逐階自我訓(xùn)練 提升數(shù)學(xué)教師質(zhì)疑水平

葉新和 (江蘇省泰州醫(yī)藥高新區(qū)(高港區(qū))教育局 225300)

陳 鋒 (江蘇省無錫市太湖格致中學(xué) 214125)

1 問題的提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》以及《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》都在課程目標(biāo)中提出：通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力．[1]8，[2]然而現(xiàn)實(shí)情況并不理想，人大復(fù)印資料《初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》2020年第4期(專題：問題提出能力研究)的“編者按”指出：通過各類測評和調(diào)研發(fā)現(xiàn)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力相對薄弱，而且很多教師對于引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度提出問題也缺乏有效的策略．[3]

筆者以為，之所以出現(xiàn)上述情況，主要原因在于教師自身質(zhì)疑能力不夠．要有效改變現(xiàn)狀，首先要從提升教師自身質(zhì)疑水平做起．

2022年2月19日，筆者登錄“中國國家圖書館”讀者門戶云平臺(tái)，在“期刊”欄選擇“中國人民大學(xué)復(fù)印報(bào)刊資料”進(jìn)行“高級搜索”：“數(shù)據(jù)庫”選擇“全文數(shù)據(jù)庫”，“時(shí)間”選擇“1995—2021”，“學(xué)科分類”選擇“全選”，“關(guān)鍵詞”為“質(zhì)疑”并且“教師”，在“精確”與“模糊”中選擇“模糊”，得到592條搜索結(jié)果，其中有4條與培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑能力有關(guān)，有1條部分內(nèi)容對培養(yǎng)政治教師的質(zhì)疑能力有所啟迪，不過難以遷移．在中國知網(wǎng)選擇“核心期刊”進(jìn)行搜索，沒有搜索到涉及教師自身質(zhì)疑能力培養(yǎng)的文獻(xiàn)．

看來對數(shù)學(xué)教師自身質(zhì)疑能力的關(guān)注與培養(yǎng)目前可能是空白．通過一定訓(xùn)練不斷提升數(shù)學(xué)教師自身的質(zhì)疑水平雖然難度較大但既有價(jià)值也很必要．

2 進(jìn)階訓(xùn)練的探索

筆者試圖從“內(nèi)化”與“生長”兩個(gè)角度來探索進(jìn)階訓(xùn)練的方法．“內(nèi)化”指消化、吸收外界信息，結(jié)合到已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中．“生長”指觀點(diǎn)、思路等由自身萌芽、發(fā)展而來．建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)過程是學(xué)生自己主動(dòng)建構(gòu)知識的過程．在新知識的學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往基于以往經(jīng)驗(yàn)去推出合乎邏輯的假設(shè)，新知識是以已有知識經(jīng)驗(yàn)為生長點(diǎn)而“生長”起來的．[4]學(xué)習(xí)者在消化吸收或者在主動(dòng)建構(gòu)時(shí)可能遇到矛盾信息或者產(chǎn)生困難，此時(shí)如能進(jìn)行審視與反思，產(chǎn)生的疑惑得以確認(rèn)便會(huì)萌發(fā)“質(zhì)疑”意識，在有意識訓(xùn)練中會(huì)不斷發(fā)展“質(zhì)疑”能力．

2.1 初級水平進(jìn)階訓(xùn)練

具備一定的質(zhì)疑意識為初級水平，其表現(xiàn)為：對遇到的部分情境或者事情，會(huì)就其中的某個(gè)環(huán)節(jié)或者某個(gè)方面表示疑惑或者質(zhì)疑，能夠說出自己之所以有這樣感覺的原因或者部分理由．可試從以下方面進(jìn)行訓(xùn)練．

(1)閱讀、學(xué)習(xí)商榷類文獻(xiàn)

在中國知網(wǎng)“學(xué)術(shù)期刊”中“主題”選擇“問題商榷”，“學(xué)科”選擇“中等教育”進(jìn)行搜索，可得到諸多文獻(xiàn)，仔細(xì)閱讀、感受進(jìn)而形成質(zhì)疑意識．

(2)對試題及其解答進(jìn)行質(zhì)疑

不妨從質(zhì)疑中考試題、教材例習(xí)題開始．日常教研中發(fā)現(xiàn)很多一線教師認(rèn)為中考試題不會(huì)有科學(xué)性問題，更是從未懷疑過教材中例習(xí)題會(huì)有問題，但實(shí)際上存在“千慮一失”的可能性．一旦教師發(fā)現(xiàn)有文獻(xiàn)指出或者自行發(fā)現(xiàn)其中存在問題，那么其思想上受到的沖擊會(huì)比較大，容易逐步樹立質(zhì)疑的意識．

