基于擴展加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的移動通信系統(tǒng)研究

趙子濤，宋志群，倪嘉昊，房宵杰，沙學(xué)軍

（1.中國電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所，石家莊050000；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院 哈爾濱150001）

加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（Weighted-type FRactional Fourier Transform，WFRFT）作為一種新型的數(shù)學(xué)變換，由Shih 首次提出［1］.由于變換后的信號同時包含單載波和多載波信號，因而信號能量在時頻域的分布兼具了單載波和多載波信號的特點.單載波信號中符號的能量集中于時隙，多載波信號中符號的能量集中于子載波，而變換后的信號中單個符號的能量可以同時分布在時隙以及頻點上，因此提出之后便獲得了廣泛的關(guān)注.文獻(xiàn)［2］中首次將其應(yīng)用于無線通信過程并提出了基于WFRFT 的混合載波（Hybird Carrier，HC）系統(tǒng)，并對其實現(xiàn)上的可行性進(jìn)行論證.在當(dāng)前的LTE 系統(tǒng)上行鏈路中，采用的是單載波頻分多址（Single Carrier Frequency Division Multiple Access，SC-FDMA）技術(shù)，而下行鏈路采用正交頻分復(fù)用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM）技術(shù).而混合載波系統(tǒng)可以被看作是以上兩者的拓展，能夠與當(dāng)下的LTE 系統(tǒng)相兼容［3］，并能顯著提高傳統(tǒng)處理算法的性能［4］.此外WFRFT 在通信系統(tǒng)的抗截獲［5］、保密性［6］上都有廣泛的應(yīng)用.

作為經(jīng)典WFRFT 的進(jìn)一步發(fā)展，文獻(xiàn)［7］提出了一種對加權(quán)系數(shù)約束性更低的加權(quán)變換理論：擴展加權(quán)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（Extended Weighted-type FRactional Fourier Transform，EWFRFT），文獻(xiàn)［8-9］由此構(gòu)成了擴展混合載波通信系統(tǒng).EWFRFT 放寬了經(jīng)典WFRFT 中加權(quán)系數(shù)的約束條件，在與經(jīng)典變換相兼容的同時［10］，保證了分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的一切性質(zhì)，還創(chuàng)造了新的信號形式，實現(xiàn)不同分量功率的任意比例分配.在不改變載波體制的情況下，可以選擇只保留兩項頻域分量或兩項時域分量，統(tǒng)稱為兩分量信號［11］.傳統(tǒng)的單載波和多載波信號中，單個符號的能量集中于一個時隙或頻點，而文獻(xiàn)［12］表明在衰落信道中，兩分量信號通過將信號能量分配在兩個相對獨立的時隙或頻點，從而獲得分集效果，保障通信傳輸質(zhì)量. 但對于其分集增益能力的強弱，EWFRFT 變換參數(shù)與接收端處理方式對兩分量信號的影響仍然處于模糊的認(rèn)識，缺少清晰的數(shù)學(xué)分析.

本文作者首先分析了兩分量信號的基本原理、抗衰落機制和信號模型；然后提出了基于兩分量的最大似然檢測和連續(xù)干擾消除的處理算法，并與經(jīng)典的線性處理算法進(jìn)行了對比分析；最后通過數(shù)值仿真驗證了本文所提算法的有效性.

1 兩分量信號基本理論

1.1 EWFRFT 與兩分量信號基本原理

EWFRFT 得以實現(xiàn)的基礎(chǔ)是離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT）.對于一個序列X0=[x0x1…xN-1]，記X1，X2，X3分別為X0進(jìn)行1 次，2 次，3 次 歸 一 化DFT 后 的 結(jié) 果，即X1=FX0，X2=F2X0，F(xiàn)為歸一化的DFT 矩陣.在擴展分?jǐn)?shù)階傅里葉變換中，輸入序列X0的變換結(jié)果Y為［5］

式中：F+即表示EWFRFT.變換中的加權(quán)系數(shù)ω+0，ω+1，ω+2，ω+3由四個角度系數(shù)θ0，θ1，θ2，θ3決定，其表達(dá)式為

式 中：角 度 系 數(shù)θl的 取 值 范 圍 是0 ≤θl＜2π，l=0，1，2，3.在保證角度系數(shù)相同時，EWFRFT 保證變換的可逆性：

其中

由 于F有 這 樣 的 性 質(zhì)：F0=I，F(xiàn)2=P，F(xiàn)3=F-1，I為單位陣，P為移位陣（對于一個長度為N的序列，P使得該序列首項不變，后N-1 項倒序排列）.因此式（1）中ω+0X0和ω+2X2被稱為X0的兩個時域分量，ω+1X1和ω+3X3被稱為兩個頻域分量.

