任意分布的冷備表決系統(tǒng)可靠度求解

胡聽春, 孫宇鋒, 李肖肖, 趙廣燕

(北京航空航天大學可靠性與系統(tǒng)工程學院, 北京 100191)

0 引 言

為提升系統(tǒng)的容錯性和可靠性,一種常見的設(shè)計是增加冗余備件,帶個冷備件的k/n(G)表決系統(tǒng)是一種重要的冗余設(shè)計,記作k/n:M(G)冷備表決系統(tǒng)。冷備表決系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與運行邏輯較為復雜,其可靠度求解多采用仿真法獲得,需借助軟件建模或編寫仿真程序,而解析法則更具有通用性、快速性和易實現(xiàn)性。因此,研究冷備表決系統(tǒng)可靠度解析公式具有實際意義。

k/n(G)表決系統(tǒng)屬于熱儲備系統(tǒng)。傳統(tǒng)的表決系統(tǒng)各部件多采用同型單元,然而在實際工程應(yīng)用中,由于單元件的選用、采購不一致,維修換件等情況,以及復雜機電產(chǎn)品的發(fā)展,非同型單元組成的系統(tǒng)有實際的使用背景。而同型表決系統(tǒng)可看作非同型表決系統(tǒng)的特殊情況,其可靠性已有廣泛的研究成果。文獻[8]分別利用最小路集法和狀態(tài)空間法對非同型表決系統(tǒng)可靠度進行了解算。

冷備件在儲備時不消耗功率,在功率和維修資源有限的情況下,系統(tǒng)通常設(shè)計有冷儲備冗余。對于部件獨立同分布的冷備系統(tǒng),其可靠度分析通常采用狀態(tài)空間法, 但狀態(tài)空間法對于大型系統(tǒng)都存在狀態(tài)爆炸的問題。文獻[13]利用馬爾可夫模型描述指數(shù)分布系統(tǒng)。文獻[14]建立了考慮故障序列直接求解系統(tǒng)可靠度的方法。文獻[15]提出了一種基于計數(shù)過程的解算方法。文獻[16-19]應(yīng)用該方法解算各類冗余系統(tǒng)可靠度,簡化了求解的復雜度。以上工作均針對部件服從同一分布的系統(tǒng)。

表決和冷儲備模型,普遍存在于工業(yè)和軍事領(lǐng)域中,如電力、電子、機械、航空航天等。為保障任務(wù)可靠性需求,系統(tǒng)往往由表決模型和冷儲備模型組合而成,屬于冷、熱儲備混合冗余策略。k/n:M(G)冷備表決系統(tǒng)的定義為:系統(tǒng)中有個部件執(zhí)行中取表決邏輯,且額外存在個冷備件。文獻[23-28]研究了具有一個冷儲備件的同型k/n:M(G)系統(tǒng)。文獻[29]針對帶兩個冷儲備件的同型k/n:M(G)系統(tǒng)剩余壽命進行分析。文獻[30]利用馬爾可夫模型研究了冷、熱備的混合備用策略的可修k/n(G)系統(tǒng)。以上研究均只考慮了一種儲備件替換策略,文獻[31]研究了部件獨立同指數(shù)分布的3/5:2(G)冷備表決系統(tǒng),提出了備件的兩類不同的替換策略。

針對以上研究現(xiàn)狀,發(fā)現(xiàn)存在以下不足:① 現(xiàn)有對于k/n:M(G)冷備表決系統(tǒng)的研究均針對部件獨立同指數(shù)分布的情況,沒有針對部件服從任意不同分布的的情況;② 現(xiàn)有研究中僅文獻[31]考慮了儲備件不同的替換策略,但未考慮工作件非同型分布的情況。因此,本文在不考慮維修的情況下,對工作部件服從非同型任意分布的k/n:M(G)冷備表決系統(tǒng)可靠度的進行解算。

1 k/n:M(G)冷備表決系統(tǒng)模型

系統(tǒng)模型如下:

(1) 系統(tǒng)中共有工作件個,備用件個,當不少于個部件正常工作時系統(tǒng)正常工作;令表示系統(tǒng)累計失效次數(shù),則系統(tǒng)正常工作的條件為0≤≤+-;

(2) 系統(tǒng)各工作件和備用件相互獨立且僅有兩態(tài)(正常和故障);

(3) 表決器及切換裝置不發(fā)生故障,即可靠度為1,且不考慮部件切換時間;

(4) 備件在儲備過程中不發(fā)生失效或劣化。

當=,一旦系統(tǒng)部件失效則冷備件立刻替換,n/n:M(G)冷備表決系統(tǒng)等效為帶個交叉儲備的級串聯(lián)系統(tǒng),記作n/n+M(G)交叉儲備系統(tǒng)。

