Volta's混沌系統(tǒng)自適應滑模同步

王東曉,李自強

(鄭州航空工業(yè)管理學院 數(shù)學學院,河南 鄭州 450046)

混沌是非線性動力系統(tǒng)的固有特性，是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象，混沌理論所研究的是非線性動力學混沌，目的是要揭示貌似隨機的現(xiàn)象背后可能隱藏的簡單規(guī)律，以求發(fā)現(xiàn)一大類復雜問題普遍遵循的共同規(guī)律。混沌系統(tǒng)同步屬于混沌控制范疇，一直是廣大科研工作者興趣所在，是研究的一個熱點。

隨著研究的深入，混沌系統(tǒng)的同步有著廣泛的應用前景，同步問題備受關注，新的系統(tǒng)新的方法層出不窮。毛北行等[1]研究了非線性復雜網(wǎng)絡混沌系統(tǒng)的有限時間同步問題；分數(shù)階相比整數(shù)階系統(tǒng)存在更普遍，研究分數(shù)階系統(tǒng)同步的文獻大量出現(xiàn)，毛北行對滑模同步兩種方法進行比較[2]，較早出現(xiàn)的自適應方法也常常用于整數(shù)階或分數(shù)階混沌系統(tǒng)同步[3,4];張燕蘭采用自適應方法實現(xiàn)分數(shù)階Rayleigh-Duffling-like系統(tǒng)的廣義投影同步；滑模同步方法是我們興趣小組常用的工具，整數(shù)階分數(shù)階都有實現(xiàn)同步[5,6]，余明哲等[7]滑模自適應同步了一類不確定分數(shù)階系統(tǒng);鐘啟龍等[8]采用主動滑模研究了分數(shù)階混沌系統(tǒng)同步問題；同樣可以實現(xiàn)整數(shù)階系統(tǒng)與分數(shù)階系統(tǒng)同步問題[9];兩個不同系統(tǒng)的同步也可以利用自適應滑?？刂苼韺崿F(xiàn)[10]; Volta's混沌系統(tǒng)[11,12]在物理、通信等方面有著廣泛應用，張振等[13]研究了分數(shù)階Volta's系統(tǒng)同步問題；李嬌研究了Volta's系統(tǒng)的混合投影同步[14]；張志明等[15]對Volta's混沌系統(tǒng)添加一個新的狀態(tài)變量，得到一個四維的自治超混沌系統(tǒng)。在上述研究的基礎上,本文采用滑?？刂仆椒椒?，研究了三維整數(shù)階和三維分數(shù)階Volta's混沌系統(tǒng)同步問題,給出了系統(tǒng)取得同步的充分性條件，最后的數(shù)值仿真結果表明我們方案的有效性和可行性。

1 主要結果

考慮如下三階Volta's混沌系統(tǒng)[11，12]

(1)

系統(tǒng)初始值(x1(0),x2(0),x3(0))=(1,2,8)，此時系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌態(tài)，如圖1。而分數(shù)階系統(tǒng)更具有實際意義，

定義1[15]分數(shù)階Caputo導數(shù)的定義

(2)

分數(shù)階q=0.98，系統(tǒng)初始值(x1(0),x2(0),x3(0))=(1,2,8)，吸引子如圖2.

圖2 分數(shù)階Volta’s系統(tǒng)的混沌吸引子

下面分別用滑模控制實現(xiàn)兩系統(tǒng)的同步.

以系統(tǒng)(1)作為驅(qū)動系統(tǒng),其對應的響應系統(tǒng)設計為:

(3)

其中Δfi(y)為不確定項，di(t)為外部擾動，ui為控制器,取誤差變量ei=yi-xi，(i=1,2,3)，誤差系統(tǒng)如下：

(4)

假設1：參數(shù)mi,ni>0，使得|Δfi(y)|

定理1構造控制方案，選取控制器：

在該方案控制下，誤差系統(tǒng)趨于零，主從系統(tǒng)(1)與(3)同步.

證當狀態(tài)變量在滑模面上運動時，將控制輸入ui(t)代入誤差系統(tǒng)(4)，其第一個方程即為：

≤-e2

那么e2→0，同理，有第三個方程可得e3→0.

當系統(tǒng)狀態(tài)變量不在滑模面上運動時，構造Lyapunov函數(shù)

則Lyapunov函數(shù)關于時間t的導數(shù)：

≤

下面我們再來考慮分數(shù)階的Volta's混沌系統(tǒng)同步問題,以系統(tǒng)(2)作為驅(qū)動系統(tǒng),其對應的響應系統(tǒng)設計為:

Dtqy1=-y1-19y2-y2y3+Δf1+d1(t)+u1

Dtqy2=-y2-11y1-y1y3+Δf2+d2(t)+u2

Dtqy3=0.73y3+y1y2+1+Δf3+d3(t)+u3

(5)

響應系統(tǒng)(5)減去驅(qū)動系統(tǒng)(2)得到誤差系統(tǒng)：

Dtqe1=-e1-19e2-(y2y3-x2x3)+Δf1+d1(t)+u1

Dtqe2=-e2-11e1-(y1y3-x1x3)+Δf2+d2(t)+u2

Dtqe3=0.73e3+(y1y2-x1x2)+Δf3+d3(t)+u3

(6)

引理2[17]若x(t)為連續(xù)可微的函數(shù)，則有?t≥t0

閱讀前的調(diào)查顯示青少年會花精力去查找他們要讀什么。主要有三方面行為的調(diào)查：目標鎖定行為的調(diào)查結果顯示，大部分青少年都有自己非常喜歡的書籍類型，已經(jīng)形成自己的閱讀內(nèi)容偏好，并將這種偏好作為自己鎖定閱讀目標的重要考慮因素；閱讀決策行為的調(diào)查結果顯示，65%的被調(diào)查者認為參考他人、查找評論、試讀、書籍比較是其普遍選擇，同時，查找網(wǎng)絡評價、網(wǎng)上試讀兩個選項的調(diào)查結果差異較大；書籍獲取行為的調(diào)查結果顯示，68%的被調(diào)查者使用手機、iPad等移動設備進行閱讀，65%的被調(diào)查者通過搜索引擎查找想讀的書籍。

定理2構造控制方案，選取控制器：

在該方案控制下，響應系統(tǒng)(5)與驅(qū)動系統(tǒng)(2)同步.

證當狀態(tài)變量在滑模面上運動時，將控制輸入ui(t)代入誤差系統(tǒng)(6)，其第一個方程即為：

在滑模面上s=0及假設1條件下，所以Dtqe1≤-e1，那么e1→0.第二個方程：

≤-e2

那么e2→0，同理，有第三個方程可得e3→0.

當系統(tǒng)狀態(tài)變量不在滑模面上運動時，構造Lyapunov函數(shù)

則Lyapunov函數(shù)關于時間t求q階分數(shù)階導數(shù)：

≤

2 數(shù)值仿真

圖3 定理1的系統(tǒng)誤差曲線

圖4 定理2的系統(tǒng)誤差曲線

3 結論

研究了Volta's混沌系統(tǒng)的同步控制問題,分別對三維和四維混沌系統(tǒng)設計了控制方案,得到了整數(shù)階Volta's混沌系統(tǒng)同步的充分性條件,給出了嚴格的數(shù)學證明和推理過程,數(shù)值仿真表明該方法有效性和可行性。