淺議優(yōu)化解題策略
——以一道填空壓軸模擬試題的“母題”多解為例

杜海洋

(四川省成都經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)實驗中學(xué)校 610100)

1 一道高考題及其分析

2018年江蘇卷13題，是一道解三角形求最值問題，題型常規(guī)但不乏新意，解法眾多但多解歸一.本題作為全卷第13題(次壓軸填空題)而成為2021年成都市高三一診理科數(shù)學(xué)壓軸16題，自身有一定難度和新意.解題方法較多，文[1]不同方法之間效果(思維、時間、運算、書寫等要求差異較大)相去甚遠(yuǎn)，在邏輯推理思路、運算繁簡、解題過程表達(dá)、時間成本付出等諸方面大相徑庭.本題真正體現(xiàn)了高考突出“多考想、少考算”，在思維層次上區(qū)分的命題立意.但是，深層次探討這些差異產(chǎn)生的原因，可以說都主要指向了解題過程的優(yōu)化策略.這里筆者將通過對此道高考題的分析，談一下解題優(yōu)化策略.

1.1 模擬題目

1.2 真題再現(xiàn)

(2018年江蘇高考)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，則4a+c的最小值為____.

1.3 真題解析

解法1由題意可知S△ABC=S△ABD+S△BCD.

由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式,得

下面求4a+c的最小值

思路2(構(gòu)成方程，利用判別式求最值)由法1可得出a+c=ac.

令4a+c=t，則c=t-4a.

代入a+c=ac,得關(guān)于a的一元二次方程

4a2-(t+3)a+t=0.

由△=(t+3)2-16t≥0,即

(t-1)(t-9)≥0，

解得t≤1或t≥9.

由已知BD=1可得tmin=9成立.

思路3(構(gòu)造線性規(guī)劃求最值)由法1得

a+c=ac.

設(shè)a=x,c=y(x>0,y>0)，即xy=x+y.

圖1

評注本題實際上涉及解三角形知識，因為要建立a,c邊的關(guān)系，根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.

解法2(利用正弦定理，邊化雙角)因為∠ABC=120°，所以在△ABC中，由正弦定理,得

又因為BD平分∠ABC，

則下面求4a+c的最小值.

思路1 (利用基本不等式)

則4a+c的最小值為9.

思路2(利用函數(shù)單調(diào)性求最值)

易得函數(shù)f(x)在(2，+∞)單調(diào)遞增，在(0，2)單調(diào)遞減.

所以f(x)min=f(2)=9.

解法3(利用正弦定理化單角的函數(shù))

分別在△ABD，△BCD中，由正弦定理,得

評注因為涉及所求邊的關(guān)系在△ABC中，所以在此三角形中找∠A或∠B作為函數(shù)變量.建立函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值是常見的一個重要方法，此法的關(guān)鍵是合理設(shè)元，再用函數(shù)知識求解，當(dāng)然要留意未知數(shù)的范圍.

解法4 (正弦定理入手，建立角化邊)同法2有

則可得a+c=ac，下同解法1.

解法5 (利用余弦定理建立邊的關(guān)系)

在△ABD中，由余弦定理,得

兩邊平方整理,得

(a-c)(a+c-ac)=0.

若a=c，解得a=c=2，則4a+c=10.

若a+c-ac=0，下同解法1.

評注正弦定理、余弦定理是實現(xiàn)邊角互化的工具.

解法6 由三角形角平分線得向量表達(dá)式

因為BD=1，等式兩邊平方整理,得a+c=ac，下同解法1.

也可將a+c=ac化為(a-1)(c-1)=1.

即4a+c=4(a-1)+(c-1)+5≥9，

當(dāng)且僅當(dāng)4(a-1)=(c-1)時，

評注向量與三角函數(shù)關(guān)系密不可分，本題用基底法表示向量BD是關(guān)鍵.同時在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.

圖2

整理，得a+c=ac，下同解法1.

整理,得a+c=ac，下同解法1.

評注坐標(biāo)法是實現(xiàn)幾何問題代數(shù)化的有力工具，解法7,8主要體現(xiàn)了建系的合理性.

解法9 (幾何法1)如圖3，過點D作DE∥CB交AB于點E，易得△BDE為邊長為1的等邊三角形.

圖3

整理,得a+c=ac，下同解法1.

解法10 (幾何法2)如圖4，過點D作DE∥AB交BC于點E，易得△BDE為邊長為1的等邊三角形.

圖4

整理,得a+c=ac，下同解法1.

