低精度ADC下大規(guī)模多輸入多輸出系統(tǒng)基于三對角迭代法的軟輸出信號檢測

唐容 袁連海 景小榮

（1.重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065；2.成都理工大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院電子信息與計算機工程系，四川樂山 614000）

1 引言

大規(guī)模多輸入多輸出（massive Multiple-Input Multiple-Output，mMIMO）技術(shù)在基站端部署成百上千根天線，多個終端同時發(fā)送數(shù)據(jù)，極大地提升頻譜利用率［1-2］。由此，mMIMO 技術(shù)成為未來無線通信物理層關(guān)鍵使能傳輸技術(shù)之一。

上行鏈路信號檢測作為mMIMO 系統(tǒng)的關(guān)鍵研究內(nèi)容，已有的相關(guān)研究分別從非線性檢測與線性檢測兩個方向展開。非線性檢測適用于收發(fā)天線數(shù)相當(dāng)?shù)那樾?，其中包括文獻［3］提出的似然上升搜索（Likelihood Ascent Search，LAS）算法，該算法能以較低復(fù)雜度取得近似最大似然（Maximum Like?lihood，ML）性能，但LAS 算法難以在高階調(diào)制系統(tǒng)中應(yīng)用；文獻［4］在主動禁忌搜索（Reactive Tabu Search，RTS）的基礎(chǔ)上提出隨機重啟主動禁忌搜索（Random-Restart Reactive Tabu Search，R3TS）算法，以適應(yīng)高階調(diào)制系統(tǒng)。線性檢測諸如最小均方誤差（Minimum Mean Square Error，MMSE）算法，通常適用于收發(fā)天線數(shù)量比值較大情形。該類算法得益于mMIMO 系統(tǒng)的信道硬化特性，能夠?qū)崿F(xiàn)近似最優(yōu)檢測性能［5］；然而，MMSE 檢測涉及矩陣求逆運算，硬件負荷較大；為此，多種降低運算復(fù)雜度的算法陸續(xù)提出。文獻［6］利用Neumann 級數(shù)展開來近似矩陣的逆，但級數(shù)展開到三項及以上時，其復(fù)雜度飆升至O(K3)，并且檢測性能也不理想；牛頓迭代（Newton Iteration，NI）算法具備更快的收斂速度，然而迭代過程涉及矩陣間乘法，文獻［7］結(jié)合Richard?son 算法提出改進NI，在降低計算復(fù)雜度的同時保持較好的檢測性能。不同于上述近似矩陣的逆的方式，文獻［8］采取另一種思路，將信號檢測過程轉(zhuǎn)化為線性方程組迭代求解，其優(yōu)勢在于多次迭代后，算法復(fù)雜度依然保持在O(K2)。最近，文獻［9］結(jié)合格雷編碼調(diào)制信號的比特翻轉(zhuǎn)特性，提出能夠適用于高階QAM調(diào)制下的低復(fù)雜度信號檢測算法。

然而，大量涌現(xiàn)的mMIMO 系統(tǒng)上行鏈路檢測通常是考慮高精度或全精度模數(shù)轉(zhuǎn)換器（Analog-to-Digital Converter，ADC），這將引起過高硬件成本和功耗開銷等問題。于是，為降低硬件成本，基站通常采用低精度ADC（即量化比特b≤4）［10-12］。但低精度ADC 引起的量化失真，給上行信號檢測造成一定的性能損失。針對1-bit 量化mMIMO 系統(tǒng)，通過將信號檢測轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題求解，能夠取得近似ML 性能［13］。文獻［14］考慮低精度ADC 下 的mMIMO 系統(tǒng)，利用廣義近似消息傳遞（Generalized Approximate Message Passing，GAMP）算法，通過檢測器與譯碼器的外信息交互，其在系統(tǒng)性能與算法復(fù)雜度中取得折中。總之，低精度ADC 下mMIMO系統(tǒng)信號檢測的研究成果相對較少，而且鮮有考慮信道編碼；但在實際系統(tǒng)中，通常計算信道編碼的軟信息幫助實現(xiàn)信號恢復(fù)，以期望獲得比硬判決更優(yōu)良的檢測性能。