對于具體試題而言，試題是否科學(xué)、答案是否正確、解法是否簡潔客觀性比較強(qiáng)，容易形成共識，可以從這些角度來進(jìn)行質(zhì)疑以提升數(shù)學(xué)教師自身質(zhì)疑意識．

案例1以下內(nèi)容選自某教材，試加以質(zhì)疑．

1)例題：2007年10月24日，我國成功發(fā)射“嫦娥1號”探月衛(wèi)星，經(jīng)繞地調(diào)相軌道、地月轉(zhuǎn)移軌道飛行后，“嫦娥1號”于11月7日順利進(jìn)入繞月工作軌道，共飛行326 h，行程約1 800 000 km，其中在地月轉(zhuǎn)移軌道飛行了436 600 km．試用科學(xué)記數(shù)法表示這兩個(gè)行程．解：1 800 000 km=1.8×106km， 436 600 km=4.366×105km．[5]53

2)練習(xí)：用科學(xué)記數(shù)法表示下數(shù)：地球的半徑大約為6 400 km．習(xí)題：用科學(xué)記數(shù)法表示下數(shù)：同步衛(wèi)星在赤道上空大約36 000 000 m．[5]53-54教師用書中相應(yīng)答案分別為6.4×103km,3.6×107．[6]53-54

分析 根據(jù)教材定義“一個(gè)大于10的數(shù)可以寫成a×10n的形式，其中1≤a<10，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法稱為科學(xué)記數(shù)法”[5]52可知科學(xué)記數(shù)法表示的是“數(shù)”．“行程”是“量”，不是“數(shù)”，“用科學(xué)記數(shù)法表示行程”說法欠妥，建議修改為“試用科學(xué)記數(shù)法表示1 800 000,436 600”，解答過程為： 1 800 000=1.8×106，436 600=4.366×105．練習(xí)答案應(yīng)該將單位去掉，為6.4×103．習(xí)題答案正確．

2.2 中級水平進(jìn)階訓(xùn)練

具備一定的質(zhì)疑能力視為中級水平，通常表現(xiàn)為：對遇到的部分情境或者事情，會(huì)對其中的某些環(huán)節(jié)或者某些方面表示質(zhì)疑，能從邏輯角度利用推理(包括合情推理)的方式說出原因或者理由．可試從以下方面進(jìn)行訓(xùn)練：

(1)學(xué)習(xí)邏輯方面的有關(guān)知識、方法

閱讀入門類著作,如楊樹森編著的《普通邏輯學(xué)》(第四版)，并努力應(yīng)用于審視日常生活中的行為、觀念等．

案例2以下內(nèi)容選自某教育專著，試判斷表述是否符合邏輯．

1)教師的工作不是傳授知識，也不是促進(jìn)學(xué)習(xí)，而是為學(xué)生營造有效的學(xué)習(xí)環(huán)境．有效學(xué)習(xí)環(huán)境的關(guān)鍵特征是，它們能讓學(xué)生參與進(jìn)來，讓教師、學(xué)習(xí)者及其同伴確保學(xué)習(xí)朝著預(yù)期的方向進(jìn)行．[7]69

2)本章提供了一些教師可用的向?qū)W生提供促進(jìn)學(xué)習(xí)的反饋的實(shí)用技術(shù)．[7]152

分析 “不是促進(jìn)學(xué)習(xí)，而是為學(xué)生營造有效的學(xué)習(xí)環(huán)境”，表述自相矛盾．作者認(rèn)為“有效學(xué)習(xí)環(huán)境”能夠“確保學(xué)習(xí)朝著預(yù)期的方向進(jìn)行”，這表明“營造有效的學(xué)習(xí)環(huán)境”(手段)能夠“促進(jìn)學(xué)習(xí)”(目的)．

“教師給學(xué)生提供促進(jìn)學(xué)習(xí)的反饋”，這與“教師的工作不是促進(jìn)學(xué)習(xí)”相矛盾．

“教師的工作不是傳授知識，也不是促進(jìn)學(xué)習(xí)”與事實(shí)矛盾．實(shí)際上傳授知識、促進(jìn)學(xué)習(xí)都應(yīng)該是教師的工作，只不過后者更加重要．

