基于數(shù)學(xué)方法論的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計與反思
——以“橢圓的簡單幾何性質(zhì)(第1課時)”為例*

何曉勤 (江蘇省昆山市柏廬高級中學(xué) 215300)

1 引言

數(shù)學(xué)方法論是研究和討論數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律、數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)造等法則的一門學(xué)問.[1]《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》指出：數(shù)學(xué)教育承載著落實立德樹人根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育的功能.數(shù)學(xué)教育幫助學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和進一步學(xué)習(xí)所必需的數(shù)學(xué)知識、技能、思想和方法；提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達世界.[2]用數(shù)學(xué)方法論指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)是推進素質(zhì)教育和培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種重要途徑.下面以“橢圓的簡單幾何性質(zhì)(第1課時)”的教學(xué)設(shè)計為例，對用數(shù)學(xué)方法論指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)進行嘗試.

2 基本情況分析

2.1 學(xué)情分析

授課對象為江蘇省三星級普通高中高二理科班，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，具備一定的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).學(xué)生在以前的學(xué)習(xí)中曾簡單運用代數(shù)方法研究過圓的性質(zhì)及函數(shù)的性質(zhì)等，有一定的研究基礎(chǔ)，但真正系統(tǒng)地利用代數(shù)方法研究曲線性質(zhì)還是第一次.

2.2 教材分析

本節(jié)課是新人教A版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第三章“圓錐曲線的方程”第一節(jié)“橢圓”中的“3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)”第1課時.課程標準中對“橢圓”這一節(jié)的目標要求是：經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質(zhì).教材前一節(jié)內(nèi)容是橢圓的定義與標準方程，本節(jié)課學(xué)習(xí)運用代數(shù)方法研究橢圓的幾何性質(zhì)，為后續(xù)研究雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)乃至一般曲線的性質(zhì)起到重要的示范作用.

2.3 教學(xué)目標定位

結(jié)合課程標準和上述分析，確定教學(xué)目標如下：(1)能在直觀認識橢圓的幾何特征的基礎(chǔ)上，用橢圓的標準方程推導(dǎo)出橢圓的范圍、對稱性、頂點、離心率等簡單幾何性質(zhì)；(2)通過方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，體會用曲線的方程研究曲線性質(zhì)的方法，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等素養(yǎng).

2.4 教學(xué)重點和難點

教學(xué)重點 橢圓的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率等).

教學(xué)難點 通過橢圓的標準方程研究橢圓的幾何性質(zhì)；理解橢圓的離心率.

2.5 教法教具分析

設(shè)計探究問題，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進行自主探究和合作探究；利用現(xiàn)代教學(xué)手段，關(guān)注教學(xué)內(nèi)容與現(xiàn)代教育手段的合理整合.利用幾何畫板軟件感受動態(tài)過程，利用實物投影儀投影學(xué)生的作圖情況，提高課堂效率.

3 教學(xué)過程設(shè)計

3.1 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

問題1前面學(xué)習(xí)了橢圓的哪些知識？接下來要研究什么？

生：我們學(xué)習(xí)了橢圓的定義和標準方程，接下來需要研究橢圓的幾何性質(zhì).

追問：如何研究橢圓的幾何性質(zhì)？研究橢圓的哪些性質(zhì)呢？

生1：通過“畫圖→觀察→猜想→證明”來研究橢圓的形狀、大小、對稱性、特殊點等.

(考慮到時間問題，課前預(yù)習(xí)已經(jīng)布置學(xué)生畫好橢圓了)

設(shè)計意圖從數(shù)學(xué)內(nèi)部提出問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧橢圓的定義和方程，并引出今天的研究任務(wù)——橢圓的簡單幾何性質(zhì).明確研究的基本思路和方法是先“形”后“數(shù)”，即在觀察圖形的形狀和特征的基礎(chǔ)上提出猜想，再通過橢圓的標準方程進行計算和推理,提升歸納猜想能力，體會數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

3.2 數(shù)學(xué)探究，解決問題

探究點1橢圓的范圍.

問題2橢圓的范圍是指什么？它具有怎樣的范圍？能用方程給出證明嗎？

通過討論得出，利用代數(shù)的方法研究曲線的范圍就是利用方程確定曲線上點的橫、縱坐標的取值范圍.

學(xué)生活動1 畫出直線x=±a和y=±b所圍成的矩形區(qū)域，體驗橢圓的范圍.

師：由此可見，橢圓位于直線x=±a和y= ±b所圍成的矩形區(qū)域(含邊界)內(nèi).研究橢圓的范圍給我們帶來了方便，如便于畫橢圓的草圖.

設(shè)計意圖明確研究曲線的范圍實質(zhì)上是研究什么以及怎樣進行研究.學(xué)生先觀察圖形歸納出橢圓的范圍，再利用方程進行證明，體會到方程研究性質(zhì)的作用，最后再作圖體驗范圍的應(yīng)用，體現(xiàn)了“形→數(shù)→形”的探究過程.