綜上所述，本文針對低精度ADC 下的mMIMO系統(tǒng)，首先基于MMSE 準則，結(jié)合mMIMO 的信道硬化特性，利用三對角迭代法（Tridiagonal Iterative Method，TDIM）完成信號檢測過程；然后，為加快TDIM 收斂，給出一種基于分塊矩陣求逆的初始解計算方法；最后，計算軟信息以幫助提升信號檢測性能。數(shù)值結(jié)果表明，本文所提算法能夠在檢測性能與計算復(fù)雜度之間取得折中，這對低精度ADC 下的mMIMO 系統(tǒng)及其產(chǎn)業(yè)化應(yīng)用具有一定的現(xiàn)實意義。

2 系統(tǒng)模型

考慮多用戶mMIMO系統(tǒng)上行鏈路（圖1所示）?；静渴餗根天線，為K?M個單天線用戶提供服務(wù)。令xc（本文變量含有下標(biāo)“c”為復(fù)數(shù)變量）表示由K個用戶待發(fā)送符號所組成的信號矢量，滿足，則基站接收信號矢量可表示為

其中Hc∈CM×K表示K個用戶到基站的信道矩陣，其元素為相互獨立的復(fù)高斯隨機變量［15］，假設(shè)基站確知Hc；nc～CN(0，)表示基站端加性高斯白噪聲矢量，是噪聲方差，IM表示M階單位矩陣。

受硬件成本和功耗限制，基站端采用低精度ADC 量化，為便于分析，姑且假設(shè)與各天線連接的ADC 均采用相同量化精度，則根據(jù)加性量化噪聲模型（Additive Quantization Noise Model，AQNM），量化后的接收信號yqc可表示為

其中nqc是加性高斯量化噪聲矢量，其與量化輸入yc統(tǒng)計不相關(guān)；α=1 -ρ，ρ表示與量化比特數(shù)b相關(guān)的失真因子，當(dāng)b≤5時，ρ的值如文獻［16］中表1所示；當(dāng)b>5時，ρ≈。

對于給定信道矩陣實現(xiàn)Hc，量化噪聲的協(xié)方差矩陣可表示為

3 低精度ADC 下基于MMSE 準則的軟輸出信號檢測

低精度ADC下，MMSE檢測矩陣滿足

將xc、yqc代入式（5），計算得到

由式（6）可知，低精度ADC 量化下，MMSE 均衡矩陣包含了量化噪聲的影響。

發(fā)送信號矢量xc的估計值為

其中φk表示Φc中第(k，k)個元素，ξc，k表示MMSE 均衡后中所包含的量化噪聲、噪聲以及干擾項（Quantization and Noise Plus Interference，QNPI），其對應(yīng)方差可表示為

在MMSE 準則下，直接求解發(fā)送信號矢量的估計值需要計算MMSE 濾波矩陣Fc的逆；同時，計算軟信息涉及矩陣間乘法運算，而mMIMO 系統(tǒng)天線數(shù)量較多，導(dǎo)致上述檢測過程計算開銷過大。于是，下面我們將基于TDIM，并結(jié)合初始值確定，給出一種低復(fù)雜度的軟輸出信號檢測算法。

4 基于三對角迭代法的低復(fù)雜度軟輸出信號檢測

為有效降低MMSE 準則下信號檢測的復(fù)雜度，本節(jié)基于TDIM 以迭代的形式完成信號檢測過程；然后，提出一種基于分塊矩陣求逆的初始解計算方法，加快TDIM 收斂速度；最后結(jié)合MMSE 濾波矩陣的特性，給出簡化計算LLR 的具體過程，以期望進一步降低軟輸出信號檢測算法的復(fù)雜度。

4.1 基于TDIM 的迭代信號檢測

線性方程組Ax=b，若A是對角占優(yōu)矩陣，在給定初始解情況下，可利用TDIM 實現(xiàn)迭代求解，而無需對矩陣A進行求逆運算［17］。為適應(yīng)TDIM，將復(fù)數(shù)信號模型轉(zhuǎn)化到實數(shù)域下