文獻(xiàn)［7］指出，在一些條件下，會出現(xiàn)時域分量的加權(quán)系數(shù)ω+0，ω+2為零，或頻域分量的加權(quán)系數(shù)ω+1，ω+3為零的情況.

此時，變換后的信號中將只由兩個時域分量或只由兩個頻域分量構(gòu)成，將其稱為時域兩分量或頻域兩分量信號，統(tǒng)稱為兩分量信號.兩分量信號的構(gòu)成可以僅由移位模塊、兩個復(fù)數(shù)乘法模塊和至多一個DFT 模塊構(gòu)成，因此和現(xiàn)有的單載波和多載波系統(tǒng)相比，兩分量信號通信系統(tǒng)在硬件實現(xiàn)上不會有太多額外的開銷.

1.2 兩分量信號抗衰落機制

兩分量信號僅由時域或頻域信號及其反轉(zhuǎn)構(gòu)成.由于反轉(zhuǎn)信號的存在，原始信號實際上被復(fù)制并被重新排列，這意味著同一個符號的能量被分配到了多個位置.例如時域兩分量信號就可以將信號能量分配到兩個不同的時隙.如果此時的無線信道中存在時域衰落，某個時隙發(fā)生深度衰落時，對于單載波信號來說這個時隙上的符號能量則會完全損失，造成接收端接收信息的失真；而對于時域兩分量信號而言，這個符號的能量很有可能在另一個時隙得到完整的保存，從而在接收端有更大可能性將符號正確地解調(diào).

同理，與基于OFDM 的多載波系統(tǒng)相比，頻域兩分量信號將每個符號的能量分配到兩個不同的子載波上，從而提高了這個符號傳輸?shù)目煽啃?衰落信道中的常規(guī)信號如圖1 所示.

圖1 衰落信道中的常規(guī)信號Fig.1 Regular signal in fading channel

如圖1 所示，通常OFDM 系統(tǒng)中，發(fā)射端在頻域發(fā)送了一個長度為8 的序列{a1，a2，…，a8}.如果在頻域衰落信道中，第2 個子載波的頻點發(fā)生了深度衰落，則符號a2受此衰落影響，其能量完全損失.

假設(shè)傳輸?shù)脑夹畔⒑托诺蓝疾蛔儯盘栃蛄性趦煞至孔儞Q后，再經(jīng)過衰落信道的過程如圖2 所示.同樣在第2 個子載波發(fā)生深衰落，這一位置上的a2和a8受到影響.但是a2和a8另有一部分能量分布于信道狀況良好的第8 個子載波，這一部分的能量就可以得到保留.如果能將分散在兩個時隙的a2和a8重新聚合起來，就可以將每個符號的能量損失控制在可容忍的范圍，從而提高通信的可靠性.

圖2 衰落信道中的兩分量信號Fig.2 Double-component signal in fading channel

總的來看，兩分量信號應(yīng)用在衰落信道后，相當(dāng)于把原本集中于一個時隙或子載波上的衰落或畸變，分散到了兩個不同的位置.只有當(dāng)兩個位置都發(fā)生深衰時，信號能量才會完全丟失，這種類似于分集傳輸?shù)男Ч沟脙煞至啃盘柧邆淞丝顾ヂ淠芰?

1.3 兩分量信號模型

在以O(shè)FDM 技術(shù)為中心的通信系統(tǒng)中，信號的發(fā)射和接收過程分別經(jīng)歷了一次時頻域的變換，構(gòu)成了我們所熟悉的多載波通信信號.將其中的離散傅里葉逆變換替換為EWFRFT，就形成混合載波通信系統(tǒng)；EWFRFT 的角度系數(shù)滿足式（5）的條件時，就形成兩分量信號通信系統(tǒng).

