從形變到質(zhì)變 由學(xué)會(huì)到會(huì)學(xué)
——對(duì)2021年中考浙江金華卷第23題的賞析與啟示

林勝威 (廣東省化州市新安中學(xué) 525133)

陳興海 (廣東省茂名市新世紀(jì)學(xué)校 525400)

2019年11月22日教育部發(fā)布的《關(guān)于加強(qiáng)初中學(xué)業(yè)水平考試命題工作的意見》(下簡(jiǎn)稱《意見》)指出：初中學(xué)業(yè)水平考試命題要發(fā)揮引導(dǎo)教育教學(xué)作用，引導(dǎo)教師積極探索基于情境、問題導(dǎo)向、深度思維、高度參與的教育教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生自主、合作、探究學(xué)習(xí)．以素養(yǎng)為導(dǎo)向、提升試題科學(xué)化水平已成為各地中考試題命制的方向與共識(shí)．本文對(duì)浙江省2021年初中學(xué)業(yè)水平考試(金華卷)第23題進(jìn)行評(píng)析，從中獲得了一些有益的啟示．

1 原題

背景：點(diǎn)

A

在反比例函數(shù)的圖象上，

AB

⊥

x

軸于點(diǎn)

B

，

AC

⊥

y

軸于點(diǎn)

C

，分別在射線

AC

,

BO

上取點(diǎn)

D

,

E

，使得四邊形

ABED

為正方形．如圖1，點(diǎn)

A

在第一象限內(nèi)，當(dāng)

AC

=4時(shí)，小李測(cè)得

CD

=3．

圖1 圖2

探究：通過改變點(diǎn)

A

的位置，小李發(fā)現(xiàn)點(diǎn)

D

，

A

的橫坐標(biāo)之間存在函數(shù)關(guān)系．請(qǐng)幫助小李解決下列問題．(1)求

k

的值．(2)設(shè)點(diǎn)

A

，

D

的橫坐標(biāo)分別為

x

,

z

，將

z

關(guān)于

x

的函數(shù)稱為“

Z

函數(shù)”．如圖2，小李畫出了

x

>0時(shí)“

Z

函數(shù)”的圖象．①求這個(gè)“

Z

函數(shù)”的表達(dá)式；②補(bǔ)畫

x

<0時(shí)“

Z

函數(shù)”的圖象，并寫出這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)(兩條即可)；③過點(diǎn)(3,2)作一直線，與這個(gè)“

Z

函數(shù)”圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，求該交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

2 評(píng)析

2.1 回歸本源——考查對(duì)函數(shù)概念的理解

第(1)問求反比例函數(shù)中

k

的值，求出點(diǎn)

A

坐標(biāo)代入即可(

k

=4)，是對(duì)“待定系數(shù)法”基本技能的考查．第(2)問引入了新函數(shù)——“

Z

函數(shù)”，從題目給出的部分圖象可知，這并不是熟知的三大函數(shù)(一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù))之一．學(xué)生欲求“

Z

函數(shù)”的表達(dá)式，待定系數(shù)法“一設(shè)二代三求”的解題套路顯然無能為力，必須回歸到對(duì)函數(shù)本質(zhì)的理解：函數(shù)是蘊(yùn)含于變量之間的一種依存關(guān)系．求“

