束及引入的0-1 變量的增多,其規(guī)模更大.針對(duì)大規(guī)模0-1 混合整數(shù)凹規(guī)劃(f),本節(jié)在分支定界的過(guò)程中通過(guò)不斷更新McCormick 不等式產(chǎn)生更緊的外逼近來(lái)提升求解效率,由此稱所提出的算法為分支提升算法.

4.1 分支和剪枝規(guī)則

為方便起見,本文求解與凹規(guī)劃(f)等價(jià)的凸規(guī)劃,記為(f′),其目標(biāo)函數(shù)為模型(f)的相反數(shù).記向量,i ∈I,j ∈J,q ∈Q,k ∈K及Ψ={ψ:Lψ≤ψ≤Uψ},其中Lψ和Uψ分別表示ψ各分量的下界和上界所組成的列向量.記向量?=(z1,z2,...,zm),及Φ=[0,1]m,由于?的各分量均為0-1 變量,所以其下界均為0,上界均為1.

從求解模型(f′)的連續(xù)松弛問(wèn)題（即拋棄整數(shù)要求）開始.如果松弛問(wèn)題不可行,則原問(wèn)題不可行.否則,選擇一個(gè)變量進(jìn)行分支,產(chǎn)生兩個(gè)子問(wèn)題.在算法進(jìn)行過(guò)程中,不斷求解子問(wèn)題,并通過(guò)分支添加新的子問(wèn)題.當(dāng)不再產(chǎn)生子問(wèn)題時(shí),算法終止.令LPR(Ψκ,Φκ)表示子問(wèn)題的連續(xù)松弛,分別為其最優(yōu)解和最優(yōu)函數(shù)值,其中κ代表當(dāng)前結(jié)點(diǎn),Ψκ和Φκ代表當(dāng)前可行解空間.

為保證求解的精確性,不僅對(duì)整數(shù)變量進(jìn)行分支,還對(duì)連續(xù)變量進(jìn)行分支,分支過(guò)程如下:若??的值為分?jǐn)?shù),對(duì)其進(jìn)行分支,即

類似地,對(duì)連續(xù)變量x?在值處進(jìn)行分支,即

在分支過(guò)程中,交替選擇整數(shù)變量和連續(xù)變量進(jìn)行分支.之所以如此操作,是因?yàn)檎麛?shù)變量代表的選址決策與連續(xù)變量代表的定價(jià)與運(yùn)輸量決策之間相互影響.分支變量的類型一旦確定,再?gòu)闹须S機(jī)選擇一個(gè)變量進(jìn)行分支.為了產(chǎn)生更緊的外逼近,每次對(duì)連續(xù)變量進(jìn)行分支后,均在子問(wèn)題中更新McCormick 不等式(34)～式(37).

4.2 算法步驟

基于上述表示,本節(jié)具體描述分支提升算法:

證明(f′)的下界和上界分別由松弛問(wèn)題LPR(Ψκ,Φκ)和NLP(Ψκ,)的最優(yōu)值給定.在可行解空間上找不到更好的解保證了剪枝規(guī)則(即情形1～情形3)的合理性.為保證求解的準(zhǔn)確性,對(duì)整數(shù)變量和連續(xù)變量均進(jìn)行分支.由于整數(shù)變量的數(shù)量是有限的,則對(duì)整數(shù)變量進(jìn)行的分支即為有限步.在對(duì)連續(xù)變量進(jìn)行分支時(shí),通過(guò)在子問(wèn)題中更新McCormick 不等式,由此得到更緊的外逼近.則在有限步之后,(f′)與原問(wèn)題之間的間隙一定小于給定的精度ε.因此,分支提升算法會(huì)在有限步之后收斂至最優(yōu)解. 證畢.