無線信道的衰落包括時域衰落和頻域衰落.由于時域與頻域的對偶性，因而時域衰落信道中時域兩分量信號的處理過程與頻域衰落信道中頻域兩分量信號的處理過程在數(shù)學(xué)上是等價的.假設(shè)原始頻域信號中的兩個符號s1，s2調(diào)制在不同的子載波上，則其進(jìn)行兩分量變換后構(gòu)成的頻域兩分量信號中，這兩個子載波上信號為x1，x2，簡化表示為

式中：s為原始信號，s=[s1s2]T，上標(biāo)T 表示轉(zhuǎn)置，H 為共軛轉(zhuǎn)置；x為兩分量變換后的發(fā)射信號，x=[x1x2]T；W代表兩分量變換矩陣.

則相應(yīng)的兩分量逆變換可以表示為

式中：WH代表兩分量逆變換矩陣.由式（2）和式（4）可知

設(shè)發(fā)射信號x1，x2處的信道衰落系數(shù)分別為h1，h2，噪聲分別為n1，n2.n1，n2相互獨立，服從均值為0，方差為σ2n的復(fù)高斯分布.則對應(yīng)的接收信號r1，r2可以表示為

式中：H為信道矩陣，H=diag{h1，h2}；r為接收信號，r=[r1r2]T；n為接收信號中的噪聲，n=[n1n2]T，n1，n2服從彼此獨立、方差為的復(fù)高斯分布.

2 兩分量信號接收處理方法

2.1 線性處理方式

在多載波通信系統(tǒng)中，接收端對接收信號頻域均衡，之后再進(jìn)行FFT，將時域信號轉(zhuǎn)換為頻域.因此兩分量通信系統(tǒng)的接收端同樣可以以先均衡再逆變換的方式進(jìn)行.兩分量信號線性接收處理算法如圖3 所示.

圖3 兩分量信號線性接收處理算法Fig.3 Linear receiving and processing algorithm for doublecomponent signal

假設(shè)接收端已知信道狀態(tài)信息，則可以對接收信號進(jìn)行均衡，則均衡后的信號為

2.2 最大似然檢測

在檢測算法中，最大似然檢測算法（Maximum Likelihood，ML）是計算復(fù)雜度最高，通常也是性能最優(yōu)的算法.它的原理是對所有可能出現(xiàn)的發(fā)送信號進(jìn)行搜索，找到與接收信號似然比最大的發(fā)送信號.

設(shè)原始信號調(diào)制星座為S，即s=[s1s2]T中s1，s2∈S.在高斯噪聲環(huán)境下，其檢測后輸出信號的表達(dá)式為

式中：r表示實際接收信號.s?即為最大似然檢測得到的原始信號.理論上，這是兩分量信號的最佳處理方式，但其具體實現(xiàn)過程相對復(fù)雜，因此不作為兩分量信號通信系統(tǒng)中的主要處理方式.

2.3 連續(xù)干擾消除算法實現(xiàn)與性能分析

連續(xù)干擾消除算法（Successive Interference Cancellation，SIC）的基本思想是逐級地減去已知信號對剩余信號的干擾.SIC 算法對接收信號中的多個符號進(jìn)行判決，每當(dāng)檢測出一個符號，就在接收信號中減去這個符號對未檢測符號產(chǎn)生的影響，直到所有的符號都被檢測出來為止.

在SIC 算法中，后判決符號的正確性很大程度上依賴先判決符號的正確性.如果之前的符號判決出現(xiàn)錯誤，那么干擾消除過程所減去的信號也就是錯誤的，這反而會對之后的信號解調(diào)帶來更大的干擾，導(dǎo)致所謂的差錯傳播現(xiàn)象.因此，干擾消除中通常要優(yōu)先對信噪比較大的符號進(jìn)行判決.

兩分量信號的連續(xù)干擾消除算法框圖如圖4所示.

