中國大陸7級以上地震前地震活動(dòng)的非線性分析

馬禾青 楊明芝 丁風(fēng)和 羅國富

1)寧夏回族自治區(qū)地震局，銀川 750001 2)寧夏土木工程防震減災(zāi)工程技術(shù)研究中心，銀川 750021

0 引言

地震發(fā)生具有隨機(jī)性。地震活動(dòng)的時(shí)空特征非常復(fù)雜，早在20世紀(jì)初，人們就認(rèn)識到斷層的空間不均勻性可以導(dǎo)致非周期現(xiàn)象(Scholz，1989)，并認(rèn)為地震周期并非那么簡單。相對較小的區(qū)域(平均60～300km的尺度)10年左右的地震活動(dòng)服從泊松分布規(guī)律(Wyss，1990)，即證實(shí)了地震活動(dòng)的整體隨機(jī)性(Wyss et al，2000)。吳忠良(1999)通過廣義Rydelek-Sacks檢驗(yàn)地震活動(dòng)周期性和隨機(jī)性，得到地震活動(dòng)周期性不具有普遍意義。前人研究表明復(fù)雜的地震活動(dòng)特征來自孕震系統(tǒng)的內(nèi)在隨機(jī)性(Kagan et al，1980)，大型逆沖地震的發(fā)生具有隨機(jī)性(Tormann et al，2015)。小山順二等(1997)將地震作為一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)，研究了地震活動(dòng)的隨機(jī)性質(zhì)，給出地震活動(dòng)的隨機(jī)標(biāo)度和非線性標(biāo)度律。陳棋福等(2001)還通過對地震活動(dòng)內(nèi)在隨機(jī)性的研究得到地震預(yù)測成功率不會(huì)太高的推斷。

同時(shí)，地震活動(dòng)存在非線性現(xiàn)象。朱元清等(1991)通過構(gòu)建非線性動(dòng)力學(xué)模型研究了斷層帶的地震活動(dòng)性。安鎮(zhèn)文等(1992)根據(jù)非線性動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)，試圖從大震發(fā)生前的地震活動(dòng)和巖石聲發(fā)射序列中研究可能存在的渾沌過程，并且定量地探討其各自的信息維和關(guān)聯(lián)維，從而研究了7級以上地震孕育過程中的渾沌特征。張國民等(1993)應(yīng)用非線性動(dòng)力學(xué)模型來模擬在統(tǒng)一構(gòu)造應(yīng)力場作用下含有多個(gè)活動(dòng)地震帶的地震構(gòu)造塊體的地震活動(dòng)。楊立明等(1995)應(yīng)用非線性數(shù)學(xué)模型研究了地震活動(dòng)的非線性行為。陳時(shí)軍等(1998)在假定地震活動(dòng)系統(tǒng)具有分形特征的前提下，利用推導(dǎo)出的震級-頻度關(guān)系的非線性表達(dá)式研究了地震活動(dòng)系統(tǒng)，并得到了中短期地震預(yù)報(bào)中與非線性有關(guān)的一對參數(shù)。羅葆榮(1998)研究了云南地震活躍期的大震非線性加速律并對未來3年的大震趨勢進(jìn)行預(yù)測。

羅灼禮等(2000)運(yùn)用地震序列非線性關(guān)系和時(shí)間結(jié)構(gòu)變異系數(shù)，對遼寧海城、岫巖1975年以來4次顯著地震的地震序列進(jìn)行了對比研究。顧瑾平(2000)將非線性震級-頻次關(guān)系應(yīng)用在時(shí)間項(xiàng)短臨預(yù)測中。羅灼禮等(2002)給出了研究地震臨界叢集現(xiàn)象的方法，即時(shí)間變異診斷方法，以此研究了叢集狀態(tài)的自相似性及臨界時(shí)間分支現(xiàn)象，進(jìn)而對發(fā)震系統(tǒng)的內(nèi)部時(shí)間給出了定義，并得到了地震叢集的非線性時(shí)間結(jié)構(gòu)特征。更進(jìn)一步地，羅灼禮等(2012)針對地震活動(dòng)性等異常的群體特征，采用確定性和隨機(jī)性相結(jié)合的思路，對地震活動(dòng)性系統(tǒng)演變的時(shí)間和空間結(jié)構(gòu)、“正常”與“異?！睜顟B(tài)判定方法進(jìn)行了探索性研究，進(jìn)而對汶川8.0級大震及強(qiáng)余震的預(yù)測工作進(jìn)行了的總結(jié)和反思。