探究點2橢圓的對稱性.

問題3觀察橢圓的形狀，它具有怎樣的對稱性？在平面直角坐標系中，如何證明一個圖形關(guān)于坐標軸或原點對稱呢？

由于學(xué)生對利用代數(shù)法證明圖象的對稱性不熟悉，教師進一步追問引導(dǎo)學(xué)生思考.

(指明圖形對稱的本質(zhì)是點的對稱，強調(diào)“任意取一點”，并引導(dǎo)學(xué)生從方程角度判斷曲線的對稱性)

橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心.

設(shè)計意圖明確曲線對稱性的實質(zhì)以及怎樣通過方程判斷曲線是否關(guān)于坐標軸或原點對稱.學(xué)生由形歸納出橢圓的對稱性不難，但用代數(shù)法證明具有一定的難度；通過追問引導(dǎo)，讓學(xué)生感知如何通過方程來研究橢圓的對稱性.

探究點3橢圓的頂點.

生5：結(jié)合圖形，得出x軸和y軸為橢圓的對稱軸，故橢圓與x軸和y軸的四個交點稱為橢圓的頂點.

教師通過舉出坐標軸不為對稱軸的橢圓，讓學(xué)生體會橢圓與其對稱軸的交點稱為橢圓的頂點.同時，引出橢圓的長軸和短軸的概念，明確方程中參數(shù)a,b的幾何意義.

設(shè)計意圖明確曲線頂點的含義以及通過方程研究曲線頂點的思路和方法.

設(shè)計意圖學(xué)生動手操作，運用幾何性質(zhì)作出橢圓的草圖，進一步體會數(shù)形結(jié)合思想.給出的兩個橢圓的“圓扁”程度不同，為下面引入橢圓的離心率埋下伏筆.

探究點4橢圓的離心率.

追問：離心率e的大小如何影響橢圓“扁”的程度呢？

(先獨立思考，再小組合作探究)

生8：(提出猜想)離心率越小，橢圓越接近于圓；離心率越大，橢圓越扁.

生9：(實驗操作)用幾何畫板驗證猜想的正確性.

設(shè)計意圖曲線的形狀是曲線的重要性質(zhì)，它是由曲線方程的參數(shù)確定的.以此為載體，既學(xué)習(xí)如何刻畫橢圓的形狀，又學(xué)習(xí)如何用曲線方程中的參數(shù)刻畫曲線的形狀.學(xué)生通過獨立思考和合作探究，經(jīng)歷從猜想、驗證到論證的思維過程，以此培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣.

學(xué)生活動3 填表(表略)，總結(jié)和對比兩種標準方程形式下橢圓的幾何性質(zhì).

3.3 數(shù)學(xué)應(yīng)用，內(nèi)化遷移

例題求橢圓25x2+16y2=400的長軸長、短軸長、離心率、焦點坐標和頂點坐標.

設(shè)計意圖掌握橢圓的幾何性質(zhì)，促進知識向技能遷移.

3.4 回顧反思，總結(jié)提升

問題6這節(jié)課我們研究了曲線的哪些性質(zhì)？推導(dǎo)這些性質(zhì)我們用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

生10：(知識)橢圓的幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點、離心率．對橢圓知識的學(xué)習(xí)過程：定義→方程→幾何性質(zhì).

生11：(方法)經(jīng)歷由觀察圖形歸納出曲線的性質(zhì)，再用曲線的方程證明曲線的性質(zhì)，即運用代數(shù)方法(即坐標法)解決幾何問題.

生12：(思想)數(shù)形結(jié)合、歸納猜想、類比法、函數(shù)與方程等.

設(shè)計意圖以回顧反思為契機，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，深化知識的形成過程，完善認知結(jié)構(gòu)，掌握研究的方法和思路，拓展思維角度，提高思維層次.

3.5 作業(yè)分層，因材施教

必做部分：課本第112頁練習(xí)第1，2，3，4，5題.

選做部分：收集有關(guān)笛卡爾與解析幾何、費馬與解析幾何的資料，了解與本節(jié)課有關(guān)的數(shù)學(xué)史知識，撰寫數(shù)學(xué)小論文.

設(shè)計意圖通過課后作業(yè)鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識和方法，并留下一個開放性的數(shù)學(xué)寫作作業(yè)，讓學(xué)習(xí)和探究延伸到課外，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，做到因材施教.