當<,依據(jù)冷備件的替換原則及特征,可將冷備表決系統(tǒng)定義為兩類,分別定義如下:

(1) Ⅰ類冷備表決系統(tǒng)

初始時刻開始,當任意工作部件故障,備件立即去替換。當最后一個冷備件替換后,剩余個部件組成k/n(G)系統(tǒng)繼續(xù)運行,直到系統(tǒng)故障。

(2) Ⅱ類冷備表決系統(tǒng)

初始時刻系統(tǒng)個部件開始工作,發(fā)生失效到剩個工作件正常時,再有任意工作件故障則冷備件替換。當最后一個冷備件替換后,剩余個部件組成串聯(lián)系統(tǒng)運行,直到系統(tǒng)故障。

為便于區(qū)分備件替換策略不同的兩類系統(tǒng),并與經(jīng)典k/n(G)表決系統(tǒng)相區(qū)別,將上述兩種系統(tǒng)分別記作k/n:M(G1)系統(tǒng)、k/n:M(G2)系統(tǒng)。

2 n/n+M交叉儲備系統(tǒng)的可靠度

根據(jù)工作件的不同,將交叉儲備系統(tǒng)分為同型與非同型系統(tǒng)。在同型系統(tǒng)中,部件獨立同指數(shù)分布的系統(tǒng)可靠度解算存在一種簡化的方法,故在第2.1節(jié)單獨進行討論。服從非指數(shù)分布的同型系統(tǒng)與非同型系統(tǒng)的可靠度解算方法,在第2.2節(jié)進行討論。

2.1 獨立同指數(shù)分布n/n+M交叉儲備系統(tǒng)可靠度

首先,針對部件及儲備件均獨立同指數(shù)分布的n/n+M(G)交叉儲備系統(tǒng)進行研究。系統(tǒng)的壽命可看作+1個獨立同指數(shù)分布的隨機變量之和。則系統(tǒng)可靠度可表示為

(1)

式中:表示工作件和備件的失效率。

2.2 非同型n/n+M交叉儲備系統(tǒng)可靠度

對于非同型n/n+M(G)交叉儲備系統(tǒng),假設(shè)其個工作件服從任意不同分布,儲備件服從任意相同分布。

各組件服從非指數(shù)分布時,系統(tǒng)的工作過程難以用標準的隨機過程進行描述。因此,本文基于計數(shù)過程,將一個系統(tǒng)工作件視為一個邏輯位置。當各工作位置共享備件池且備件同型時,各工作件位置的故障過程可視為相互獨立的。

令表示在工作件位置處剛好有次失效的概率(=1,2,…,),首先需計算出系統(tǒng)各工作件位置發(fā)生0到+1次失效的概率,令:

(2)

令()表示在工作件位置處至少有次失效的概率,則有:

(3)

當=1時,有:

(4)

式中:()和()為系統(tǒng)位置(0<≤)上工作件失效概率密度函數(shù)和不可靠度函數(shù)。

當>1時,令()表示冷備件不可靠度函數(shù),則()為, -1與()的卷積,即

(5)

n/n+M(G)交叉儲備系統(tǒng)正常工作的條件為0≤≤,則系統(tǒng)可靠度如下:

(6)

式中:(=)表示系統(tǒng)失效總次數(shù)為的概率,也可對概率矩陣行向量進行離散數(shù)組卷積求解。

3 k/n:M(G1)系統(tǒng)的可靠度

冷備表決系統(tǒng)分為同型與非同型系統(tǒng),在同型系統(tǒng)中部件服從指數(shù)分布的情況同樣存在簡化的可靠度解算方法,在第31節(jié)進行討論。對于部件服從非指數(shù)分布的同型系統(tǒng)與非同型系統(tǒng),其可靠度解算方法在第32節(jié)進行討論。

3.1 獨立同指數(shù)分布k/n:M(G1)系統(tǒng)可靠度

k/n:M(G1)系統(tǒng)壽命分為兩階段,在第一階段系統(tǒng)可以看作n/n+M交叉儲備系統(tǒng),第二階段轉(zhuǎn)換為k/n(G)表決系統(tǒng)。

在第一階段,系統(tǒng)中任意部件故障,冷備件立即替換,系統(tǒng)壽命為個獨立同指數(shù)分布的隨機變量之和,則其不可靠度為

(7)

在第二階段,系統(tǒng)中部件故障后無備件替換,系統(tǒng)不可靠度使用k/n(G)表決系統(tǒng)公式進行求解,可表示為

(8)

