人教A版新教材“正弦定理、余弦定理”的內(nèi)容分析與教學(xué)建議

楊原明 (江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)教師發(fā)展中心 215021)

1 問題的提出

蘇州市從2020年9月起開始使用2019版人教A版(下稱人教版)高中數(shù)學(xué)新教材，對(duì)長(zhǎng)期使用2004版蘇教版(下稱蘇教版)教材的教師而言是一次較大的挑戰(zhàn)，這種處于不同版本或新舊教材“交接”狀態(tài)下的教學(xué)也是一次課程變革．教師在使用新教材時(shí)很可能按舊教材的理解方式去進(jìn)行解讀，按舊觀念的教學(xué)方式去進(jìn)行教學(xué)，這種穿新鞋走老路的做法將直接影響新課程理念的具體實(shí)施．那么，教材“交接”狀態(tài)下教材內(nèi)容的差異如何融合與銜接？如何根據(jù)實(shí)際學(xué)情和認(rèn)知需求對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化統(tǒng)整？這些都是新時(shí)期下要予以解決的問題．本文擬以“余弦定理、正弦定理”這一教學(xué)內(nèi)容為例，談?wù)剛€(gè)人的理解與思考．

2 不同維度下教材教學(xué)內(nèi)容的對(duì)比

2.1 從不同年份人教版教材的對(duì)比中理解新教材

先看人教社近三版(2000版、2004版、2019版)高中數(shù)學(xué)教材中“余弦定理、正弦定理”在位置、知識(shí)引入方式和證明方法等方面的差異(表1)．

表1 人教社近三版相關(guān)內(nèi)容的安排情況

由表1看出，2019版新教材較前兩版教材在位置上發(fā)生了明顯變化，這一內(nèi)容完全是作為平面向量的應(yīng)用來呈現(xiàn)，是向量在平面幾何中應(yīng)用的示范，而之前兩版教材中該內(nèi)容則單獨(dú)成章(單元)．這是因?yàn)樾乱惠喺n程體系更強(qiáng)調(diào)知識(shí)的整體性，突出向量是研究平面幾何問題的重要工具，這樣安排更容易讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)到向量是統(tǒng)領(lǐng)“幾何與代數(shù)”的紐帶，學(xué)生的學(xué)習(xí)是基于整體的、系統(tǒng)的主題學(xué)習(xí)．

在知識(shí)引入的先后順序上，新教材與前兩版教材相比也有一些變化，前兩版教材均先研究正弦定理再研究余弦定理，新版教材則反之．這樣的編排是考慮到學(xué)生對(duì)向量恒等式較易想到將兩邊“平方”進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，而兩邊點(diǎn)乘邊的法向量則不易想到，讓學(xué)生先獲得向量關(guān)系向數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，再用類似思維去證明正弦定理，學(xué)生的思維更容易被激活．在知識(shí)引入的方式上，新版教材和2004版基本相同，均基于對(duì)三角形的定性刻畫轉(zhuǎn)化為定量表達(dá)的認(rèn)知需求，這樣就回歸到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去了，有利于他們更好地學(xué)習(xí)新知．

再看近三版(2000版、2004版、2019版)教材中例題和習(xí)題的配置與數(shù)量(表2)．

表2 人教社近三版相關(guān)內(nèi)容的例題和習(xí)題編排情況

新教材的例題數(shù)量最少，這和內(nèi)容的教學(xué)定位有關(guān)，尤其體現(xiàn)在定理的實(shí)際應(yīng)用上，僅就測(cè)量距離、高度、角度三個(gè)方面分別以一道例題示范．例題呈現(xiàn)方式上，前兩版教材均采用“問題+解答”的形式，而新教材中的部分例題加入了“分析”，增設(shè)“分析”旨在為學(xué)生提供具體可行的思路或方法，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行完整的思維活動(dòng)，促進(jìn)其對(duì)問題的理解，進(jìn)而提高分析問題的能力．在例題的內(nèi)容上，與前兩版教材基本保持一致，即每個(gè)定理后均配設(shè)單一的解三角形問題，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)都強(qiáng)調(diào)定理在測(cè)量問題中的應(yīng)用．