(2)評價(jià)權(quán)威試題的編擬

對權(quán)威試題的編擬進(jìn)行評價(jià)，主觀性比較強(qiáng)，要提出令人信服的不同看法甚至加以否定，難度往往會(huì)比較大，評價(jià)者的質(zhì)疑水平通常要比較高．評價(jià)的角度可以有多個(gè)．如果是中考試題，那么可從試題的信度、效度、難度、導(dǎo)向作用等角度來進(jìn)行評價(jià)．如用于教學(xué)，則要站在學(xué)生立場來評價(jià)，如例習(xí)題的編寫安排是否符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、解答所需要的數(shù)學(xué)“四基”是否超出學(xué)生的接受能力，等等．

案例3以下為某九年級教材中的例題及解答，試進(jìn)行質(zhì)疑．

例題：如圖1，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6 m，其中水面高0.3 m．求截面上有水部分的面積(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)．

圖1 圖2

解：如圖2，連結(jié)OA,OB，作弦AB的垂直平分線，垂足為D，交弧AB于點(diǎn)C，連結(jié)AC．

分析 水面是平面，“水面高”指水面和與之平行的參考平面間的距離，距離的確定要應(yīng)用立體幾何有關(guān)知識，這已超出九年級學(xué)生的接受能力．題目中僅告知“水平放置”，未指明參考平面，故線段CD長未必等于水面高，建議將“水面高”改為“水的最大深度”，解答時(shí)進(jìn)行必要說明．

案例4以下內(nèi)容選自某七年級教材與教師用書，試對試題及解答進(jìn)行質(zhì)疑．

試題：桌子上有3只杯口朝上的茶杯，每次翻轉(zhuǎn)2只，能否經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)使這3只杯子的杯口全部朝下？7只杯口朝上的茶杯，每次翻轉(zhuǎn)3只，能否經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)使這7只杯子的杯口全部朝下？如果用“+1”“-1”分別表示杯口“朝上”“朝下”，你能用有理數(shù)的運(yùn)算說明理由嗎？[5]63

答案：設(shè)杯口朝上記為“正”，3只杯口朝上的茶杯記為+1，+1，+1，這3個(gè)數(shù)的乘積為+1．每翻轉(zhuǎn)2只杯子，即改變3個(gè)數(shù)中2個(gè)的符號，這3個(gè)數(shù)的乘積仍為+1.所以，3只杯口朝上的杯子，每次翻轉(zhuǎn)2只，不能使杯口都朝下；7只杯口朝上的茶杯，每次翻轉(zhuǎn)3只，可以經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)使杯口全部朝下．[6]63

分析 “每翻轉(zhuǎn)2只杯子，即改變3個(gè)數(shù)中2個(gè)的符號”，對此表述學(xué)生感到難以理解：“翻2只杯子”跟“改變2個(gè)數(shù)的符號”有什么關(guān)系？這需要分為兩步來理解．

首先要理解茶杯翻轉(zhuǎn)效果：翻轉(zhuǎn)1次茶杯，相當(dāng)于將表示杯口方向的數(shù)進(jìn)行1次乘以-1的運(yùn)算．或許可以這樣來幫助學(xué)生理解：翻轉(zhuǎn)1次茶杯，“杯口朝向”發(fā)生了改變，對應(yīng)地，數(shù)a乘以-1得到其相反數(shù)-a．翻轉(zhuǎn)奇數(shù)次，杯口朝向發(fā)生改變；翻轉(zhuǎn)偶數(shù)次，杯口朝向不變．相對應(yīng)地，(-1)2n+1結(jié)果為 -1，(-1)2n結(jié)果為+1．其次要理解乘法原理,原理內(nèi)容可借助實(shí)例來理解．因?yàn)殛P(guān)注的是“所有杯口的朝向”，改變其中一只的朝向只是完成任務(wù)的一個(gè)步驟，要應(yīng)用乘法原理來解決,這樣，“1次翻轉(zhuǎn)2只杯子”看成是其中的2個(gè)數(shù)同時(shí)乘以-1，或者說“改變其中2個(gè)的符號”．

基于上述分析，筆者以為試題的解答是超出七年級學(xué)生接受能力的．

用“+1”表示杯口“朝上”時(shí)“朝下”用“-1”表示，這是需要推理的，編者直接給出，其意圖可能是為減少學(xué)生理解難度，不過因?yàn)闆]有揭示出翻轉(zhuǎn)茶杯的效果，意圖難以達(dá)成.也許可做如下修改：如果用“+1”表示杯口“朝上”，翻轉(zhuǎn)一次茶杯相當(dāng)于將表示杯口的數(shù)乘以-1，你能用有理數(shù)的乘法運(yùn)算說明理由嗎?