本文在地震發(fā)生是隨機(jī)的這一基本前提下，討論了地震發(fā)生累計(jì)次數(shù)的指數(shù)增長模型，并對震例進(jìn)行了分析。

1 地震發(fā)生累計(jì)次數(shù)的指數(shù)增長

如果隨機(jī)變量僅為時(shí)間變量的函數(shù)，則將其稱為隨機(jī)過程。在分析地震活動(dòng)的過程中，大多情況下是將區(qū)域地震活動(dòng)作為單一參量的時(shí)間點(diǎn)過程，即分析地震活動(dòng)參量的時(shí)間變化，尋求大地震前可能出現(xiàn)的異常指標(biāo)。但是，由于一些用于描述地震活動(dòng)的參數(shù)的物理意義并不十分明確，或者對所使用的地震活動(dòng)參數(shù)所蘊(yùn)含的物理機(jī)制和前提條件理解不夠，往往造成所得結(jié)果并不理想。

地震活動(dòng)頻次是描述地震活動(dòng)最為重要的隨機(jī)變量，能夠反映地下介質(zhì)的特性和區(qū)域構(gòu)造應(yīng)力水平。在平穩(wěn)的狀態(tài)下，可以認(rèn)為小地震的發(fā)生近似服從泊松分布規(guī)律。故地震累計(jì)次數(shù)表示為

N(t)=λ0t

(1)

其中，λ0為地震平穩(wěn)發(fā)生率。事實(shí)上，地震活動(dòng)是一種非常復(fù)雜的現(xiàn)象，所謂的平穩(wěn)狀態(tài)并不能夠長久維持。如果將孕育和發(fā)生地震的構(gòu)造區(qū)域近似看作開放系統(tǒng)，由于不可控因素的作用，如系統(tǒng)內(nèi)部力學(xué)機(jī)制的漲落或外部環(huán)境源于各種不明原因的擾動(dòng)，在系統(tǒng)演化過程中持續(xù)不斷地發(fā)揮作用，使得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)變量出現(xiàn)隨機(jī)性的漲落。按照線性穩(wěn)定性的分析理論(哈肯，1988； 林振山，2003)，假設(shè)系統(tǒng)的時(shí)間演化過程(即系統(tǒng)動(dòng)力學(xué))服從如下非線性微分方程

(2)

其中，X為地震系統(tǒng)狀態(tài)變量；F表示變化速度項(xiàng)，為作用于X被定義的空間的算符，一般為非線性；α為控制參數(shù)。設(shè)在定態(tài)X0附近出現(xiàn)一次小擾動(dòng)x(t)，即

X(t)=X0+x(t)

(3)

(4)

根據(jù)線性穩(wěn)定性原理，式(2)在定態(tài)解X0附近的線性化方程為

(5)

式(5)為一齊次方程，對于x=0成立。

在研究地震發(fā)生的時(shí)間分布問題時(shí)，假設(shè)穩(wěn)定狀態(tài)下發(fā)生的地震數(shù)N服從泊松分布，即

(6)

如果在平衡態(tài)附近出現(xiàn)一個(gè)小擾動(dòng)f，意味著對泊松分布的偏差。擾動(dòng)的具體細(xì)節(jié)并不十分清楚，但可以將地震的發(fā)生用類似式(2)的形式描述。

當(dāng)漲落引起地震有小的發(fā)生增量N(t)=N+dN時(shí)，則

(7)

將式(7)減式(6)，令n=dN，則

(8)

即為漲落引起的地震發(fā)生速率方程。

將式(8)進(jìn)行泰勒展開，得到

(9)

(10)

表示地震發(fā)生幾率的變化率。

將式(9)理解為由漲落引起的地震發(fā)生率發(fā)生變化的方程，即

(11)

式(11)在平衡態(tài)附近的解為

pn=cexp(kt)

(12)

將式(12)乘以N0，得到在定態(tài)附近地震發(fā)生數(shù)n的解

n=Aexp(kt)

