有序表征：認知從“呈現”走向“發(fā)現”

丁洪 顧劉兵

[摘 要]列舉策略的表征一般經歷兩個階段，即“呈現過程”和“發(fā)現聯系”。其中，“呈現過程”側重信息的初步加工，使關鍵事件“看得見”、過程經歷“走得穩(wěn)”和經驗對接“理得順”，在解決顯性問題中提煉策略;“發(fā)現聯系”側重信息的精細加工，能靈活遷移“用得上”、模型建構“想得透”和思想沉淀“帶得走”，在探究隱性規(guī)律中內化策略。策略學習需要兩個階段互為補充、循環(huán)往復和辯證統(tǒng)一。

[關鍵詞]列舉策略;呈現過程;發(fā)現聯系

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）11-0010-03

“用列舉的策略解決實際問題”是蘇教版教材五年級上冊編排的“策略學習”的專題活動，它是運用策略解決實際問題的種子課。從表征需求看，問題過程復雜，階段結果多樣，一一呈現可以消除誤解，策略意識的激發(fā)由內而外;從表征要點看，旨在引領學生經歷策略的生長過程，感悟“不重復和不遺漏”的操作關鍵，策略思考的提煉由粗變精;從表征價值看，可以解決顯性問題，還可以探究隱性規(guī)律，策略認知的發(fā)展由近及遠。問題是，“如何做到呈現過程有條不紊，有針對性地解決問題？”“如何做到發(fā)現規(guī)律絲絲入扣，有系統(tǒng)性地探究聯系？”“如何處理好呈現和發(fā)現的關系，使得策略認知螺旋上升和有序建構？”，弄清楚這些核心問題才有助于有效開展列舉策略的教學。

一、有序呈現過程，解決顯性問題

策略是指導數學活動的計劃、方案和技巧，是對具體數學認知的調控、修正和優(yōu)化。對小學生而言，策略學習離不開具體問題情境、過程充分經歷和經驗合理對接。

1.關鍵事件“看得見”

策略學習需要情境，在具體情境中，某些環(huán)節(jié)、片段或案例發(fā)揮的價值較大，這樣的對象可稱為策略學習的關鍵事件。

以A教學為例，它是圍繞南通洲際綠博園設計情境。首先，用視頻形式帶領學生欣賞典型景點，如“梯田花?！薄盁釒ㄓ炅逐^”和“木化石風情園”等;公布“今日行程”，即“種植基地”“時光隧道”“美食區(qū)”和“娛樂區(qū)”，將學習內容分別嵌于活動板塊，整體勾勒出關鍵事件的節(jié)點和流程。B教學是改造蘇教版教材中的例題，將“怎樣圍面積最大？”的線性思考變成“要圍一個面積為20平方米的長方形花圃，如果22根1米長的木條全部用完，且不能折斷，這個任務能完成嗎？”的多元思辨，展示過程中緊扣“周長一定時，面積能否符合要求？”和“面積一定時，周長是否滿足需求？”這兩個關鍵事件，同樣架構了整個教學時空。

顯然，以上兩個教學設計的關鍵事件的角色定位和演繹方式明顯不同：A教學側重生活情境的系統(tǒng)性，關鍵事件先預設再展開;B教學側重數學問題的思辨性，關鍵事件先生動再深刻，但這兩個教學的可視化訴求又有一致性。

2.過程經歷“走得穩(wěn)”

認知是人最基本的心理過程，它特別強調通過必要的信息加工獲取知識。因此，為了增強心理體驗的強度，同時提高信息加工的效度，過程經歷需要考量“是否充分、是否完備和是否穩(wěn)妥”，這是策略認知發(fā)展的要求。

以A教學為例，先在“種植基地”中出示“王大叔用22根1米長的木條圍一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？”的問題，驅動學生分析已知條件和問題，得到“周長是22米，可以圍成大小不同的長方形”和“圍成的長方形的長和寬都是整米數”的結論，這里主要將生活信息加工成數學信息。接著，通過問題“你打算怎樣解決上面的問題？”引導學生提出“用22根小棒擺出不同的長方形，再分別求出它們的面積”和“先求出長方形長與寬的和，再通過列舉求出面積各是多少”的方案，這里主要是將數學信息轉換成數學思維。然后，創(chuàng)設自主探究活動，引導學生先在活動單上記錄過程，再在小組內交流、互動和點評，直至全班展示匯報。由匯報結果知，從方法層面上看，有畫出過程和計算過程之別;從思維層面上看，有推進有序和推進雜亂無章之分;從結果層面上看，有解決問題和阻礙結論之態(tài)。對于學生充滿生機和活力的原創(chuàng)作品，教師應當盡可能地展示和對比，還要回溯到問題原點，考量“長方形面積大小”的決定因素，順勢鎖定長和寬的乘法組合，有機滲透二維平面觀念，這里主要將數學思維加工成數學結構。最后，鼓勵學生緊扣問題的本源性結構，在表格中快速、有序地列舉所有可能，對應計算各自面積后，獲得“長6米、寬5米時，長方形面積最大”的終極結論，這里主要將數學結構加工成數學路徑。