2.3 高級水平進(jìn)階訓(xùn)練

當(dāng)質(zhì)疑成為思維方式時(shí)，往往意味著質(zhì)疑能力已達(dá)到高級水平，可從廣度、深度層面進(jìn)行描述：對所遇到的事情或者情境，習(xí)慣于找出行為背后隱含的假設(shè)或者觀念，習(xí)慣于審視之后再接受或者反對，有足夠證據(jù)來支撐自己觀點(diǎn)．可試從以下方面進(jìn)行訓(xùn)練：

(1)學(xué)習(xí)系統(tǒng)思維、辯證思維等有關(guān)論著，如《思維力：高效的系統(tǒng)思維》(王世民)、《哲學(xué)思維方式與領(lǐng)導(dǎo)工作方法》(韓慶祥等)，自覺用于審視日常教育教學(xué)、教科研中行為、觀念以及背后隱藏的假設(shè)，等等．

(2)對教材內(nèi)容的編寫提出自己的不同看法，并努力提供比較充分的理由或者證據(jù)．對教材內(nèi)容的編寫進(jìn)行質(zhì)疑，主要從是否超出學(xué)生的接受能力、是否符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、能否更好地突顯學(xué)科育人價(jià)值、能否改進(jìn)與優(yōu)化等方面思考．

案例5以下為某版本教材中“平方根”主要內(nèi)容[9]，試進(jìn)行質(zhì)疑與修改．

第1課時(shí)：

(1)情境：試計(jì)算小方格紙中線段AB,A′B′的長.提出問題：研究當(dāng)x2=a時(shí)，x是什么數(shù)？(2)探索活動(dòng).(3)引入平方根定義與表示.(4)探索平方根的特征.(5)例題教學(xué)，例1：求一個(gè)正數(shù)的平方根．

第2課時(shí)：

(1)算術(shù)平方根定義.(2)例題教學(xué)，例2：求正數(shù)的算術(shù)平方根；例3：判斷含根號的式子是否有意義；例4：解決簡單的實(shí)際問題．

分析 此處內(nèi)容的編排給人感覺在牽著學(xué)生鼻子走：在學(xué)生經(jīng)驗(yàn)中線段長只能是正數(shù)，而正數(shù)的平方根有一正一負(fù)兩個(gè)．利用線段長作為平方根情境，這與學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)不一致，接受會(huì)有難度．當(dāng)學(xué)生調(diào)節(jié)已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)剛接受平方根知識時(shí)，接著學(xué)習(xí)算術(shù)平方根，回到結(jié)果是一個(gè)的情形，又要再次調(diào)整認(rèn)知結(jié)構(gòu)．此時(shí)再看情境，難免認(rèn)為“平方根”定義與特征的學(xué)習(xí)是多此一舉．

案例6試將案例4中“翻茶杯”問題修改為數(shù)學(xué)活動(dòng)素材以體現(xiàn)學(xué)科育人價(jià)值．

分析 從“學(xué)科育人”角度看，學(xué)生不斷在操作中試著用數(shù)學(xué)的眼光來觀察、用數(shù)學(xué)的思維來思考、用數(shù)學(xué)的語言來表達(dá)，從而逐步發(fā)展學(xué)科關(guān)鍵能力、提升學(xué)科核心素養(yǎng)．試提供一種活動(dòng)素材如下：

(1)7只杯口朝上的茶杯，每次翻轉(zhuǎn)3只，能否經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)使這7只杯子的杯口全部朝下?如能，提供一種翻轉(zhuǎn)方法．

(2)桌子上有3只杯口朝上的茶杯，每次翻轉(zhuǎn)2只，能否經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)使這3只杯子的杯口全部朝下?如果不能，試說明理由．

(3)如果杯子為7只，每次翻轉(zhuǎn)2只呢？

(4)如果杯子只數(shù)為奇數(shù)，每次翻轉(zhuǎn)2只，你有何猜測？試說明你的猜測是正確的．

(5)如果杯子只數(shù)為7數(shù)，每次翻轉(zhuǎn)4只，你有何猜測？試說明你的猜測是正確的．

(6)如果杯子只數(shù)為奇數(shù)m，每次翻轉(zhuǎn)n只(其中m>n，n為偶數(shù))，你有何猜測？你能夠說明猜測是正確的嗎?