Z

函數(shù)”的表達(dá)式應(yīng)從

z

與

x

兩者之間的關(guān)系入手，結(jié)合圖1易得幾何等量關(guān)系

CD

+

DA

=

CA

，而由四邊形

ABED

為正方形得

DA

=

AB

，所以

CD

+

AB

=

CA

，將幾何等量關(guān)系“坐標(biāo)化”即為故“

Z

函數(shù)”的表達(dá)式為

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是歷年中考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)．根據(jù)廣東省教育考試院發(fā)布的2020年廣東省初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題評(píng)析的統(tǒng)計(jì)分析，三大函數(shù)是近五年廣東省初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)的高頻考點(diǎn)．在各地的初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題中，對(duì)函數(shù)考查的主要方向是函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)與幾何的綜合、函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．這些考題是運(yùn)用“已知”的圖形性質(zhì)、“已有”的函數(shù)模型去解決問題，是對(duì)舊知的記憶與運(yùn)用，在一定程度上考查了學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力、分類討論思想和應(yīng)用意識(shí)等．本題要求學(xué)生探索未知函數(shù)求表達(dá)式、性質(zhì)與圖象等，是基于函數(shù)概念的理解對(duì)新知進(jìn)行探索，考查了學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解．義務(wù)教育階段函數(shù)的學(xué)習(xí)，要在學(xué)習(xí)“三大函數(shù)”基礎(chǔ)上，形成利用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí)，讓學(xué)生會(huì)用函數(shù)的眼光觀察世界、會(huì)用函數(shù)的思維思考世界、會(huì)用函數(shù)的語言表達(dá)世界．

2.2 累積經(jīng)驗(yàn)——考查研究函數(shù)一般方法的掌握

第(2)題第②小問，要補(bǔ)畫

x

<0時(shí)“

Z

函數(shù)”的圖象，并至少寫出這個(gè)函數(shù)的兩條性質(zhì)．學(xué)生沒有現(xiàn)成的知識(shí)可憑借，需要利用“經(jīng)驗(yàn)”對(duì)新函數(shù)進(jìn)行研究．根據(jù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的學(xué)習(xí)研究經(jīng)驗(yàn)，研究函數(shù)的一般方法和步驟是：畫函數(shù)圖象、觀察歸納特征、用數(shù)學(xué)語言描述性質(zhì)．由“

Z

函數(shù)”表達(dá)式，易畫它的圖象；而對(duì)函數(shù)圖象的研究可從圖象的形狀、位置、增減性(單調(diào)性)、對(duì)稱性等角度進(jìn)行觀察，最后用數(shù)學(xué)語言概括與描述如下：

a.此函數(shù)的圖象是由兩個(gè)分支組成的曲線(形狀)．

b.此函數(shù)的圖象關(guān)于直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)成中心對(duì)稱(對(duì)稱性)．

c.當(dāng)

x

>0時(shí)，函數(shù)值

z

隨自變量

x

的增大而增大；當(dāng)

x

<0時(shí)，函數(shù)值

z

隨自變量

x

的增大而增大(增減性)．

基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能主要表現(xiàn)為結(jié)論性知識(shí)、事實(shí)性知識(shí)，基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)主要表現(xiàn)為在數(shù)學(xué)活動(dòng)中形成和積累的過程性知識(shí)、策略性知識(shí)．從學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)來看，它并非單純地通過接受數(shù)學(xué)事實(shí)性知識(shí)來實(shí)現(xiàn)，它更多地需要通過對(duì)數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟、對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累和條理化，以及對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的自我組織等活動(dòng)來實(shí)現(xiàn)．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)要克服“雙基”教學(xué)中過于表層、追求熟練、缺乏對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)理解的弱點(diǎn)，讓數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法銘刻在頭腦中，并內(nèi)化成為讓學(xué)生受益終生的必備品格和能力，就要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“所學(xué)知識(shí)”“所經(jīng)歷的活動(dòng)”進(jìn)行概括與歸納，上升為更一般的思想方法、原理觀念．

2.3 學(xué)以致用——考查問題解決能力

通過關(guān)系分析得出函數(shù)表達(dá)式，再結(jié)合圖象觀察歸納函數(shù)性質(zhì)，最后應(yīng)用此函數(shù)去解決相關(guān)的問題，這是研究函數(shù)的“基本套路”．在①②小問的基礎(chǔ)上，第③小問要求利用“新知識(shí)”解決“舊問題”：求直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)．由幾何直觀知，當(dāng)直線與“

Z

函數(shù)”圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，存在“相交”與“相切”兩種情況：a.第一種情況(相交)：“

Z

函數(shù)”圖象不與

y

軸相交，故平行于

y

軸的直線與“

Z

函數(shù)”圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，且直線過點(diǎn)(3,2)，可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3．b.第二種情況(相切)：若從圖形的角度看則難于求出切點(diǎn)，可轉(zhuǎn)換為用代數(shù)的方法求解，考查學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的領(lǐng)悟．可設(shè)直線的表達(dá)式為

z

′=

mx

+

b

(

m

≠0)，將點(diǎn)(3,2)代入可求得

b

=-3

m

+2，故

z

′=

mx

-3

m

+2．聯(lián)立兩函數(shù)表達(dá)式可得含

m

的方程轉(zhuǎn)化為整式方程得(

m

-1)

x

+(2-3

m

)

x

+4=0．當(dāng)整式方程僅有一個(gè)解時(shí)，直線與函數(shù)圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4或2或6．