5 算例仿真

5.1 數(shù)據(jù)選取

本文在主頻3.4 GHz 的Intel i7 處理器,8 GB 的運(yùn)行內(nèi)存和64 位的操作系統(tǒng)下運(yùn)行所有算例,在MATLAB 2014a 環(huán)境下執(zhí)行求解的算法.針對(duì)兩種可替代產(chǎn)品,假設(shè)企業(yè)L 的備選設(shè)施、企業(yè)F 的已建立設(shè)施以及顧客點(diǎn)均隨機(jī)生成于(75×75)km2的區(qū)域上,利用歐幾里得范數(shù)衡量設(shè)施與顧客需求點(diǎn)之間的距離.精度ε=10?6,M=1010.算例參數(shù)見表2,其中部分參數(shù)參考文獻(xiàn)[4].

表2 模型參數(shù)Table 2 Model parameters

5.2 選址結(jié)果及分析

由表3,線性需求函數(shù)情形下,企業(yè)L 開設(shè)兩處設(shè)施,并均提供產(chǎn)品1 和產(chǎn)品2,利潤(rùn)為19 963元;互補(bǔ)需求函數(shù)情形下,企業(yè)L 僅開設(shè)設(shè)施1且僅提供產(chǎn)品2,利潤(rùn)為22 501 元,比線性需求函數(shù)情形下的利潤(rùn)增加了12.7%.究其原因,對(duì)比表3 中的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn),兩種需求函數(shù)情形下產(chǎn)品2 的價(jià)格均為380 元,產(chǎn)品1 的價(jià)格在互補(bǔ)需求和線性需求函數(shù)情形下分別為160 元和128 元.這意味著產(chǎn)品1價(jià)格的升高導(dǎo)致產(chǎn)品2的需求增加,而產(chǎn)品2 銷量增加所帶來(lái)的收益要高于線性需求函數(shù)兩處設(shè)施同時(shí)銷售產(chǎn)品1 的收益.發(fā)現(xiàn)d2(p1,p2)=2 400+30p1?20p2<0,即企業(yè)L 的最優(yōu)決策在線性需求函數(shù)限定的價(jià)格區(qū)域之外取到.企業(yè)F 在兩種情形下的供應(yīng)策略在互補(bǔ)需求情形下的利潤(rùn)同樣高于線性需求函數(shù)情形下的利潤(rùn).因此,對(duì)產(chǎn)品價(jià)格進(jìn)行限制進(jìn)行會(huì)導(dǎo)致企業(yè)部分利潤(rùn)的流失,取到“次優(yōu)”決策.進(jìn)一步表明,企業(yè)在制定最優(yōu)決策時(shí)考慮互補(bǔ)需求函數(shù)的必要性,即本文所提模型的合理性和有效性.

表3 最優(yōu)選址、定價(jià)及供應(yīng)量策略Table 3 Optimal location,price and quantity strategies

5.3 碳限額及碳交易對(duì)企業(yè)決策的影響分析

企業(yè)L 在最優(yōu)選址決策下的碳排放量為85.4 kg.以企業(yè)L 為例評(píng)估碳限額對(duì)企業(yè)決策的影響.為了闡明碳限額的影響,考慮禁止碳交易和允許碳交易兩種情形.將企業(yè)L 的碳限額由80 kg 開始依次減少20 kg 直至0,企業(yè)F 的碳限額仍保持在80 kg.對(duì)比禁止碳交易和允許碳交易兩種情形下的結(jié)果,見表4.

表4 禁止碳交易和允許碳交易情形下企業(yè)決策結(jié)果對(duì)比Table 4 Comparison decision results under prohibiting carbon trading and allowing carbon trading