課后習(xí)題(包括練習(xí)、習(xí)題)在數(shù)量上比前兩版略有增加．習(xí)題類型上，2000版均以解答題出現(xiàn)，2004版除了解答題還增加證明題，且習(xí)題分成兩個(gè)層次，而2019版題型上還增設(shè)填空題，題型更加豐富，分成“復(fù)習(xí)鞏固”“綜合運(yùn)用”“拓廣探索”三個(gè)層次，既有知識(shí)的復(fù)習(xí)鞏固，又有知識(shí)的外延拓展，還有運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行項(xiàng)目化學(xué)習(xí)(如習(xí)題6.4第21,23題)，給學(xué)生的學(xué)習(xí)提供更多選擇的空間，為不同層次的學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)理解打開了多個(gè)通道．

2.2 舊蘇教版、新人教版兩套教材的對(duì)比與理解

(1)章首語

兩版教材中章首語的內(nèi)容如表3所示．

表3 人教社和蘇教版的章首語

新人教版章首語先闡述了向量的學(xué)科地位與作用，在第6.4節(jié)的節(jié)首語中又進(jìn)一步闡明了通過向量的運(yùn)算進(jìn)行“探索性”學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)的方向是從直角三角形向任意三角形拓展．這樣設(shè)計(jì)是基于指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的視角，旨在引導(dǎo)學(xué)生有方法地、有方向地進(jìn)行學(xué)習(xí)．舊蘇教版章首語的重心則放在知識(shí)的功能性上，即實(shí)際應(yīng)用問題中的“測(cè)量、設(shè)計(jì)和計(jì)算”，旨在引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷完整的項(xiàng)目化學(xué)習(xí)：從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，再通過正、余弦定理研究邊與角，進(jìn)而解決實(shí)際問題中的“長(zhǎng)度”“高度”“角度”等計(jì)算問題，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，體現(xiàn)定理的工具性．正是由于章首語的不同目標(biāo)定位，使得整塊知識(shí)的學(xué)習(xí)方式和教學(xué)組織也需要改變．

(2)欄目設(shè)置

蘇教版安排了正文、旁白、思考、練習(xí)、習(xí)題等欄目，而人教版教材則安排了正文、旁白、探究、思考、練習(xí)、習(xí)題等欄目．

“思考”在蘇教版中以陳述句呈現(xiàn)，而在人教版中則以疑問句呈現(xiàn)，而且人教版中還增加了“探究”，也均為疑問句，從心理學(xué)上講，疑問句的呈現(xiàn)方式更易引發(fā)學(xué)生探究的心理趨向．

從旁白的功能上看，蘇教版的旁白均是以補(bǔ)充說明為主，人教版教材除了注釋說明(以藍(lán)色文本框呈現(xiàn))之外，還有提問質(zhì)疑(以橘黃色文本框呈現(xiàn))，這說明人教版更注重以問題引導(dǎo)學(xué)生思考與分析，分析問題更有方向性．

在練習(xí)方面，人教版均為單一的“解三角形”練習(xí)題，蘇教版除此之外還有實(shí)際應(yīng)用、公式變形的應(yīng)用、判斷三角形形狀等問題．練習(xí)作為一節(jié)課隨堂教學(xué)反饋的學(xué)材，數(shù)量不宜多、難度不宜大，訓(xùn)練的指標(biāo)要單一，進(jìn)而題目的呈現(xiàn)背景、文字?jǐn)?shù)量、知識(shí)轉(zhuǎn)化層級(jí)等方面都要有所控制，否則隨堂練習(xí)就變成有一定難度的綜合應(yīng)用．習(xí)題方面，蘇教版分為“感受·理解”“思考·運(yùn)用”“探究·拓展”三個(gè)層次，人教版分為“復(fù)習(xí)鞏固”“綜合運(yùn)用”“拓廣探索”三個(gè)層次，兩版教材均試圖通過不同層次的習(xí)題設(shè)定來滿足不同學(xué)生的練習(xí)需求．蘇教版習(xí)題以傳統(tǒng)的解答題和證明題為主，題目答案確定，均為結(jié)構(gòu)良好習(xí)題，而人教版習(xí)題除此之外還有開放性的習(xí)題，如“你能用三角形的邊和角的正弦表示三角形的面積嗎？”