初中學(xué)業(yè)水平考試主要衡量學(xué)生達(dá)到國(guó)家規(guī)定學(xué)習(xí)要求的程度，既要注重考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，還要注重考查思維過程、創(chuàng)新意識(shí)以及分析問題與解決問題的能力．“舊知識(shí)”應(yīng)用于“新問題情境”，注重的是問題解決中的知識(shí)遷移與運(yùn)用；本題是“新知識(shí)”應(yīng)用于“舊問題情境”，讓學(xué)生不囿于原有知識(shí)藩籬或固有的思維模式，使得學(xué)生更關(guān)注于問題解決的數(shù)學(xué)策略、思路、方法等．德國(guó)2012年頒布的高中數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)中，將“數(shù)學(xué)地解決問題能力”界定為學(xué)生“擁有恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)策略去發(fā)現(xiàn)解決問題的思路或方法，并加以反思”．

3 啟示

3.1 考查內(nèi)容由“形變”向“質(zhì)變”的遞進(jìn)

在《意見》頒布之前，《考試大綱》和歷年中考試題是復(fù)習(xí)備考的兩大必備資料，認(rèn)真研究《考試大綱》和歷年中考試題是復(fù)習(xí)備考的成功經(jīng)驗(yàn)和基本要求．《考試大綱》指明了考試內(nèi)容與范圍，即明確了“考什么”；歷年中考試題則蘊(yùn)含了考查的形式與方法，即提供了“怎么考”的示范樣例．相同的知識(shí)點(diǎn)，不同年份的試題只是在考查形式上變化(形變)，而考查的內(nèi)容實(shí)質(zhì)沒有變化(質(zhì)變)．例如，廣東省2017—2019年中考試題的解答題部分對(duì)“方程與不等式”的考查，見表1.

表1

年份題號(hào)分值試題考查內(nèi)容201921(8分)某校為了開展“陽光體育運(yùn)動(dòng)”,計(jì)劃購(gòu)買籃球、足球共60個(gè),已知每個(gè)籃球的價(jià)格為70元,每個(gè)足球的價(jià)格為80元.(1)若購(gòu)買這兩類球的總金額為4 600元,求籃球、足球各買了多少個(gè)?(2)若購(gòu)買籃球的總金額不超過購(gòu)買足球的總金額,求最多可購(gòu)買多少個(gè)籃球?列方程組、不等式解應(yīng)用題201820(8分)某公司購(gòu)買了一批A、B型芯片,其中A型芯片的單價(jià)比B型芯片的單價(jià)少9元,已知該公司用3 120元購(gòu)買A型芯片的個(gè)數(shù)與用4 200元購(gòu)買B型芯片的個(gè)數(shù)相等. (1)求該公司購(gòu)買的A、B型芯片的單價(jià)各是多少元?(2)若兩種芯片共購(gòu)買了200個(gè),且購(gòu)買的總費(fèi)用為6 280元,求購(gòu)買了多少個(gè)A型芯片?列方程組解應(yīng)用題201719(6分)學(xué)校團(tuán)委組織志愿者到圖書館整理一批新進(jìn)的圖書.若男生每人整理30本,女生每人整理20本,共能整理680本;若男生每人整理50本,女生每人整理40本,共能整理1 240本.求男生、女生志愿者各有多少人?列方程組解應(yīng)用題

通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，三年試題考查的是“根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程(組)、不等式(組)”的建模能力和“解方程(組)、解不等式(組)”的運(yùn)算技能．不同年度的考題只是問題情境和數(shù)據(jù)的