對應(yīng)地，低精度ADC 量化后的信號模型可用下式表示

由上述過程得到矩陣L和矩陣U；然后即可再分別求解二對角線性系統(tǒng)Ld=f和=d。

首先解二對角線性系統(tǒng)Ld=f

由式（20）可得到d1=f1

計算得到d后，繼續(xù)求解=d，即

4.2 基于分塊矩陣的初始解計算

TDIM 作為一種迭代算法，需要設(shè)置初始解。盡管初始解并不改變迭代算法的收斂性，但對收斂速度和計算復(fù)雜度均有一定的影響。為此，本節(jié)提出一種基于分塊矩陣求逆的初始解確定方法，該方法不但加快了TDIM 的收斂速度，而且在相對較低的計算復(fù)雜度下使TDIM 方法取得了近似最優(yōu)的檢測性能。

實數(shù)信號模型下，MMSE 濾波矩陣F∈R2K×2K是一個方陣，對F進行分塊，如式（24）所示

其中Z1∈RK×K，B∈RK×K，V∈RK×K，Z2∈RK×K均為方陣。

定義矩陣S，其包含矩陣F的對角線元素以及矩陣V

其中diag(·)表示取對角矩陣，0K表示K階的零矩陣。由分塊矩陣求逆可得S-1

在已有的大部分研究中，通常將初始解設(shè)置為零向量，或者利用F的對角線元素來確定初始解，與這兩種方式相比，本節(jié)所提出的基于分塊矩陣求逆計算S-1稍顯復(fù)雜，但其能加快TDIM 的收斂速度，即其以少量計算復(fù)雜度為代價，使TDIM 信號檢測算法能夠更快地取得近優(yōu)性能。

4.3 對數(shù)似然比計算

4.4 復(fù)雜度分析

本節(jié)以算法所需浮點運算量作為度量，主要針對TDIM 與相關(guān)對比算法的信號檢測部分進行復(fù)雜度分析，各算法采用相同的LLR 近似計算以保證公平比較。因此，MMSE 濾波矩陣F、匹配濾波信號以及LLR的計算復(fù)雜度均不予考慮。

根據(jù)上述分析，基于TDIM 的軟輸出信號檢測算法復(fù)雜度主要包括初始解確定和迭代計算兩個部分。第一部分利用分塊矩陣求逆計算初始解向量共需要4K2+5K次浮點運算。第二部分為基于TDIM 來迭代求解發(fā)送信號估計值，在該部分，首先對轉(zhuǎn)化后的三對角線性系統(tǒng)的系數(shù)矩陣進行LU分解，其需要3(2K-1)次浮點運算（該分解在迭代過程中僅需一次，不隨迭代次數(shù)變化）；然后對給定的，t=1，2，…，T，計算，需浮點運算量為8K2-12K；最后，計算需10K-4 次浮點運算。因此，基于TDIM 的信號檢測算法，經(jīng)T次迭代后，其所需浮點運算量為T·(8K2-2K)+4K2+11K。

圖2 給出本文基于TDIM 的軟輸出信號檢測算法（圖中及后續(xù)描述以TDIM 標(biāo)識，除非特殊說明，其初始值基于分塊矩陣求逆方法確定）、基于Neu?mann 級數(shù)展開［6］的軟輸出信號檢測算法（圖中及后續(xù)描述以Neumann標(biāo)識）、基于Jacobi迭代［18］的軟輸出信號檢測算法（圖中及后續(xù)描述以Jacobi標(biāo)識）和基于Cholesky 分解的軟輸出信號檢測算法（圖中及后續(xù)描述以Cholesky標(biāo)識）的計算復(fù)雜度對比圖，其中TN表示Neumann 級數(shù)展開的項數(shù)，T表示迭代次數(shù)。由圖2 可知，由于Neumann 級數(shù)展開和Cho?lesky 分解的信號檢測算法分別涉及矩陣間乘法與矩陣求逆運算，浮點運算量較大；而TDIM 與Jacobi算法以迭代形式規(guī)避了矩陣求逆運算，因此浮點運算量較少。同時，TDIM 結(jié)合基于分塊矩陣求逆的初始解確定，其復(fù)雜度略大于Jacobi算法，但后續(xù)仿真結(jié)果驗證TDIM算法性能明顯優(yōu)于Jacobi算法，因此，其適度的計算量增加是可以接受的。