以B教學為例，教師將教材中的例題改編成研學單，讓學生課前先嘗試探究問題“王大伯想用22根1米長的木條圍一個面積為20平方米的長方形花圃。如果22根木條要全部用完，而且不能折斷，你覺得他能完成這一任務嗎？”。這種前測設計，從學的角度看，能為學生的自我挑戰(zhàn)提供平臺，而且時間充裕，學生可以更好地思考和表征，盡己所能，不留遺憾;從教的角度看，教師可以了解和捕捉學生的思維過程，感受他們的認知傾向、表達習慣和思維質量，有效彌補了解不全、交流倉促和即時評價有局限的不足，真正做到知己知彼，有的放矢?；氐秸n堂上，教師首先組織學生在小組內交流各自的方法和結論，并展示典型作品：第一種是“尾巴型”，先設計長5米、寬4米的長方形，再將剩下的4米長的木條接在圖形尾部;第二種是“靠墻型”，設計長20米、寬1米的長方形，這個長方形的一條長邊是靠墻的;第三種是“支架型”，先設計長5米、寬4米的長方形，再將剩下的4根木條分別放在圖形四個角的下方，這樣就將原來設計的長方形支撐起來了。學生的評價頭頭是道：有學生認為“尾巴型”沒有考慮“22根木條要全部用完”這個條件，可謂“一針見血”;有學生認為“靠墻型”雖然用完了所有木條，但是否靠墻值得商榷，而且既然可以一面靠墻，那么是否可以兩面、三面靠墻呢？可謂“面面俱到”;有學生認為“支架型”雖然有意思，但是在長方形面積不變的情況下，除了四個角可以放置木條，其他很多地方都可以，結論不唯一和不明確，可謂“絲絲入扣”。另外，有學生認為不能完成任務：一是通過周長是22米，分別列舉不同長方形的長和寬，計算后得出面積都不等于20平方米;二是通過面積是20平方米，分別列舉不同長方形的長和寬，計算后得出周長都不等于22米。

顯然，通過以上兩個案例可以發(fā)現策略學習的共性，那就是策略推進過程要想走得穩(wěn)，既要有機結合問題的精神和實質，也要適時凸顯策略的特質和魅力，兩者不可偏廢，否則策略學習猶如空中樓閣，看似有結論，實則無過程。

3.經驗對接“理得順”

經驗可以分為兩個層面。一是感性層面的即時經驗，它可以是本節(jié)課內的，也可以是本單元內的，經驗產生的時間比較近，經驗載體相對集中;二是潛意識層面的過往經驗，它可能是跨學期的，或者是跨學段的，經驗產生的時間比較長，經驗載體相對分散。

在A教學中，首先讓學生通過思考“回顧解決問題的過程，你有什么體會？”，梳理出“有些實際問題可以通過列舉來解決”“按一定的順序列舉，做到不重復、不遺漏”和“要對列舉出的結果進行比較，做出選擇”的即時經驗，助推經驗的沉淀。接著，在“時光隧道”環(huán)節(jié)，通過 “在以前的學習中，我們曾經運用列舉的策略解決過哪些問題？”驅動學生自主回憶和小組內碰撞，梳理出“一組一組地寫出10可以分成幾和幾”“用12個邊長為1厘米的正方形拼成不同的長方形”和“有序地寫出3張數字卡片能組成的所有三位數”等策略，雖然整數的分成、圖形的拼成和多位數的組成等只是過往經驗的冰山一角，但是它們的存在足以說明列舉策略的客觀性、適用性和價值性。與此對應，在B教學中，問題情境和問題內容雖然不盡相同，但是經驗對接這件事一直在發(fā)生和發(fā)展。有趣的是，它們其實都在努力做到即時經驗與過往經驗的碰撞、對接和交融，使得策略經驗從簡單固化走向了路徑塑化（如圖1）。

顯然，A教學提供的顯性問題相對封閉，B教學創(chuàng)造的顯性問題相對開放，但是它們都需要通過各自顯性問題的順利解決，借助關鍵事件的聚焦、過程經歷的體驗和經驗的無縫對接，使得豐盈的體驗能助力策略的感知和感悟。

二、有序發(fā)現聯系，探究隱性規(guī)律

以上學習只是對特定信息進行了必要的對比、抽象和提煉，學生的策略認知處于低水平運行狀態(tài)。其實，可以適度遷移運用和適時深度加工，以挖掘信息之間的聯系，探明隱藏于現象背后的數學規(guī)律，這樣的策略體驗才完整、系統(tǒng)和有價值。