不同，對(duì)考生的能力要求沒有實(shí)質(zhì)性的改變．這在一定程度上導(dǎo)致在復(fù)習(xí)備考中出現(xiàn)“為考試而考試”的短視行為：只關(guān)注“能列會(huì)算”等基本技能的操練，忽略對(duì)方程、方程的解等概念的理解與思考．而在廣東省2020年的中考試題中，除了基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查外，還加強(qiáng)了對(duì)概念本質(zhì)理解的考查：

(2020年廣東中考第21題)已知關(guān)于

x

,

y

的方程組與的解相同．(1)求

a

,

b

的值；(2)若一個(gè)三角形的一條邊的長(zhǎng)為另外兩條邊的長(zhǎng)是關(guān)于

x

的方程

x

+

ax

+

b

=0的解，試判斷該三角形的形狀，并說明理由．

對(duì)“兩個(gè)二元一次方組的解相同”的理解是解答本題的關(guān)鍵．“解相同”可以理解為兩個(gè)方程組有“公共解”或“相同解”；兩個(gè)方程組的“公共解”既滿足方程組(I)，也滿足方程組(II)；滿足方程組(I)的解是方程①②的解，滿足方程組(II)的解是方程③④的解．那么這個(gè)“公共解”是方程②③的共同解，方程組的解是方程①②③④的解．

面對(duì)此問題，學(xué)生沒有固定的解題模式可模仿．因此，在復(fù)習(xí)備考中也就不能只是“死摳”題型，而要注重對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，以不變應(yīng)萬變！中考考查的內(nèi)容與形式由“形變”到“質(zhì)變”的遞進(jìn)，是“在新課標(biāo)與高考評(píng)價(jià)體系的指引下，以高考為代表的大規(guī)模中學(xué)數(shù)學(xué)考試命題正在發(fā)生從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的重要轉(zhuǎn)變”．

3.2 考查要求由“學(xué)會(huì)”向“會(huì)學(xué)”演進(jìn)

學(xué)習(xí)是人類的生存本能，也是人類需要不斷學(xué)習(xí)提高的能力，以適應(yīng)不斷發(fā)展變化的環(huán)境．2016年發(fā)布的《中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》總體框架指出，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)是自主發(fā)展素養(yǎng)的基本要點(diǎn)．課堂教學(xué)除了讓學(xué)生“學(xué)會(huì)”具體知識(shí)、掌握特定技能，還要在知識(shí)技能的基礎(chǔ)上培養(yǎng)關(guān)鍵能力，形成能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的素養(yǎng)．用什么方式引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，使學(xué)生在掌握知識(shí)的過程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思考方法，從學(xué)會(huì)思考逐步走向?qū)W會(huì)學(xué)習(xí)，是教材編寫中需要認(rèn)真思考和落實(shí)的主要任務(wù)．作為“指揮棒”的中考試題，除了考查學(xué)生是否“學(xué)會(huì)”了基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，更要引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”，即“會(huì)學(xué)”．例如，2020年貴州省遵義市中考數(shù)學(xué)第10題：

構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是數(shù)形結(jié)合思想的重要性，在計(jì)算 tan 15°時(shí)，如圖3，在Rt△

ABC

中，∠

C

=90°,∠

ABC

=30°，延長(zhǎng)

CB

使

BD

=

AB

，連結(jié)

AD

，使得∠

D

=15°，所以tan 15°類比這種方法，計(jì)算tan 22.5°的值為( ).

圖3

學(xué)生要解決本題，除了掌握含根式的分式化簡(jiǎn)外，關(guān)鍵是通過題目給出的示例，學(xué)習(xí)領(lǐng)會(huì)其構(gòu)造的方法，然后應(yīng)用于所求的問題．此題考查的不是學(xué)生對(duì)具體知識(shí)技能的理解與掌握，而是對(duì)新知識(shí)的理解、遷移、運(yùn)用的能力．學(xué)習(xí)能力在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)，但不能僅停留于基礎(chǔ)知識(shí)的記憶、基本技能的操練，還要對(duì)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行審視與反思，習(xí)得符合自已的科學(xué)的學(xué)習(xí)方法與策略，提升自我評(píng)估與調(diào)控的元認(rèn)知水平，養(yǎng)成注重學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)習(xí)慣與品格意識(shí)，實(shí)現(xiàn)由“學(xué)會(huì)”向“會(huì)學(xué)”的演進(jìn)．