矩陣的簡(jiǎn)化行階梯形的幾何刻畫

嚴(yán)質(zhì)彬

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(深圳)理學(xué)院，廣東深圳518055)

1 引 言

利用線性空間的基的概念以及線性映射的矩陣表示的概念， 可以將抽象的向量以及線性映射和具體的行或列向量以及矩陣聯(lián)系起來(lái). 人們?cè)谘芯烤唧w的矩陣問(wèn)題時(shí)， 可以注入抽象的線性空間與線性映射的觀點(diǎn). 為便于教學(xué)和交流， 下面把這種用線性空間與線性映射的抽象觀點(diǎn)研究具體的矩陣問(wèn)題的方法稱為幾何方法.

將矩陣用初等行變換化為行階梯形以及進(jìn)一步化為簡(jiǎn)化行階梯形， 是在線性代數(shù)課程中用消元法解線性方程組時(shí)總結(jié)出來(lái)的知識(shí)， 簡(jiǎn)單易懂. 有的教材一開始就引入行階梯形矩陣的概念[1]； 有的教材暫時(shí)不用行階梯形這樣的術(shù)語(yǔ). 這里將用線性映射的矩陣表示的觀點(diǎn)， 也就是一種上面所說(shuō)的幾何方法， 來(lái)解釋化矩陣為簡(jiǎn)化行階梯形的過(guò)程. 一方面增加學(xué)生對(duì)行階梯形的認(rèn)識(shí)， 另一方面給出線性映射的矩陣表示概念的一個(gè)有趣應(yīng)用， 為這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)提供參考.

2 矩陣等價(jià)的兩個(gè)觀點(diǎn)

給定兩個(gè)m行n列的矩陣A，B.稱A與B等價(jià)， 如果存在m階可逆矩陣Q和n階可逆矩陣P使得

QAP=B.

(1)

上述矩陣等價(jià)概念有兩個(gè)不同的解釋.

(i) 初等行、列變換的觀點(diǎn): 矩陣A可以經(jīng)過(guò)一系列初等行、列變換化為B， 當(dāng)且僅當(dāng)A與B等價(jià)[2].

(ii) 線性映射的矩陣表示的觀點(diǎn): 矩陣A與B分別是同一個(gè)線性映射在不同的基底下的矩陣表示， 當(dāng)且僅當(dāng)A與B等價(jià)[3].

值得指出的是， 按照觀點(diǎn)(i)， 等式(1)中的矩陣Q是所有初等行變換對(duì)應(yīng)的初等矩陣的乘積.按照觀點(diǎn)(ii)， 也就是引言中所說(shuō)的幾何方法， 矩陣Q-1是與線性映射相聯(lián)系的一個(gè)基變換的過(guò)渡矩陣[3].

3 矩陣的行階梯形的幾何刻畫

一個(gè)矩陣稱為行階梯形矩陣， 如果

(i) 元素全為0的行(稱為零行)在下方(如果有零行)；

(ii) 元素不全為0的行(稱為非零行)， 從左邊數(shù)起第一個(gè)不為0的元素稱為主元， 它們的列指標(biāo)隨著行指標(biāo)的遞增而嚴(yán)格增大.

一個(gè)矩陣稱為簡(jiǎn)化行階梯形矩陣， 如果

(i) 它是行階梯形矩陣；

(ii) 每個(gè)非零行的主元都是1；

(iii) 每個(gè)主元所在的列的其余元素都是0.

任意一個(gè)矩陣都可以經(jīng)過(guò)一系列初等行變換化成行階梯形矩陣.任意一個(gè)矩陣都可以經(jīng)過(guò)一系列初等行變換化成簡(jiǎn)化行階梯形矩陣.任意一個(gè)矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換化成的簡(jiǎn)化行階梯形矩陣是唯一的.以上內(nèi)容見(jiàn)文獻(xiàn)[1， 4].

設(shè)A∈m×n，B是A的簡(jiǎn)化行階梯形矩陣.按定義， 存在m階可逆矩陣R， 使得

RA=B.