1.靈活遷移“用得上”

首先，出示“哪個時點會響鈴？”的問題，引導學生分析已有鬧鈴信息，歸納出“每間隔40分鐘響一次鈴”的規(guī)律，然后進行列舉和判斷。這里的具體情境雖然有變，但是列舉需求仍然不變。接著，出示“一共有多少種不同的搭配？”的問題，引導學生先從一種葷菜開始列舉，得到葷素4種不同搭配，然后以此類推，得到“3個4種，一共就是12種”的結論;還可以從一種素菜開始列舉，得到素葷3種不同搭配，然后以此類推，得到“4個3種，一共就是12種”的結論。這里的思維起點雖然不同，但是列舉策略異曲同工。最后，出示“可能得到多少環(huán)？”的問題，引導學生剖析“投中兩次”的內涵，即“環(huán)數相同”和“環(huán)數不同”兩類，據此分別進行列舉。需要注意的是，“8+8=16”和“10+6=16”的投中過程不同，但從問題“多少環(huán)”這個角度考量，它們又歸屬于同一種環(huán)數，這里的列舉意圖雖然明顯，但是列舉結果仍需整合。顯然，單線型列舉是組合型列舉和分類型列舉的基礎，了解它們之間的有機聯系，可以更好地解構復雜問題和把握策略方向。

2.模型建構“想得透”

模型建構是用聯系的視角對數學信息進行再加工，這個過程數學味濃郁，“一案一得”是常用的方法和路徑。比如，在“誰的面積最大？”的問題中，引導學生“從左往右”觀察長和寬的單獨變化，“從上往下”觀察長和寬的組合變化，歸納出“周長一定時，長和寬越接近，面積就越大”的規(guī)律;在“哪個時點會響鈴？”的問題中，引導學生“從前往后”觀察響鈴的時點，發(fā)現“相差以兩小時為一個周期”的周期規(guī)律;在“一共有多少種不同的搭配？”的問題中，引導學生按照“先后順序”觀察搭配對象的數量，發(fā)現“3個4種”和“4個3種”的內在聯系，歸納出“搭配數量×搭配數量=搭配結果”的乘法規(guī)律;在“可能得到多少環(huán)？”的問題中，引導學生從“先分再合”的角度觀察列舉過程，發(fā)現看似復雜的問題其實可以合理分解，感悟分類討論解決問題的疊加規(guī)律。顯然，模型建構難度不一，不能要求學生一下子就領悟，尤其對解決相似的問題有困難時，仍然可以回到問題起點，一一列舉解決問題后再次建模。

3.思想沉淀“帶得走”

數學思想是系統(tǒng)化、理論化、理性化了的數學知識，是對數學科學研究的本質及規(guī)律的深刻認識。這樣看來，數學思想是數學學習的“根”和“魂”，是學生能從數學學科中帶得走的寶貴財富，策略學習同樣需要數學思想適時介入、適度發(fā)展和適切點化。比如，在“誰的面積最大？”的問題中，要使長方形面積的大小可視化，就可以滲透“數形結合”的基本思想。這樣除了有數據支撐的理性推理，還有感性體驗的直觀把握，使得策略學習入眼入心、印象深刻;在“一共有多少種不同的搭配？”的問題中，為了使搭配過程和結果得以簡潔化，可以滲透“整體思考”的基本思想，無論列舉起點怎么變化，只要搭配的數量不變，它們的搭配結果就對應不變，策略學習從有限列舉走向了無限思考;在“可能得到多少環(huán)？”的問題中，為了使復雜問題的內涵表征序列化，可以滲透“分類討論”的基本思想，這樣既有分門別類的單點突破，又有井然有序的多點整合，策略學習從有序解構走向了合理重構，等等。顯然，有了數學思想的充分浸潤，策略學習的過程將更有生命力，策略內化為數學素養(yǎng)也就更加自然、順暢和高效。

綜上所述，“呈現過程”是列舉策略學習的基礎工作和必由路徑，主要通過不同過程的展示、評價和概括，逐步抽象共性的認知，感知策略存在的環(huán)境、把脈策略運行的要點和辨析策略表征的對象;“發(fā)現聯系”是列舉策略學習的有序延伸和必要拓展，主要通過不同情境的策略遷移、不同模型的順利建構和不同思想的有序滲透，助力學生認知水平的逐步提升。需要說明的是，兩者雖然可以和諧共生、循環(huán)往復，但是切莫急功近利、本末倒置。

[本文系江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃重點課題《基于問題鏈驅動的小學生數學化學習的研究》（課題批準文號：C-b/2020/02/26）和江蘇省中小學教學研究第十三期重點課題《深度學習下小學數學游戲的開發(fā)與應用研究》（課題批準文號：2019JK13-ZB48）的階段性成果。]

（責編 金 鈴）