(13)

由此可見，系統(tǒng)的演化趨勢取決于參數(shù)k。 ①當(dāng)k<0時(shí)，擾動(dòng)將隨時(shí)間趨于衰減，最終回到平衡運(yùn)動(dòng)狀態(tài)式(6)； ②當(dāng)k>0時(shí)，擾動(dòng)將隨著時(shí)間指數(shù)增大，最終遠(yuǎn)離平衡狀態(tài)。式(13)表示當(dāng)k>0時(shí)，地震持續(xù)性增加； 當(dāng)k<0時(shí)，地震持續(xù)性減弱。

從地震研究的角度看，需要關(guān)注的不是系統(tǒng)演化發(fā)展的最終狀態(tài)，而是在突變前的表現(xiàn)，因此要對非線性微分方程解的穩(wěn)定性進(jìn)行判斷，系數(shù)k就提供了地震過程是否穩(wěn)定的一種判據(jù)。將式(13)改寫成常用形式

n=n010kt

(14)

其中，當(dāng)時(shí)間單位取年、月或天時(shí)，k值會(huì)隨之不同。

大地震發(fā)生前，震源區(qū)及周圍區(qū)域構(gòu)造應(yīng)力會(huì)出現(xiàn)非平衡變化，力學(xué)平衡受到破壞。在構(gòu)造應(yīng)力的作用下，非線性動(dòng)力學(xué)或非平衡約束的出現(xiàn)將打破原來地震活動(dòng)狀態(tài)的平衡，偏離正?；顒?dòng)背景，并由早期的正常漲落逐漸趨于異常狀態(tài)。

大地震前地震累計(jì)頻次的非線性行為得到了來自巖石實(shí)驗(yàn)結(jié)果的支持(米亞奇金等，1979)。據(jù)巖石破裂實(shí)驗(yàn)的研究結(jié)果，在應(yīng)力-應(yīng)變曲線上，大于約 1/2 破裂強(qiáng)度時(shí)的非線性部分，為膨脹發(fā)生的區(qū)域，在膨脹區(qū)域中測到的微破裂事件的累計(jì)頻度N與體應(yīng)變的非線性部分成正比，在應(yīng)力為破裂強(qiáng)度的50%～95%之間擬合效果很好。當(dāng)應(yīng)力為破裂強(qiáng)度的95%以上時(shí)，微破裂活動(dòng)急速加劇，并導(dǎo)致最終破壞，該現(xiàn)象表明巖石在破裂前內(nèi)部的微破裂數(shù)目出現(xiàn)了非線性增長。微破裂累計(jì)頻次在一定程度上反映了巖石應(yīng)力水平和非線性體的應(yīng)變狀態(tài)，與大地震發(fā)生前地震活動(dòng)頻次的非線性異常變化一致。一次大地震的孕育是在構(gòu)造應(yīng)力作用下，在較大空間范圍內(nèi)經(jīng)歷較長時(shí)間的過程，從緩慢變化逐漸進(jìn)入非線性加速變化，同時(shí)震源體及周圍區(qū)域應(yīng)力狀態(tài)和介質(zhì)性質(zhì)發(fā)生很大變化，地震活動(dòng)累計(jì)頻次的非線性增加正是這種變化的反映。

2 7級以上地震前地震累計(jì)次數(shù)呈指數(shù)增長震例分析

本節(jié)將根據(jù)式(14)討論地震累計(jì)次數(shù)在7級以上地震發(fā)生前的變化情況。

2.1 7級以上地震前地震累計(jì)次數(shù)指數(shù)增長

本文使用的地震目錄來自中國地震臺網(wǎng)中心提供的強(qiáng)震目錄CH48和弱震目錄China2。中國大陸的地震臺網(wǎng)于1970年建成，因此China2自1970年給出弱震地震目錄。中國大陸1970年以來共發(fā)生7級以上地震事件23次(雙震僅討論第1次地震事件)，其中，15次地震能夠分析出震前地震累計(jì)次數(shù)指數(shù)增長現(xiàn)象，其余8次或由于地震臺網(wǎng)記錄時(shí)間太短，或由于地震發(fā)生在監(jiān)測能力較弱區(qū)域，弱震記錄不全，無法分析震前地震累計(jì)次數(shù)指數(shù)增長現(xiàn)象。這8次地震分別為1970年1月5日云南通海7.8級、1973年2月6日四川爐霍7.6級、1973年7月14日西藏亦基臺錯(cuò)7.3級、1974年8月11日新疆烏恰7.3級、1996年11月19日新疆和田喀喇昆侖山口7.1級、1997年11月8日西藏瑪尼7.5級、2001年11月14日昆侖山口西8.1級、2008年3月21日新疆于田7.3級和2014年2月12日新疆于田7.3級地震。

