多想少算視角下2020年高考數(shù)學(xué)試題分析

楊小兵

(四川省簡陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 641400)

1 利用特殊化

解決問題的一般策略是從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般、從已知到未知，特殊化策略是處理選擇題和填空題最常用的簡便方法，也是解決問題的基本策略.波利亞認(rèn)為：“特殊化是從對象的一個給定集合，轉(zhuǎn)而考慮包含在這集合內(nèi)較小的集合”.在幾何中，特殊化就是讓直線、平面處于一些特殊的位置或臨界情況，例如：直線的平行、直線的垂直、直線和圓相切等；在代數(shù)中，特殊化就是讓變量取一些特殊的值，使問題變得簡單明了.

例1(2020年全國Ⅰ卷理第11題)若⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙M的切線PA,PB，切點(diǎn)為A,B，當(dāng)|PM|·|AB|最小時，直線AB的方程為( ).

A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0

C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0

解析當(dāng)|PM|·|AB|最小時，只需要各自最小即可，所以猜想：當(dāng)PM⊥l時,|PM|·|AB|最小.

因?yàn)镻M⊥l,則|PM|最小，設(shè)PM與AB的交點(diǎn)為C，則由三角形面積可知

則有|PM|最小時|AB|也最小.

又因?yàn)锳B∥l,則kAB=-2，排除A，C.

易求直線AB方程為x-2y+1=0.

例2 (2020年浙江卷第9題)已知a,b∈R且ab≠0，對于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0，則( ).

A.a<0 B.a>0 C.b<0 D.b>0

解析當(dāng)a=1,b=-1時，(x-1)(x+1)(x-1)≥0在x≥0時恒成立.

當(dāng)a=-1,b=-1時有(x+1)2(x+3)≥0在x≥0時恒成立.

當(dāng)a=-1,b=1時有(x+1)2(x-1)≥0在x≥0時不一定成立，故選C.

評注牛頓指出：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”，例1通過猜想對圖形位置進(jìn)行了特殊化；例2對字母數(shù)據(jù)進(jìn)行了特殊化，避免了直接對字母進(jìn)行分類討論，都對解題過程進(jìn)行了極大簡化.

2 利用“二級結(jié)論”

二級結(jié)論是指教材中現(xiàn)有結(jié)論之外的結(jié)論，它是通過教材中的一些定理、公理進(jìn)行推導(dǎo)所得到的結(jié)論，一般是經(jīng)驗(yàn)性的利于考試解題的結(jié)論.例如：拋物線的焦點(diǎn)弦長公式、橢圓焦半徑公式、橢圓焦點(diǎn)三角形的面積、對數(shù)—平均值不等式、三角形面積的坐標(biāo)表示、若奇函數(shù)存在最大值和最小值，則其之和為0等.這些二級結(jié)論不應(yīng)該去死記硬背，而是應(yīng)該在理解或者解題的基礎(chǔ)上去記憶.

A.1 B.2 C.4 D.8

代入數(shù)據(jù)解得b=2.

所以a=1，選擇A.

解得雙曲線離心率為2.

3 利用模型

數(shù)學(xué)模型是為了某種目的，用字母、數(shù)字及數(shù)學(xué)符號建立起來的函數(shù)、方程、等式或不等式以及圖表、圖象等描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式.常見的數(shù)學(xué)模型包括：向量恒等式模型、三點(diǎn)共線模型、面積模型、點(diǎn)到直線的距離模型、指數(shù)模型、對數(shù)模型、均值不等式模型等.

由向量恒等式，有

例6 (2020年全國Ⅲ卷文第16題)已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為____．

4 利用數(shù)形結(jié)合

數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究的兩部分，它們既有區(qū)別又有聯(lián)系，不能將它們視作孤立存在，華羅庚指出：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合千般好，隔離分家萬事休.”由此可見：“形”具有直觀性，而“數(shù)”具有抽象性，只有將兩者結(jié)合才能達(dá)到事半功倍的效果.

例7 (2020年全國Ⅰ卷理第10題)如圖1，已知A,B,C為球O的球面上的三個點(diǎn)，⊙O1為△ABC的外接圓，若⊙O1的面積為4π，AB=BC=AC=OO1，則球O的表面積為( ).

圖1

A.64π B.48π C.36π D.32π

解析設(shè)圓O1半徑為r，球的半徑為R，由題意得πr2=4π.解得r=2.

因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，由正弦定理，得

根據(jù)球的截面性質(zhì),OO1⊥平面ABC.

所以球O的表面積S=4πR2=64π.故選A.

5 利用觀察

圖2

k=1時，g(x)=f(x)-|x2-2x|恰有4個零點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象(如圖3)可知：此時并不滿足題意排除C，選擇D.

圖3

評注觀察是尋找解決數(shù)學(xué)問題思路的基本方法和策略.在審題的過程中要觀察題目所給條件、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)、選項(xiàng)的組成情況，如果能善于觀察并選擇合適方法，將會極大提高解題效率和正確率.本題正是通過觀察選項(xiàng)的組成情況，對參數(shù)進(jìn)行賦值從而極大地優(yōu)化了解題過程.

6 利用函數(shù)性質(zhì)

克萊因曾說：“函數(shù)是數(shù)學(xué)的靈魂”，函數(shù)是高中學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，高考的熱點(diǎn).對于函數(shù)性質(zhì)的考查更是順理成章，高考中?？疾榈暮瘮?shù)性質(zhì)包括：函數(shù)的圖象、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、有界性、凹凸性等.