4 教學(xué)反思

4.1 基于數(shù)學(xué)方法論設(shè)計教學(xué)過程，滲透解析幾何核心思想

數(shù)學(xué)家笛卡爾創(chuàng)立了平面直角坐標系，使得用代數(shù)方法(即坐標法)研究幾何問題成為解析幾何的核心思想.本節(jié)課從“觀察橢圓→歸納橢圓的性質(zhì)→運用方程論證猜想”這條主線出發(fā)設(shè)計教學(xué)，橢圓的所有幾何性質(zhì)都是先歸納再證明的，充分體現(xiàn)了橢圓的幾何性質(zhì)在“數(shù)”和“形”上的本質(zhì)聯(lián)系，讓學(xué)生掌握利用代數(shù)方法研究幾何圖形的一般思路和方法.整個探究過程始終運用數(shù)形結(jié)合思想.正如華羅庚先生所說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”有了本次數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，學(xué)生可以自主探究雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì).

4.2 基于數(shù)學(xué)方法論設(shè)計探究活動，改善學(xué)生數(shù)學(xué)抽象方法

林崇德教授在研究中國學(xué)生核心素養(yǎng)時提到：勇于探究，重點是具有好奇心和想象力；能不畏困難，有堅持不懈的探索精神；能大膽嘗試，積極尋求有效的問題解決方法等.[3]本節(jié)課中，橢圓幾何性質(zhì)的得出，均先由學(xué)生自主思考或合作探究，然后教師適當(dāng)點撥，最后由學(xué)生歸納總結(jié)形成.讓學(xué)生參與知識發(fā)現(xiàn)、發(fā)生、發(fā)展的全過程，既培養(yǎng)了合作意識和交流表達能力，又加深了對知識的理解與記憶.而探究活動本身，促使學(xué)生自覺地融入數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提升過程之中.

4.3 基于數(shù)學(xué)方法論設(shè)計思維過程，發(fā)展學(xué)生直觀想象水平

我國數(shù)學(xué)家徐利治先生在文章《談?wù)勎业囊恍?shù)學(xué)治學(xué)經(jīng)驗》中提出“重視直觀”：在科學(xué)研究中，我常常借助于由經(jīng)驗獲得的直觀能力，以猜測的方式去探索某些可能取得的成果.對學(xué)生來說，橢圓的離心率是一個全新的概念，這是本節(jié)課一個難點.為了突破這個難點，通過學(xué)生自己動手畫出不同的橢圓，由圖歸納出橢圓的“圓扁”程度與a,b,c中任意兩者的比值有關(guān)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納猜想能力.通過交流與合作，最后回歸本質(zhì)，抽象出離心率的概念.從概念層面看，豐富表征、完善結(jié)構(gòu)，便于概念抽象；從思想方法看，以形助數(shù)、數(shù)形溝通，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合；從心理學(xué)角度看，用圖思考、形象直觀，有助于建立信心.

4.4 基于數(shù)學(xué)方法論設(shè)計問題鏈，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思維能力

著名數(shù)學(xué)家P.Harmous強調(diào)“問題是關(guān)鍵”，數(shù)學(xué)概念、定理、模型和應(yīng)用都是在解決問題的過程中總結(jié)形成的.以問題鏈為載體的數(shù)學(xué)教學(xué)能在一定程度上促進教師課堂指導(dǎo)基礎(chǔ)上的學(xué)生探究學(xué)習(xí)，使學(xué)生在明確知識內(nèi)涵的基礎(chǔ)上提高思維能力.因此，將數(shù)學(xué)方法論原理滲透在問題鏈教學(xué)中，用方法論指導(dǎo)數(shù)學(xué)問題鏈的設(shè)計，讓學(xué)生從“學(xué)會”向“會學(xué)”轉(zhuǎn)化.[4]本節(jié)課在數(shù)學(xué)方法論的指導(dǎo)下，設(shè)計了一系列的問題鏈，將數(shù)學(xué)思想方法滲透到具體知識內(nèi)容中，讓學(xué)生不斷地處于問題探究的過程之中.學(xué)生帶著問題走進課堂，在課堂中不斷提出新問題、解決新問題，最后又帶著“新的問題”走出課堂，整個過程中數(shù)學(xué)方法論扮演了重要角色.

4.5 基于數(shù)學(xué)方法論營造和諧氣氛，助推邏輯推理培育

邏輯推理是科學(xué)研究的核心素養(yǎng)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，邏輯推理素養(yǎng)的養(yǎng)成有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)結(jié)論的來龍去脈，形成舉一反三的能力；有利于學(xué)生形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維習(xí)慣.[5]本節(jié)課把思考的時間留給學(xué)生，把提問的權(quán)力交給學(xué)生，把講解的機會留給學(xué)生，讓學(xué)生經(jīng)歷概念形成的過程，促進學(xué)生主動地探究知識，在探究過程中提升了邏輯推理能力.

5 結(jié)束語

數(shù)學(xué)方法論為學(xué)生的思考與探索提供了理論基礎(chǔ).以數(shù)學(xué)方法論指引高中數(shù)學(xué)教學(xué)，要求每位教師在每堂數(shù)學(xué)課中滲透數(shù)學(xué)思想方法以培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這一過程不是一蹴而就的，需要教師時刻關(guān)注并付出行動.