從上面這些欄目可以看出，人教版教材在學(xué)生的整個(gè)學(xué)習(xí)過程中始終貫穿問題引導(dǎo)思考，欄目引導(dǎo)探究，注重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

(3)部分素材的設(shè)置

蘇教版在正文和習(xí)題中均有用幾何畫板演示的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)有關(guān)結(jié)論，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中養(yǎng)成運(yùn)用信息技術(shù)進(jìn)行探究、運(yùn)算的意識(shí)，尤其是在處理實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)時(shí)，更離不開數(shù)學(xué)計(jì)算工具的介入．人教版教材在有關(guān)計(jì)算時(shí)，在正文中指出“利用計(jì)算器”進(jìn)行處理，在例題的數(shù)據(jù)上更傾向于簡(jiǎn)單一些(如特殊角、整數(shù)值)．關(guān)于數(shù)學(xué)文化素材，兩版教材都有“海倫公式和三斜求積”，蘇教版通過“閱讀題”的方式呈現(xiàn)，并提出：“你能用正弦定理和余弦定理證明‘三斜求積’公式或海倫公式嗎？”人教版則安排在“閱讀與思考”欄目中，以數(shù)學(xué)家名字“海倫和秦九韶”為標(biāo)題，著重介紹了兩位數(shù)學(xué)家的生平和研究經(jīng)歷，這樣的數(shù)學(xué)史故事更容易激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀的興趣，感受數(shù)學(xué)文化的熏陶．

3 教材“交接”狀態(tài)下的教學(xué)建議

3.1 把握課標(biāo)，以不變應(yīng)萬變

盡管教材變了，版本也變了，但課程標(biāo)準(zhǔn)的要求是統(tǒng)一的，課程標(biāo)準(zhǔn)是進(jìn)行教學(xué)組織的行動(dòng)綱領(lǐng)．課標(biāo)將“幾何與代數(shù)”劃分為課程的主題之一，就是通過不同的單元引導(dǎo)學(xué)生不斷地認(rèn)識(shí)幾何與代數(shù)，如通過向量的運(yùn)算來定量刻畫幾何圖形的邊角關(guān)系，除此之外還可以通過其他視角來認(rèn)識(shí)．因此，將認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的方法或視角作為教學(xué)的上位目標(biāo)，是應(yīng)對(duì)教材“交接”狀態(tài)下的教學(xué)指南．

基于此，筆者認(rèn)為“正、余弦定理”的教學(xué)定位應(yīng)是以三角形為基本圖形，在整個(gè)單元學(xué)習(xí)中逐步讓學(xué)生建立起研究幾何問題的認(rèn)知系統(tǒng)，使學(xué)生逐步形成解決一般幾何問題的基本方向或視角，以此促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成．定理的證明過程便是該認(rèn)知系統(tǒng)建立的示范．以余弦定理為例，可以從幾何法、坐標(biāo)法、向量法以及定理互推(如射影定理、正弦定理)等角度進(jìn)行思考，而且這樣的認(rèn)知系統(tǒng)在知識(shí)應(yīng)用時(shí)也要不斷地鞏固．以判斷三角形形狀為例：在△ABC中，已知c=2acosB，試判斷△ABC的形狀．

視角1 在△ABC中作高CD，BD=acosB(圖1)，由等腰三角形的“三線合一”可得出△ABC的形狀為等腰三角形，這是運(yùn)用純幾何的方法解決問題．

圖1

視角3 用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角進(jìn)行判斷；或通過余弦定理將角轉(zhuǎn)化成邊進(jìn)行判斷．