獲得不可靠度函數(shù)后,系統(tǒng)失效概率密度函數(shù)求解如下:

(9)

系統(tǒng)的工作壽命為兩階段壽命相加,則Ⅰ類冷備表決系統(tǒng)的失效概率密度函數(shù)為

(10)

式(10)可直接求解卷積積分,也可用拉普拉斯變換法求解。系統(tǒng)的可靠度為

(11)

3.2 非同型k/n:M(G1)系統(tǒng)可靠度

對于工作件服從任意分布的非同型k/n:M(G1)系統(tǒng),需分析系統(tǒng)正常工作時部件可能的狀態(tài)組合,稱為成功模式?？紤]帶單備件的情況,k/n:M(G1)系統(tǒng)可能的成功模式共有1++(-1)+…+(-1)…(-)種,可表示為4類情況,如圖1所示。

圖1 k/n:1(G1)冷備表決系統(tǒng)成功模式Fig.1 Successful model of k/n:1(G1) cold standby voting system

成功模式的概率之和,即系統(tǒng)可靠度解析式為

(12)

當各部件獨立同分布,系統(tǒng)可靠度解析式可簡化為

-1()(()-())-()(-)d

(13)

進一步的,當,,取任意值,k/n:M(G1)系統(tǒng)可靠度可表示為:=[(0個工作件故障)+…+(-個工作件故障)+(備件替換前1個位置且未故障|-+個工作件位置故障)]。

4 k/n:M(G2)系統(tǒng)的可靠度

第41節(jié)討論了部件獨立同指數(shù)分布的k/n:M(G2)系統(tǒng)可靠度的簡化計算方法,部件服從非指數(shù)分布的同型系統(tǒng)與非同型系統(tǒng)可靠度解算方法在第4.2節(jié)進行討論。

4.1 獨立同指數(shù)分布k/n:M(G2)系統(tǒng)可靠度

k/n:M(G2)系統(tǒng)第一階段可以看作k/n(G)表決系統(tǒng),第二階段轉(zhuǎn)換為k/k+M交叉儲備系統(tǒng)。

在第一階段,系統(tǒng)中部件故障后備件不替換,用k/n(G)表決系統(tǒng)不可靠度公式表示:

(14)

第二階段,系統(tǒng)中剩余部件故障后備件將進行替換,直到個冷備件耗盡,系統(tǒng)不可靠度表示為k/k+M交叉儲備系統(tǒng)可靠度:

(15)

對比第31節(jié)k/n:M(G1)系統(tǒng)公式,k/n:M(G2)系統(tǒng)第一階段失效概率與k/n:M(G1)系統(tǒng)第二階段失效概率相等,第二階段失效概率小于k/n:M(G1)系統(tǒng)第一階段失效概率。因此,在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與部件相同的情況下,采用Ⅱ類儲備件替換原則系統(tǒng)可靠性更高。

4.2 非同型k/n:M(G2)系統(tǒng)可靠度

對于k/n:M(G2)系統(tǒng),當備件數(shù)量M為1時,與k/n:1(G1)系統(tǒng)相似,k/n:1(G2)系統(tǒng)可能的成功模式共有1++(-1)+…+(-1)…(-)種,可表示為4類情況,但備件替換的時機不同,如圖2所示。

圖2 k/n:1(G2)冷備表決系統(tǒng)成功模式Fig.2 Successful model of k/n:1(G2) cold standby voting system

系統(tǒng)可靠度解析式為

(16)

當各部件獨立同分布,系統(tǒng)可靠度解析式可簡化為

(17)

式(17)與文獻[26]中給出的同型k/n:1(G)可靠度解析式相同。

對比第3.2節(jié)非同型k/n:1(G1)系統(tǒng)可靠度公式,發(fā)現(xiàn)兩類系統(tǒng)解析式構(gòu)型相同,不同部分存在如下關(guān)系:

(18)

因此,在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與部件相同的情況下,采用Ⅱ類儲備件替換原則系統(tǒng)可靠性更高。

進一步推導當=-1,=2時系統(tǒng)可靠度,n-1/n:2(G1)系統(tǒng)可能的成功模式共有1++(-1)+…+2(-1)+(-1)(-2)種,可表示為5類情況,如圖3所示。

圖3 k/n:2(G2)冷備表決系統(tǒng)成功模式Fig.3 Successful model of k/n:2(G2) cold standby voting system

系統(tǒng)可靠度解析式為

(19)