由表4,若政府禁止碳交易,碳限額的減少雖然會(huì)使企業(yè)碳排放量減少,但企業(yè)利潤(rùn)也會(huì)同步減少,這并不利于企業(yè)的發(fā)展.若政府允許碳交易,當(dāng)政府給定的碳限額不足時(shí),企業(yè)總會(huì)從碳交易市場(chǎng)上購(gòu)買所需的碳使總量達(dá)到85.4 kg.有趣地是,企業(yè)并不會(huì)為此付出過(guò)高的代價(jià),甚至當(dāng)政府給定的碳限額為0 時(shí),企業(yè)僅犧牲大約3.63%的利潤(rùn)即可獲得額外所需的碳.由此表明,碳交易機(jī)制的實(shí)施對(duì)于企業(yè)的可持續(xù)經(jīng)營(yíng)以及整個(gè)國(guó)家碳足跡的減少起到了一定的作用,因?yàn)槠髽I(yè)總會(huì)從碳交易市場(chǎng)上購(gòu)買其它企業(yè)多余的碳滿足自身生產(chǎn)活動(dòng),但只需犧牲微博的利潤(rùn)即可,這在一定程度上也減輕了企業(yè)對(duì)碳排放政策實(shí)施的擔(dān)憂.

5.4 算法有效性分析

為了評(píng)估分支提升算法在處理大型選址算例上的表現(xiàn),本節(jié)將分支提升算法與He 等[40]近期提出的一種分支定界算法在處理較大規(guī)模算例的時(shí)間作比較,結(jié)果見表5.

表5 分支提升算法和分支定界算法運(yùn)行時(shí)間對(duì)比Table 5 Comparing the computational time of branch-and-refine algorithm and branch-and-bound algorithm

第1 列代表備選設(shè)施的數(shù)量;第2 列代表已建立設(shè)施的數(shù)量;第3 列代表顧客點(diǎn)的數(shù)量;第4 列和第5列分別表示分支提升算法和分支定界算法的求解時(shí)間.由表5,隨著算例規(guī)模的增大,即備選設(shè)施數(shù)量、已建立設(shè)施數(shù)量和顧客點(diǎn)數(shù)量的增多,求解算例所耗時(shí)間增加.但相比分支定界算法,本文所提的分支提升方法仍具有優(yōu)勢(shì).

6 結(jié)束語(yǔ)

在綠色低碳可持續(xù)背景下,隨著現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展和企業(yè)經(jīng)營(yíng)的多元化,制造多種替代和/或互補(bǔ)產(chǎn)品的企業(yè)在制定選址決策時(shí)預(yù)測(cè)競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的反應(yīng)至關(guān)重要.本文將政府的碳交易機(jī)制和產(chǎn)品之間的替代或者互補(bǔ)關(guān)系融入競(jìng)爭(zhēng)設(shè)施選址問(wèn)題中,建立了考慮碳排放的多產(chǎn)品競(jìng)爭(zhēng)設(shè)施選址模型.針對(duì)模型特征,將其轉(zhuǎn)化為有界閉集上的0-1 混合整數(shù)凹規(guī)劃,并提出具有全局收斂性的分支提升算法.算例仿真結(jié)果表明企業(yè)總會(huì)從碳交易市場(chǎng)上購(gòu)買其它企業(yè)多余的碳滿足自身生產(chǎn)活動(dòng),但只需犧牲微薄的利潤(rùn)即可,這在一定程度上減輕了企業(yè)對(duì)碳排放政策實(shí)施的擔(dān)憂,對(duì)于企業(yè)的可持續(xù)經(jīng)營(yíng)以及整個(gè)國(guó)家碳足跡的減少起到了一定的作用.本文假定顧客的購(gòu)買意愿僅受到產(chǎn)品價(jià)格的影響,實(shí)際上消費(fèi)者在購(gòu)買產(chǎn)品時(shí)會(huì)關(guān)注產(chǎn)品的綠色水平,后續(xù)的研究將進(jìn)一步在設(shè)施選址問(wèn)題中考慮消費(fèi)者的環(huán)境偏好.

附錄 命題1 的證明

一個(gè)矩陣是半正定矩陣的充要條件是該矩陣的所有主子式非負(fù).顯然,該矩陣并不是半正定矩陣,因?yàn)榇嬖谪?fù)的主子式,如第1 行,第2mn+1 行和第1 行,第2mn+1 列構(gòu)成的主子式.所以模型(d)的目標(biāo)函數(shù)并不是凹函數(shù).

證畢.