這樣就完成了從知識(shí)生成到知識(shí)應(yīng)用，整個(gè)認(rèn)知過程完善了認(rèn)知系統(tǒng)，學(xué)生在這樣的認(rèn)知系統(tǒng)下進(jìn)行整體地學(xué)習(xí)，不斷地運(yùn)用認(rèn)知系統(tǒng)解決問題，其學(xué)習(xí)活動(dòng)是有目的性、有方向性的研究活動(dòng)，從而也解決了只在定理證明時(shí)才用到向量法，而后研究幾何問題卻很少用向量法的尷尬境況．

3.2 以學(xué)定教，合理選擇教學(xué)起點(diǎn)

教材“交接”狀態(tài)下如何選擇教學(xué)起點(diǎn)？教學(xué)活動(dòng)的開展離不開教學(xué)起點(diǎn)的選擇，教學(xué)起點(diǎn)的選擇是由學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)決定的，針對(duì)不同層次的學(xué)生選擇不同的教學(xué)起點(diǎn)，這就需要對(duì)學(xué)生的認(rèn)知力、認(rèn)知需求以及智能發(fā)展高度等維度要有所考量，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況選擇適宜的教學(xué)起點(diǎn)，遵循學(xué)生的個(gè)體差異，著力發(fā)展不同學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．如傳統(tǒng)教學(xué)中關(guān)于“余弦定理”的引入有以下方式：

抓學(xué)習(xí)貫徹。督促各單位強(qiáng)化制度意識(shí)，組織管理人員及時(shí)、認(rèn)真學(xué)習(xí)。要求領(lǐng)導(dǎo)人員率先學(xué)、帶領(lǐng)學(xué)，并要求傳遞到最基層。力求以深入學(xué)習(xí)教育，讓干部職工熟知制度規(guī)定，入腦走心，做制度的“明白人”。

方式1 在初中，我們學(xué)習(xí)了勾股定理，即在直角△ABC中，∠C為直角，則a2+b2=c2，那么∠C為銳角或鈍角時(shí)，a2,b2,c2有怎樣的關(guān)系呢？

方式2 對(duì)于一個(gè)可解的三角形，給定其中的三個(gè)獨(dú)立條件(其中至少一條邊)有哪幾種類型？

①兩角及一邊長(zhǎng)；②兩邊長(zhǎng)及一邊對(duì)角；③兩邊長(zhǎng)及其夾角；④三邊長(zhǎng)．

已學(xué)的“正弦定理”可以解決哪幾類？(①②)

那么對(duì)③和④這兩種類型該如何求解呢？

方式3A,B之間隔著一個(gè)水塘，設(shè)置一個(gè)方案，測(cè)量A,B兩地間的距離．(要求：測(cè)量科學(xué)、合理)

對(duì)方式1，從學(xué)生已有認(rèn)知中的勾股定理引出問題，使學(xué)生的認(rèn)知視角從特殊走向一般，易于學(xué)生思維的展開，便于后續(xù)的類比、猜想、驗(yàn)證等思維活動(dòng)的進(jìn)行．不過，怎么想到以勾股定理為起點(diǎn)來研究余弦定理呢？這樣的教學(xué)起點(diǎn)有教師“導(dǎo)演”出來的預(yù)設(shè)“劇情”之嫌，由此帶來的學(xué)生思維活動(dòng)將是在教師已預(yù)設(shè)好的思維軌道中運(yùn)行，對(duì)學(xué)生思維縱深的發(fā)展有抑制的可能，也就束縛了學(xué)生思維自由發(fā)展的空間．所以，這樣的教學(xué)起點(diǎn)對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱、思維水平一般的學(xué)生群體比較適宜．