(2)

這是A與B等價(jià)的特殊情況(只用了行變換， 沒(méi)有用列變換).R反映的是所用初等行變換的作用效果.化矩陣為簡(jiǎn)化行階梯形的過(guò)程中， 所用的初等行變換有很多不同的選擇， 因此人們不能看出R和已知矩陣A有什么樣的內(nèi)在聯(lián)系.但是， 如果按照矩陣等價(jià)的第二個(gè)觀點(diǎn)， 從基底的角度來(lái)研究矩陣R-1， 就能用幾何方法解讀出R和A的內(nèi)在聯(lián)系了.也就是說(shuō)， 以解線性方程組的消元法為背景， 從矩陣初等行變換的角度， 人們提出了化矩陣為簡(jiǎn)化行階梯形的純矩陣語(yǔ)言表達(dá)(2)， 它是矩陣等價(jià)概念的一種特殊情況(沒(méi)有初等列變換).然而初等變換的觀點(diǎn)， 不能提供R和矩陣A的關(guān)系的進(jìn)一步見(jiàn)解.而幾何的觀點(diǎn)， 卻能夠揭開R和矩陣A的內(nèi)在聯(lián)系.

將A分塊成列向量組

(3)

這些子空間有包含關(guān)系鏈

W0?…?Wj?…?Wn.

(4)

定義1給定m行n列的矩陣A， 并按(3)定義子空間序列.這些子空間的包含鏈(4)的n個(gè)包含關(guān)系?中， 每個(gè)嚴(yán)格包含關(guān)系的右端的子空間的編號(hào)， 稱為A的一個(gè)列主編號(hào).

列主編號(hào)既然是用子空間語(yǔ)言來(lái)定義的， 這就凸顯了列主編號(hào)是由矩陣本身唯一決定的， 是矩陣的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)， 中間不涉及如作初等變換時(shí)的人為選擇.

引理1設(shè)A是m行n列的矩陣，r=rank(A).則

(i)A恰有r個(gè)列主編號(hào)， 記為j1，j2，…，jr；

切斯瓦夫·米沃什：對(duì)待存在的正確態(tài)度是尊重，因而應(yīng)避免與那些借諷刺挖苦來(lái)貶低存在，同時(shí)又贊美虛無(wú)的人為伍。

(ii)aj1，aj2，…，ajr是A的列向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.

定理1設(shè)A是m行n列的矩陣，r=rank(A)，j1，j2，…，jr是A的列主編號(hào).

(i) 對(duì)任意的可逆矩陣Q=[aj1…ajr|* …*]，Q-1A為A的簡(jiǎn)化行階梯形矩陣；

(ii) 若可逆矩陣R使得RA為A的簡(jiǎn)化行階梯形矩陣， 則R-1的前r列為

aj1，aj2，…，ajr.

證(i) 記B=Q-1A， 并寫成A=QB.按列分塊得

即B的第j列乃是A的第j列沿Q的列向量組作為基底展開的坐標(biāo).由此及列主編號(hào)的定義立得.

(ii) 記B=RA， 令Q=R-1并按列分塊Q=[q1…qm]， 于是A=QB，

由簡(jiǎn)化行階梯形的定義即知q1…qr恰為aj1，aj2，…，ajr.證畢.

從定理可以看出， 若r

aj1，aj2，…，ajr，qr+1，…，qm，

再求逆即得

R=[aj1，aj2，…，ajr，qr+1，…，qm]-1.

這樣就不用初等行變換的語(yǔ)言， 而用幾何方法， 給出了化A為簡(jiǎn)化行階梯形的可逆矩陣的一個(gè)幾何的解釋.

例矩陣A是3×5的，

求出A的簡(jiǎn)化行階梯形以及化A為簡(jiǎn)化行階梯形的所有可逆矩陣.

解下面用幾何方法， 也就是定理1， 來(lái)求解.記

由于

(5)

按子空間序列(3)， 易見(jiàn)

W0?W1=W2?W3=W4=W5，

這里， ?表示“嚴(yán)格包含于”.因此， 1，3為A的列主編號(hào).將(5)擴(kuò)充為

并寫成矩陣形式

化A為簡(jiǎn)化行階梯形所用的全部可逆矩陣R， 也就是使得RA=B的全部可逆矩陣R有參數(shù)形式

(6)

其中， 參數(shù)t1t2t3滿足約束條件: 行列式

即t2-2t1≠0.從(6)式也就不難看出， 為什么化矩陣為簡(jiǎn)化行階梯形的初等行變換會(huì)有那么多不同的人為選擇了.

4 結(jié) 論

用幾何方法來(lái)解釋初等行變換化矩陣為行階梯形的過(guò)程， 有助于提高行階梯形及線性映射的矩陣表示兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)效果.

致謝感謝審稿人對(duì)本文的仔細(xì)閱讀和提出的修改意見(jiàn).