表1列出了15次7級以上地震的研究區(qū)域范圍和研究時(shí)段。選擇研究區(qū)域時(shí)應(yīng)考慮能夠涵蓋發(fā)震構(gòu)造及震源區(qū)的范圍，研究時(shí)段應(yīng)能夠體現(xiàn)地震累計(jì)頻次出現(xiàn)指數(shù)增長現(xiàn)象。空間范圍一般在3°×3°，并根據(jù)實(shí)際情況適當(dāng)調(diào)整； 時(shí)間尺度一般在數(shù)年。這些地震中，1974—1976年的5次震例有觀測資料的時(shí)段小于10年，2010年4月14日青海玉樹7.1級地震發(fā)生在監(jiān)測能力較低地區(qū)，最小完整性震級為ML4.0。本節(jié)分析的每個(gè)震例的研究時(shí)段均截至震前1天。表1中還同時(shí)列出所使用資料的地震總數(shù)N、參數(shù)k和起始震級M0，k表示以年為時(shí)間單位的指數(shù)增長系數(shù)，由計(jì)算得到。圖1為15次地震前M0以上地震累計(jì)次數(shù)的指數(shù)增長曲線，可清楚地看出在7級以上地震發(fā)生前震中周圍地震累計(jì)次數(shù)呈現(xiàn)指數(shù)增長。

表1 15次7級以上地震的信息

注： 圖中箭頭指示地震發(fā)生時(shí)間圖1 15次7級以上地震累計(jì)次數(shù)的指數(shù)增長曲線(ML≥M0)

表2 7次震例研究區(qū)域和時(shí)段及起始震級

通過15次震例可以得出，7級以上地震發(fā)生前區(qū)域地震累計(jì)次數(shù)出現(xiàn)指數(shù)增長現(xiàn)象，表明震源區(qū)及周圍地震活動(dòng)狀態(tài)出現(xiàn)了非平衡轉(zhuǎn)變，非線性驅(qū)動(dòng)作用支配地震活動(dòng)的演化，使之偏離正?；顒?dòng)的背景，隨之出現(xiàn)非線性變化。

分析發(fā)現(xiàn)，7級以上地震發(fā)生前僅大于起始震級M0的地震才會(huì)表現(xiàn)出指數(shù)增長現(xiàn)象。各次地震的起始震級M0并不相同，一般為ML4.0～4.5。上述15次震例中，僅5次震例的起始震級小于ML4.0，其他震例均大于ML4.0。這是由于較小的地震(ML2～3)主要反映了區(qū)域背景的活動(dòng)，而ML4.0以上的地震受到孕震機(jī)制的控制更多。區(qū)域地震活動(dòng)包含了正常的背景活動(dòng)和在孕震過程作用下的異?；顒?dòng)，如果選取的起始震級過低，會(huì)導(dǎo)致背景活動(dòng)掩蓋了異?；顒?dòng)，使得異常顯示不清楚，無法分析出指數(shù)增長現(xiàn)象?？梢姡捎诟鞯貥?gòu)造應(yīng)力環(huán)境等因素的不同，大震前地震活動(dòng)產(chǎn)生非平衡轉(zhuǎn)變的起始震級也不相同。為了突出顯示異常變化，選擇合適的起始震級非常重要。