當,,取任意值,系統(tǒng)可靠度可表示為=[(0個工作件故障)+…+(-個工作件故障)+(至少1個備件未故障|-+1個工作件位置故障)+…+(至少個備件未故障|-+個工作件位置故障)]。

5 算例分析

在本節(jié)中,利用幾個算例,通過蒙特卡羅仿真對本文提出解析式正確性進行了驗證。利用蒙特卡羅仿真法抽樣得到系統(tǒng)可靠度,認為其反映真實系統(tǒng)可靠度。

同型35(G)交叉儲備系統(tǒng)

假設(shè)系統(tǒng)部件和儲備件均服從=001的指數(shù)分布。利用蒙特卡羅仿真獲得一個仿真解,利用第21節(jié)方法獲得一個解算解,并將卷積對象進行離散化處理(精度取1),利用第22節(jié)方法近似計算出一個解算解。將結(jié)果進行對比,如表1所示。

表1 同型3/5(G)系統(tǒng)案例結(jié)果

非同型3/5(G)交叉儲備系統(tǒng)

進一步驗證上述非同型n/n+M交叉儲備系統(tǒng)的可靠度計算方法,驗證案例的信息如表2所示。取分別為20、40、60,將仿真結(jié)果與第22節(jié)方法解算結(jié)果進行對比,如表3所示。

表2 非同型3/5(G)系統(tǒng)案例信息

表3 非同型3/5(G)系統(tǒng)案例結(jié)果

同型3/5:4(G)冷備表決系統(tǒng)

設(shè)系統(tǒng)工作件和冷備件獨立同指數(shù)分布,故障率=001。對于Ⅰ類和Ⅱ類系統(tǒng),時間分別取50、100、150、200,單位為h。對比利用第31節(jié)和第41節(jié)方法與仿真方法結(jié)果,如表4所示。

表4 同型3/5:4(G)系統(tǒng)案例驗證結(jié)果

非同型1/3:1(G)冷備表決系統(tǒng)

設(shè)系統(tǒng)部件服從不同的指數(shù)分布,工作件故障率取值為[,,]=[1100,1120,1150],冷備件故障率=001。取分別為50、100、150、200,單位為h。將仿真結(jié)果和第32節(jié)和第42節(jié)方法解算結(jié)果進行對比,如表5所示。

表5 非同型1/3:1(G)系統(tǒng)案例驗證結(jié)果

非同型2/3:2(G2)冷備表決系統(tǒng)

系統(tǒng)組件同案例4,工作件服從不同指數(shù)分布,當其運行邏輯為2/3:2(G2),仿真與解算結(jié)果對比如表6所示。

表6 非同型2/3:2(G2)系統(tǒng)案例驗證結(jié)果

非同型8/9:1(G)系統(tǒng)

進一步驗證上述方法對部件服從多種分布的復雜非同型k/n:M(G)系統(tǒng)的適用性,考慮部件服從4種分布類型的8/9:1(G)系統(tǒng),驗證案例的信息如表7所示。取分別為500、700、800、1 000,單位為h,仿真與解算結(jié)果對比如表8所示。

表7 非同型8/9:1(G)系統(tǒng)案例信息

表8 非同型8/9:1(G)系統(tǒng)案例驗證結(jié)果

通過以上案例驗證可知,利用蒙特卡羅法獲得的仿真結(jié)果與本文方法獲得的解算結(jié)果,其相對誤差均不超過1%,利用本文方法可以準確的計算Ⅰ類和Ⅱ類冷備表決系統(tǒng)可靠度。

此外,通過以上案例的Ⅰ類和Ⅱ類冷備表決系統(tǒng)可靠度對比可知,在系統(tǒng)組成結(jié)構(gòu)、部件類型相同的情況下,采用Ⅱ類替換策略,即部件剩余-1個時再進行替換,可以獲得更高的系統(tǒng)可靠性。

6 結(jié) 論

本文考慮了k/n:M(G)冷備表決系統(tǒng)的不同運行模式,給出的解算公式可求解系統(tǒng)工作部件和冷儲備件服從任意分布且系統(tǒng)工作部件非同型的系統(tǒng)可靠度。將蒙特卡羅仿真結(jié)果與本文求解方法的結(jié)果進行對比,結(jié)果表明6組實驗誤差均未超過1%,驗證了本文方法的準確性。此外,本文對比了k/n:M(G)系統(tǒng)的不同替換策略,發(fā)現(xiàn)采用Ⅱ類策略(即先壞后替),系統(tǒng)具有更高可靠性。

當>1,要求解k/n:M(G)系統(tǒng)可靠度,分析其成功模式,存在著狀態(tài)空間爆炸的問題,還需進一步研究簡化的可靠度計算方法。