對(duì)方式2，從可解三角形的已知條件分類入手，其中部分類型可用已學(xué)知識(shí)解決，而其他類型則需尋求新知識(shí)，因而觸發(fā)了學(xué)生的研究興趣，并且研究的目標(biāo)指向也很明顯——知識(shí)達(dá)成后，學(xué)生會(huì)認(rèn)識(shí)到“余弦定理”可解決的三角形類型(③和④)．當(dāng)然，我們也易發(fā)現(xiàn)該教學(xué)起點(diǎn)抽象程度高，需要學(xué)生有較好的數(shù)學(xué)思維能力和探究水平．

對(duì)方式3，以測(cè)量方案的設(shè)計(jì)為教學(xué)起點(diǎn)，能調(diào)動(dòng)學(xué)生的思考積極性，其探究熱情由此產(chǎn)生，問題的開放性也會(huì)引發(fā)其相互交流、爭(zhēng)辯與反思．由于是開放的探究問題，有探究必有風(fēng)險(xiǎn)，可能會(huì)產(chǎn)生因探究而耗時(shí)多，或出現(xiàn)探究方向偏差等問題．這就要求學(xué)生的思維水平較高、敢于合作探究、敢于思考交流，同時(shí)對(duì)教師的課堂調(diào)控能力也提出了較高要求． 因此，這樣的教學(xué)起點(diǎn)適合于已長(zhǎng)期形成了具有探究氛圍的學(xué)生群體，需要他們有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維水平．

所以，在教學(xué)起點(diǎn)的選擇上，教師要認(rèn)真分析學(xué)生當(dāng)前的認(rèn)知基礎(chǔ)和思維層次，依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知實(shí)情和思維水平進(jìn)行選擇，不合適的教學(xué)起點(diǎn)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)是低效甚至無效的，過低的教學(xué)起點(diǎn)會(huì)導(dǎo)致思維水平停滯不前，而過高的教學(xué)起點(diǎn)將導(dǎo)致思維能力高不可攀．

3.3 強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)，加強(qiáng)理解性教學(xué)

對(duì)于數(shù)學(xué)中的一些基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，記憶是一方面，更重要的是理解．俗話說“好記性不如爛筆頭”，這句話稍微改一下，變?yōu)椤昂糜浶圆蝗缰R(shí)的理解”，即學(xué)生在理解了知識(shí)內(nèi)容后便能掌握知識(shí)并加以熟練地運(yùn)用，學(xué)習(xí)的效果也將更好．“正弦定理、余弦定理”在2019版新教材中較前兩版教材和蘇教版教材在位置上發(fā)生了明顯變化，其作為平面向量的應(yīng)用來呈現(xiàn)，是向量在平面幾何中應(yīng)用的示范．因此，在上這節(jié)課時(shí)，教師不僅要傳授基本的知識(shí)內(nèi)容，更要帶著學(xué)生去理解教材編寫者的用意，體會(huì)向量和正、余弦定理之間更深一層的聯(lián)系，學(xué)會(huì)用向量的知識(shí)去解決三角形中的一些問題，這樣學(xué)生在解決此類問題時(shí)才能如魚得水．如2021年新高考I卷的第19題：

記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c．已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC．

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2DC，求cos∠ABC．

因此，對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的訓(xùn)練不應(yīng)該只是簡(jiǎn)單的重復(fù)和片面的記憶，而要通過整理、歸納和總結(jié)，讓學(xué)生多方面地去認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)及它們之間的聯(lián)系，通過分類、整理、綜合，逐步形成一個(gè)條理化、有序化、網(wǎng)絡(luò)化的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，以便在解題時(shí)，準(zhǔn)確依據(jù)信息尋求解題途徑、優(yōu)化解題過程，最終在考場(chǎng)上對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和技能的運(yùn)用能夠胸有成竹．

最后，需要說明的是新教材在使用過程中肯定會(huì)出現(xiàn)不適應(yīng)，如何將使用舊教材時(shí)那些優(yōu)秀的經(jīng)驗(yàn)延續(xù)到新教材中去、如何降低舊觀念下的教學(xué)慣性對(duì)新課程的影響等，這些都應(yīng)是教材“交接”狀態(tài)下值得進(jìn)一步思考與研究的話題．