2.2 部分7級以上地震前小地震累計(jì)次數(shù)的短期非線性增長特性

研究發(fā)現(xiàn)部分7級以上地震發(fā)生前，大于一定震級地震的累計(jì)次數(shù)存在幾個(gè)月尺度的短期非線性特性。表2 給出7次震例的研究區(qū)域范圍(研究區(qū)域范圍同表1)、研究時(shí)段和所使用資料的起始震級M0，圖2為這7次震例前月時(shí)間尺度的M0以上地震累計(jì)次數(shù)的指數(shù)增長曲線。表1 給出的k值小于0.5，表2 給出的k值普遍大于1，部分震例的k值大于2，如1995年7月12日中緬交界7.3級、2008年5月12日四川汶川8.0級和2013年4月20日四川蘆山7.0級地震。由此可得，部分7級以上地震發(fā)生前地震累計(jì)次數(shù)的指數(shù)增長經(jīng)歷了2個(gè)階段，第一階段指數(shù)增長系數(shù)較小，而在臨近地震發(fā)生前的幾個(gè)月(即第二階段)指數(shù)增長系數(shù)增大，系數(shù)k>1，同時(shí)起始震級M0減小，表明孕震系統(tǒng)的不穩(wěn)定性增強(qiáng)。因此，地震累計(jì)次數(shù)的短期指數(shù)增長應(yīng)當(dāng)能夠作為一種地震預(yù)測的中短期指標(biāo)。然而，并非所有7級以上震例前都會(huì)出現(xiàn)地震累計(jì)次數(shù)的短期指數(shù)增長現(xiàn)象，本文研究的震例中出現(xiàn)地震累計(jì)次數(shù)的短期指數(shù)增長現(xiàn)象的比例為7/15。從地震累計(jì)次數(shù)指數(shù)增長的角度來看，尋找中短期預(yù)測指標(biāo)的難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于數(shù)年尺度的指標(biāo)。

注： 圖中箭頭指示地震發(fā)生時(shí)間圖2 7次震例地震累計(jì)次數(shù)的短期指數(shù)增長曲線(ML≥M0)

3 結(jié)論和討論

(1)本文首先討論了地震活動(dòng)的累計(jì)增長模型，得到在平穩(wěn)狀態(tài)下小地震發(fā)生近似服從泊松分布規(guī)律，大地震前地震累計(jì)頻次將會(huì)出現(xiàn)非線性特性。在此基礎(chǔ)上，給出15次7級以上地震前地震累計(jì)次數(shù)指數(shù)增長的震例，得到7級以上地震前小震累計(jì)次數(shù)存在數(shù)年尺度的非線性增長特性，發(fā)現(xiàn)部分7級以上地震前小震累計(jì)次數(shù)存在幾個(gè)月尺度的中短期非線性特性。

(2)選擇研究區(qū)域時(shí)應(yīng)能夠涵蓋發(fā)震構(gòu)造以及震源區(qū)范圍，并在此基礎(chǔ)上適當(dāng)調(diào)整。在本文的研究過程中，除2017年8月8日四川九寨溝7.0級地震外，選擇其他震例的研究區(qū)域時(shí)均較為順利。選擇2017年四川九寨溝7.0級地震的研究區(qū)域時(shí)，由于要避開2008年四川汶川8.0級和2013年四川蘆山7.0級地震的影響區(qū)域，是唯一選擇較為困難的震例。

(3)研究7級以上地震前小震累計(jì)次數(shù)數(shù)年尺度的非線性增長特性時(shí)，期望能夠得到非線性增長時(shí)間與震級之間的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式，但并未得到令人滿意的結(jié)果。究其原因，是由于震源區(qū)周圍的構(gòu)造應(yīng)力環(huán)境非常復(fù)雜，7級以上地震前小震累計(jì)次數(shù)數(shù)年尺度的非線性增長時(shí)間并非僅與震級有關(guān)。

(4)地震累計(jì)次數(shù)的非線性指數(shù)增長應(yīng)當(dāng)是大震前的一種異常指標(biāo)。在正?；顒?dòng)的背景下，起始震級M0以上地震的累計(jì)次數(shù)符合泊松規(guī)律，這就說明地震活動(dòng)在平穩(wěn)狀態(tài)下，累計(jì)次數(shù)曲線不具備非線性變化的特點(diǎn)，也說明圖1中各震例的地震累計(jì)次數(shù)指數(shù)增長曲線是大震前的一種異常變化。同時(shí)，部分7級以上地震前一定震級以上地震的累計(jì)次數(shù)存在幾個(gè)月尺度的短期非線性特性，可以作為地震預(yù)測的中短期指標(biāo)。