圖4 連續(xù)干擾消除算法處理兩分量信號Fig.4 Double-component signals processed by successive interference cancellation algorithm

其中可以分為以下環(huán)節(jié)：

1）線性均衡、兩分量逆變換.

這一部分與2.1 節(jié)中的處理方式一致，即對接收信號線性均衡后進(jìn)行兩分量逆變換.式（12）給出了逆變換得到的待解調(diào)信號表達(dá)式.

2）比較信噪比、判決.

這里假設(shè)γ(1)＞γ(2).則s?1的信干噪比更高，因此先對它進(jìn)行硬判決，判決后的結(jié)果為

表1 信干噪比比較結(jié)果Tab.1 Signal-to-noise ratio comparison results

3）補零、兩分量變換、信道衰落.

這一環(huán)節(jié)模擬了信號從形成、發(fā)射和接收的過程.補零操作實際上是將原始信號s中s2的位置替換為0，由此兩分量變換、與信道衰落相乘得到的結(jié)果r′=[r1′ r2′]T就與s2無關(guān)，完全代表了s1對接收信號的影響（如圖5 所示）.

圖5 補零、兩分量變換、信道衰落流程圖Fig.5 Flowchart of zero amendment, double-component transformation and channel fading

4）干擾消除.

為了在解調(diào)s2時避免s1的干擾，干擾消除過程中需要從接收信號減去s1的影響，即

5）類均衡、逆變換.

實際上，式（17）所示的最大比合并可以分成類均衡、逆變換兩個步驟進(jìn)行.首先需要將剩余信號分 別 乘 以 與 信 道 有 關(guān) 的 系 數(shù)，由 于 這 一 過 程 與線性均衡相似，暫名之為類均衡.類均衡后的結(jié)果為θ=[θ1θ2]T，則有

之后對θ進(jìn)行兩分量逆變換，將變換結(jié)果中s1所在位置的符號?舍去，s2所在位置的逆變換結(jié)果即為最大比合并的結(jié)果s?2.

兩個步驟的過程如圖6 所示.

圖6 兩分量信號最大比合并等效過程Fig.6 Equivalence process of double-component signal maximum ratio merging

3 仿真及分析

3.1 總體性能仿真

為了衡量不同接收端處理方式的性能，以及不同兩分量變換參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響，本文將傳統(tǒng)OFDM 信號以及不同接收處理方法的頻域兩分量信號在EPA 頻選信道中的性能進(jìn)行仿真對比，仿真條件為：NFFT 為2048，子載波帶寬為15 kHz，調(diào)制方式為QPSK，信道類型為EPA.仿真結(jié)果 如圖7（a）、圖7（b）所示.其 中 圖7（a）對 應(yīng) 兩 分量信號的變換參數(shù)的情況，而圖7（b）采用的變換系數(shù)仿真結(jié)果表明衰落信道中兩分量信號比常規(guī)信號有更好的誤碼性能.以及對于兩分量信號，最大似然檢測和連續(xù)干擾消除算法相比于線性處理算法的優(yōu)勢.

3.2 線性均衡與逆變換的兩分量信號

3.2.1 信干噪比分析

將矩陣WHGHW的對角線元素保留，其余元素置零，得到一個對角矩陣Λ；將WHGHW的對角線元素置零，其余元素保留，得到一個對角線元素均為零的矩陣DI；記DN=WHG.顯然WHGHW=DI+Λ，因此式（12）可改寫為

圖7 OFDM 與不同接收處理方式的頻域兩分量信號在頻選信道的誤碼率曲線Fig.7 Bit error rate curves of OFDM and different receving and processing of double-component signal in freqency selective channel

可見，經(jīng)過兩分量變換、信道衰落、均衡和逆變換后，得到的待解調(diào)信號s?是由三部分構(gòu)成的：其一是原始信號，對應(yīng)Λs項；其二是這一過程產(chǎn)生的符號 間 干 擾，即s1對s2、s2對s1造 成的 影 響，對 應(yīng)DIs項；其三是噪聲，對應(yīng)于DNn項.