(7)如果杯子只數(shù)為m，每次翻轉(zhuǎn)n只(其中m,n為正整數(shù)，m>n)，你能夠提出數(shù)學(xué)問題嗎？

第(2)問可以通過試驗(yàn)得解：最初狀態(tài)為“3上”，第1次翻轉(zhuǎn)后為“2下、1上”，此時(shí)無論選擇哪2只翻轉(zhuǎn)，要么是回到“3上”狀態(tài)，要么還是“2下、1上”狀態(tài)，均為無效翻轉(zhuǎn)，因此不可能變成“3下”情況．

第(3)問中杯子個(gè)數(shù)較多，再用試驗(yàn)的方法解答會(huì)比較繁瑣.引導(dǎo)學(xué)生回顧、分析第(2)問中試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)不考慮茶杯位置影響時(shí)有兩種無效翻轉(zhuǎn)：一是將杯口分別朝上、朝下的茶杯各翻轉(zhuǎn)1次；二是將杯口方向相同的茶杯翻轉(zhuǎn)2次．利用該結(jié)論可以比較簡便地解答第(3)問：翻轉(zhuǎn)3次后為“6下、1上”，此時(shí)選擇“1下、1上”或者“2下”進(jìn)行翻轉(zhuǎn)都是無效翻轉(zhuǎn)，所以不可能全部朝下．該思路可用于解答 問題(4)．

當(dāng)一次翻轉(zhuǎn)4只茶杯時(shí)，進(jìn)行第二次翻轉(zhuǎn)便需要分類討論，第(5)問用試驗(yàn)的方法會(huì)不勝其繁．仍然回顧、分析問題(2)中翻轉(zhuǎn)，研究翻轉(zhuǎn)次數(shù)可以發(fā)現(xiàn)：杯口要改變朝向，每只茶杯要翻轉(zhuǎn)奇數(shù)次，3個(gè)奇數(shù)相加，和仍然為奇數(shù)．每次翻轉(zhuǎn)2只，翻轉(zhuǎn)正整數(shù)次，翻轉(zhuǎn)總次數(shù)均為偶數(shù)．由于偶數(shù)不可能等于奇數(shù)，因此不可能杯口全部朝下．該思路考慮的是必要條件，必要條件滿足不了，當(dāng)然無法完成要求，由于沒有考慮充分條件因此顯得比較簡潔．在不斷翻轉(zhuǎn)中繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生觀察、體會(huì)，發(fā)現(xiàn)翻轉(zhuǎn)1次茶杯，其效果相當(dāng)于將表示杯口方向的數(shù)乘以-1，在此基礎(chǔ)上再讓學(xué)生理解用有理數(shù)乘法運(yùn)算解答的思路會(huì)容易些．這兩種思路都容易遷移用于解決問題(6)．

3 說明與建議

(1)提升質(zhì)疑水平，重要的是多學(xué)習(xí)、多運(yùn)用．要盡可能多閱讀經(jīng)典著作或者權(quán)威文獻(xiàn)，以盡快形成自身正確的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和完善的思維方式．運(yùn)用時(shí)可以選擇熟悉的內(nèi)容進(jìn)行，還要重視對自身的質(zhì)疑．要努力尋找出隱含在行為背后的假設(shè)再質(zhì)疑．因?yàn)橛^念決定行為，不少時(shí)候?qū)徱曅袨楸澈箅[藏的假設(shè)往往能夠發(fā)現(xiàn)問題．

(2)形成質(zhì)疑習(xí)慣，養(yǎng)成質(zhì)疑的思維方式，意味著不被表象所迷惑或者誤導(dǎo)，對于外界信息會(huì)進(jìn)行符合邏輯的判斷與推理，形成正確的、深刻的認(rèn)識．既不要為質(zhì)疑而質(zhì)疑，也不要滿足于質(zhì)疑，對于發(fā)現(xiàn)的問題要努力提出建設(shè)性解決辦法，以有效提升自身能力的同時(shí)具有較好的應(yīng)用價(jià)值．

(3)提升教師自身質(zhì)疑能力主要意圖是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題能力．學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)[1]7，教學(xué)中要指向?qū)W生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)，為國家培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神的人才．

(4)筆者試圖提供有效訓(xùn)練思路，對涉及的教材內(nèi)容也盡可能給出改進(jìn)建議．思路適用性如何，建議是否妥當(dāng)，歡迎讀者質(zhì)疑．此外，是否有其他有效訓(xùn)練方法，感興趣者可以繼續(xù)研究．