解法11 (幾何法3)如圖5，過點C作CE∥DB交AB的延長線于點E，易得△BCE為邊長為1的等邊三角形.

圖5

整理,得a+c=ac，下同解法1.

解法12 (幾何法4)如圖6，過點A作AE∥BC交BD延長線于點E，易得△ABE為邊長為1的等邊三角形.

圖6

整理，得a+c=ac，下同解法1.

解法13 (幾何法5)如圖7，延長CB至點E,使BE=AB，連接AE，由已知易得△ABE為邊長為1的等邊三角形.

圖7

整理,得a+c=ac，下同解法1.

圖8

整理,得a+c=ac，下同解法1.

評注以上6種幾何法可看出從三角形任意點出發(fā)均可作圖，可見作圖的多樣性，其核心都是圍繞角平分線段BD展開.

1.4 考生答題情況簡述

據(jù)筆者調(diào)查，總體來看，考生解答這道題情況并不理想.具體體現(xiàn)在:(1)目標(biāo)意識不強(qiáng)，不明確解題方向，機(jī)械套用公式.例如，本小題的結(jié)論是邊的最值關(guān)系，大方向應(yīng)該是朝著建立邊的關(guān)系變形.但有些考生對“消角留邊”還是“化邊為角”不清楚，一味機(jī)械套用正弦定理、余弦定理，繞來繞去沒有抓住角平分線這一核心.(2)是解題策略選擇不當(dāng)，導(dǎo)致運算推理耗時太多.(3)是分析問題的能力較差.主要表現(xiàn)在思維只停留在正余弦定理范圍，尋求邊a,c的關(guān)系，至于運用幾何作圖法，更是鳳毛麟角，說明考生解題方法單一.

2 核心素養(yǎng)下的解題優(yōu)化策略

2.1 核心素養(yǎng)下的解題

數(shù)學(xué)解題，一要先有目標(biāo),二要整體把握解題過程，可以從大處著眼，小處著手二個層次把握.大處著眼(俗稱大局觀)即：理解題意、弄清條件、明確目標(biāo)是解題的基礎(chǔ).小處著手，就是具體解題過程的實施，套用基本模型，或建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行邏輯推理，或運算變形，還需要把握解題過程與步驟等.當(dāng)然，在解題過程中，有效監(jiān)控伴隨始終，在思維受阻，運算推理遭遇困難時，需要調(diào)整優(yōu)化預(yù)案，甚至有時需要改弦易轍，另起爐灶.

2.2 目標(biāo)引領(lǐng)下的解題教學(xué)設(shè)計(片斷)

對2018年江蘇卷13題，前面給出了諸多解法，并對這些解法作了分析.就其解題而言，自然希望能較快找到解決問題的思路，并在明確解題目標(biāo)的基礎(chǔ)上，評估并選擇最恰當(dāng)?shù)慕忸}方法.那么，在解題教學(xué)時，如何引導(dǎo)學(xué)生分析目標(biāo)，尋找恰當(dāng)?shù)乃悸纺?

下面給出該題解題中啟發(fā)學(xué)生思考的問題串(要點)，當(dāng)然，在具體教學(xué)實施時，要突出問題的啟發(fā)引導(dǎo)，并隨機(jī)應(yīng)變，順勢而為.①目標(biāo)是求長度(邊)和的最值，大方向是消角化邊，找到兩邊關(guān)系；②所給條件核心是三角形角平分線的長度(唯一一邊值)；③分析所給條件結(jié)構(gòu)，應(yīng)首先考慮用面積關(guān)系或正弦定理；④始終要用到角平分線，盡可能避免b邊出現(xiàn)，可以看出前面給出的多種解法都圍繞這一目標(biāo)而展開，或者說，這些解法全部指向求a，c的關(guān)系，不同方法只是求的路徑不同.在這一意義下，甚至可以說，其幾種解法只有一種，雖是一題多解，實則多解一法；⑤再觀察式子a+c=ac與目標(biāo)4a+c結(jié)構(gòu)特征，同時也要引導(dǎo)學(xué)生意識到，直接求出a,c是困難的，應(yīng)該對式子進(jìn)行變形，其本質(zhì)是可以減少字母個數(shù)或整體代換.

從以上方法來看，試題的解答入口很寬，命題設(shè)計上體現(xiàn)了具有開放性和探究性，同時在解法上出現(xiàn)了常規(guī)性和創(chuàng)新性.真正檢驗了考生的邏輯推理核心素養(yǎng)，同時也為我們傳導(dǎo)了平時教學(xué)中對問題的深入探究，進(jìn)一步提升教學(xué)方法.