用Λ(l，：)表示矩陣Λ第l行元素（l=1，2）構(gòu)成的行向量，那么s?的第l個符號中，原始信號部分的功率S(l)為

當(dāng)信道系數(shù)h1，h2的幅值|h1|，|h2|服 從 瑞 利 分布時，統(tǒng)計多個時刻符號的瞬時信干噪比，就能以仿真的方式得到γ(1)或γ(2)的概率密度函數(shù)（Probability Density Function，PDF）.

3.2.2 數(shù)值仿真

令接收信噪比Eb/N0=7 dB，當(dāng)采用不同的兩分量變換系數(shù)，將信號進(jìn)行MMSE 均衡和逆變換后解調(diào)信號的信干噪比分布如圖8 所示.

圖8 均衡后的兩分量信號瞬時信干噪比分布Fig.8 Balanced distribution of instantaneous signal-to-noise ratio for double-component signal

1）概率分布函數(shù)更加集中；

2）出現(xiàn)極低SINR 和較高SINR 的概率下降；

從整體效果上看，兩分量信號相當(dāng)于是將高SINR 和低SINR 的出現(xiàn)情況進(jìn)行了平均化.由于一般來說低SINR 對誤碼性能的影響更為顯著，因此可以獲得通信性能上的增益.

針對線性均衡后逆變換的接收機，兩分量信號變換參數(shù)ω+1，ω+3的不同會改變分配到兩個時隙的能量占比，從而對通信質(zhì)量造成影響.Eb/N0=10 dB 時頻選信道下不同變換系數(shù)的QPSK 調(diào)制信號誤比特率如圖9 所示.可以看到當(dāng)變換系數(shù)|ω+1|與|ω+3|接近時具有較好的性能.

圖9 線性處理兩分量信號性能隨參數(shù)的變化曲線Fig.9 Double-component signal performance after linear processing varies with parameters

3.3 最大似然檢測算法

3.3.1 理論分析

記兩個不同的原始信號：sp和sq，它們分別進(jìn)行兩分量變換后的發(fā)射信號xp=Wsp與xq=Wsq也總是不同的.可以從理論上推導(dǎo)接收端將發(fā)射信號xp=[xp1xp2]T混 淆 為xq=[xq1xq2]T的 差 錯 概率.在信道衰落H為確定值的條件下，可以將其視為高斯矢量檢測問題，其差錯概率為

實際上的信道系數(shù)h1，h2不是一個恒定值，而是隨著時隙和子載波的不同隨機變化，因此理論差錯概率應(yīng)當(dāng)是對不同信道H平均化的結(jié)果

根據(jù)式（29）可知，采用最大似然檢測方法處理兩分量信號時的差錯概率與參量|e1|，|e2|有關(guān)，|e1|，|e2|越小，差錯概率越大，ML 檢測的誤碼率越高.|e1|，|e2|的物理意義可以用發(fā)射信號在星座圖上的距離解釋.

以QPSK 調(diào)制的原始信號為例，在它經(jīng)過變換系數(shù)為ω+1，ω+3的兩分量變換后，其星座圖會發(fā)生變化.設(shè)原始信號星座圖上的點構(gòu)成的集合為S={1，j，-1，-j}，則變換后信號的星座圖大致如圖10 所示.

圖10 兩分量信號的星座分裂Fig.10 Constellation splitting of double-component signals

由e1，e2的 定 義e1=xp1-xq1，e2=xp2-xq2，|e1|，|e2|可以被認(rèn)為是變換域星座圖中兩點間的距離.在某種變換系數(shù)下，原始信號分別為sp=[1 1]T與sq=[j-j]T時，變換后信號的距離e1，e2在分裂 的星座圖 如圖11 和 圖12 所示.

圖11 變換域信號在星座圖上的距離示意Fig.11 Schematic diagram of distance between transformdomain signals in constellation plot

根據(jù)式（29），對于兩個不同的原始信號，它們在接收端的概率混淆與星座圖上的距離有關(guān).在分辨sp，sq時，可以同時利用e1和e2作為判決的依據(jù).