例9 (2020年新高考山東卷第8題)若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是( ).

A．[-1,1]∪[3,+∞)

B．[-3,-1]∪[0,1]

C．[-1,0]∪[1,+∞)

D．[-1,0]∪[1,3]

解析由奇函數(shù)的性質(zhì)可知：奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，并且滿足f(-x)=-f(x).

根據(jù)題意可知f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增并且f(-2)=0,f(0)=0，畫出示意圖如圖4所示，選擇D.

圖4

例10(2020年全國Ⅰ卷理第12題)若2a+log2a=4b+2log4b，則( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

解析根據(jù)題意有2a+log2a=22b+log2b.

令f(x)=2x+log2x,

易證f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

則有2a+log2a=22b+log2b<22b+log22b.

則f(a)

所以a<2b.故選B.

評注例10作為理科壓軸選擇題，不偏不怪、題干簡練、設(shè)問巧妙、解法多樣，是一道好題，熟練掌握函數(shù)的基本性質(zhì)并且學(xué)會選擇與應(yīng)用非常重要.

7 利用換元

又因?yàn)閑1·e2≤|e1|·|e2|=1

評注換元法是解題中常用的方法，其實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化進(jìn)行等量代換，使一個復(fù)雜、困難的問題變得簡單容易處理.換元的關(guān)鍵在于確定替換的部分和引入新參數(shù)的范圍，常見的換元包括：整體換元、局部換元、三角換元、均值換元等.

8 利用補(bǔ)體法

補(bǔ)體或者造形的本質(zhì)是從宏觀的角度看待和處理立體幾何問題.補(bǔ)體法根據(jù)已知條件將一個幾何體補(bǔ)成一個比較熟悉的幾何體(例如：正方體、長方體、椎體、柱體、球體等)，使其原來不易發(fā)掘或不易表示的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系可以更加直觀地呈現(xiàn).補(bǔ)體這一過程需要充分發(fā)揮考生的空間想象力和創(chuàng)造力，具有創(chuàng)造的成分.

圖5

解析將三棱錐P-ABC的平面展開圖還原為三棱錐P-ABC，然后補(bǔ)成一個斜四棱柱ABOC-DB1O1C1,其中D,E,F,P為同一個點(diǎn)，所以在△DCB中，由余弦定理有

CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos30°.

則CD=1.

9 構(gòu)造函數(shù)

例13 (2020年全國Ⅱ卷文第12題)若2x-2y<3-x-3-y，則( ).

A.ln(y-x+1)>0

B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0

D.ln|x-y|<0

解析由題可得2x-3-x<2y-3-y.

易證該函數(shù)在R上為增函數(shù).

所以f(x)

則有x

那么y-x>0,y-x+1>1.

所以ln(y-x+1)>ln1=0，故選A.

評注構(gòu)造函數(shù)的關(guān)鍵是根據(jù)題目條件去尋找相同或相似的式子，然后利用函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值進(jìn)行解決.

10 利用設(shè)而不求

與拋物線方程聯(lián)立，得3x2-10x+3=0.

評注本題根據(jù)題意設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)但是并沒有直接將其計(jì)算出來，而是利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體代換，避免了大量繁瑣的計(jì)算.在解決直線與拋物線相交的弦長問題時，如果該直線過焦點(diǎn)，那么可直接利用弦長公式：|AB|=x1+x2+p.

11 利用極限

例15(2020年浙江卷第22題(節(jié)選))已知1

解析由已知，得f′(x)=ex-1，故f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，則f′(x)>f′(0)=0.

所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

x→+∞時，f(x)→+∞；

x→0+時，f(x)→1-a<0.

所以在(0,+∞)上存在x0使得f(x0)=0.

即f(x)在(0,+∞)上有唯一零點(diǎn).

評注極限策略是利用極限思想來分析問題和解決問題.利用極限思想是對問題進(jìn)行極端化，特別是在判斷函數(shù)圖象、證明函數(shù)極值點(diǎn)、判斷函數(shù)零點(diǎn)時可以起到化繁為簡的作用.

12 利用高等數(shù)學(xué)工具

高等數(shù)學(xué)工具是指利用高等數(shù)學(xué)中的定理、公式進(jìn)行解題.常用的高等數(shù)學(xué)工具包括：洛必達(dá)法則、泰勒展開式、琴生不等式、條件極值、隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、拉格朗日乘數(shù)法等.

例16 (2020年新高考山東卷第22題(節(jié)選))已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna,若f(x)≥1，求a的取值范圍.

所以ex-1≥x，lnx≤x-1.

則f(x)≥1恒成立可以轉(zhuǎn)化為(a-1)x+lna≥0恒成立.

評注泰勒公式的本質(zhì)就是利用多項(xiàng)式函數(shù)去逼近一個給定的函數(shù).不等式ex≥x+1,lnx≤x-1是壓軸題中常用的放縮結(jié)論，值得重點(diǎn)掌握.

多想少算策略作為基本的高考命題策略，在2020年高考(12套)試卷中得到了充分的體現(xiàn)，其種類遠(yuǎn)不止這些，文中案例僅僅想起到拋磚引玉的作用.新時代要求教師應(yīng)該是教育教學(xué)的研究者，對于這些能優(yōu)化解題的策略，讓學(xué)生取得數(shù)學(xué)思維上的突破，值得深入研究.