圖12 發(fā)生重合時變換域信號在星座圖的距離示意Fig.12 Schematic diagram of distance between transformdomain signal in constellation plot when coincident occurs

此時，僅僅從第一個接收信號無法分辨出原始信號究竟是sp還是sq，只能從第2 個符號進(jìn)行判決，因此這種情況下的誤碼率比無重合的情況較高.

式中：|X|為X中星座點的數(shù)量進(jìn)行分割.

3.3.2 數(shù)值仿真

通過計算，可以得到原始信號在QPSK 調(diào)制時，隨著變換系數(shù)的改變，星座點平均距離avg(|e|)的變化，如圖13所示.

圖13 QPSK 星座分裂后平均距離Fig.13 Average distance after QPSK constellation splits

根據(jù)式（29），隨著變換系數(shù)的改變，平均距離越大，兩分量信號的最大檢測算法性能越好.因此最大似然檢測算法性能與平均距離avg(|e|)成負(fù)相關(guān).

圖14 最大似然檢測算法性能隨參數(shù)的變化Fig.14 Performance of likelihood maximum detection algorithm varies with parameters

3.4 干擾消除算法

3.4.1 信干噪比分析

3.4.2 數(shù)值仿真

為了衡量變換系數(shù)的影響，令信道衰落系數(shù)h1，h2為一個確定值，并對先判決符號和后判決符號的信干噪比進(jìn)行比較.在|h1|=1.03，|h2|=0.39，的條件下，可以得到以及對應(yīng)符號的誤碼率隨變換系數(shù)的變化情況.

在變換系數(shù)|ω+1|∶|ω+3|從0∶10 調(diào)整到4∶6 的過程中，各個符號的信干噪比有這樣的變化：

1）先判決符號的信干噪比γ先原本較高，隨著變換系數(shù)的改變開始下降；

2）后判決符號的信干噪比γ?后原本較低，但隨著變換系數(shù)的改變開始上升.

信噪比原本就很大時，單位信噪比的變換對誤碼率的影響不明顯，而信噪比原本就比較小時，單位信噪比的提升都會對誤碼率有明顯的改善.因此在這一范圍內(nèi)，后判決符號的改善作用是主導(dǎo)的，干擾消除算法的整體性能是有明顯提升的.

在變換系數(shù)達(dá)到4∶6 左右時，情況發(fā)生了改變：先判決符號與后判決符號的相對大小發(fā)生了改變.在|ω+1|∶|ω+3|從4∶6 調(diào)整到5∶5 的過程中，先判決符號的信干噪比下降是主導(dǎo)的，引起了干擾消除算法整體誤碼率的惡化.具體分析如圖15 所示.

對于連續(xù)干擾消除算法，兩分量信號變換參數(shù)ω+1，ω+3的變化對先判決符號和后判決符號的信干噪比造成了不同的影響，從而改變了整體的誤碼性能.Eb/N0=10 dB 時頻域衰落信道下不同變換系數(shù)的QPSK 調(diào)制信號誤比特率如圖16 所示.仿真結(jié)果隨著變換系數(shù)|ω+1|∶|ω+3|從0∶10 提升到5∶5，整體誤碼率呈現(xiàn)出先下降再上升的變化趨勢.

圖15 確定性信道下干擾消除前后各符號性能變化Fig.15 Change in configration of each symbol before and after the interference elimination under deterministic channel

圖16 連續(xù)干擾消除算法性能隨參數(shù)的變化Fig.16 Performance of continuous interference elimination algorithm varies with parameters

5 結(jié)論

1）在兩分量信號通信系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，采用仿真與理論分析相結(jié)合的方法，對兩分量信號的3 種不同接收端處理方法的機理分別進(jìn)行了討論.

2）對于先均衡再逆變換的線性處理方法，從瞬時信干噪比分布的角度證明了兩分量變換的信號能量平均化效果.相比之下，本文同時提出的最大似然檢測和連續(xù)干擾消除算法有較高的復(fù)雜度，但隨著兩分量變換參數(shù)的改變有機會取得更好的性能.

下一步的研究中，將探索EWFRFT 在提高通信系統(tǒng)可靠性的更廣泛應(yīng)用，以及復(fù)雜度更低、性能更好的兩分量信號能量合并方法.