5 仿真結(jié)果及分析

本節(jié)將從多個角度對基于TDIM 的軟輸出信號檢測算法進行評估。仿真參數(shù)除特殊說明外，均設(shè)置如下：基站天線數(shù)M=128，用戶數(shù)K=16，信道編碼采用碼率為1/2 的卷積碼，基帶信號調(diào)制模式為64-QAM，用戶平均發(fā)送功率歸一化為1 mW。

圖3 給出了基于TDIM 的軟輸出信號檢測算法在不同ADC 量化精度下，其BER 性能隨SNR 的變化情況（圖中及后文描述中“full”表示“全精度ADC”，即不考慮量化影響）。由圖3可知，隨SNR增加，各量化精度下的BER性能均有所提升，但1（bit）量化的BER 性能變化幅度較小，這是因為1（bit）量化時，量化噪聲較大，起主導(dǎo)作用，導(dǎo)致量化后的接收信號失真非常嚴重，因此，性能曲線隨SNR 變化不明顯。當(dāng)ADC 量化比特b=4(bits)時，特別在較低SNR 范圍內(nèi)，基于TDIM 的軟輸出信號檢測算法可取得近似全精度ADC 的信號檢測性能；同時注意到，在較高SNR 范圍，其性能與全精度ADC 下的信號檢測性能差別不大，例如在可接受的檢測性能BER=10-4時，與全精度ADC 性能僅相差0.4 dB。因此，綜合考慮硬件成本和系統(tǒng)功耗，在mMIMO 系統(tǒng)中，基站ADC 采用4（bits）量化是有效可行的方案。

圖4 給出基于TDIM 的軟輸出信號檢測算法在不同初始解的條件下的BER 性能曲線圖。這里TDIM-Block 特指本文提出的基于TDIM 的軟輸出信號檢測算法，其初始解基于分塊矩陣求逆來確定；TDIM-Diagonal 則指基于MMSE 濾波矩陣的對角線元素來確定初始解；TDIM-Zero 表示將零向量作為初始解。由圖3 仿真結(jié)果可知，ADC 量化比特數(shù)取4時，在硬件成本和性能之間可取得良好的折中，因此，圖4 給出基站ADC 量化比特為4（bits）時，選擇不同初始解對基于TDIM 的軟輸出信號檢測算法性能的影響。圖4 表明，在相同迭代次數(shù)下，TDIMBlock 算法明顯優(yōu)于TDIM-Diagonal 和TDIM-Zero 算法；TDIM-Block 算法2 次迭代即可達到TDIM-Zero算法4 次迭代的性能。同時，TDIM-Block 算法4 次迭代可取得接近Cholesky 算法的性能，這充分說明本文提出采用分塊矩陣求逆來確定初始值能夠加快TDIM算法的收斂。

設(shè)定SNR=4 dB 和SNR=10 dB 時，圖5給出基于TDIM 的軟輸出信號檢測算法在基站ADC 量化比特b=1，2，3，4，full 時的收斂性能。由圖5 可知，各量化精度下的BER 性能曲線基本趨于平穩(wěn)，即算法實現(xiàn)收斂，因此，后續(xù)仿真中選取迭代次數(shù)T=4。

設(shè)定ADC 量化比特數(shù)b=4(bits)時，圖6 給出TDIM 與Neumann，Jacobi，Cholesky 算法的BER 性能曲線對比。由圖6 可知，各算法的BER 性能曲線均SNR 增加而下降；然而本文提出的TDIM 算法結(jié)合了分塊矩陣求逆的初始解計算，其收斂速度加快，因此，TDIM 算法BER 性能明顯優(yōu)于Neumann 與Jacobi 算法，且在迭代次數(shù)為4 時，TDIM 算法接近Cholesky 算法的性能，例如，在可接受的檢測性能BER=10-4時，TDIM 與Cholesky 分解的MMSE 理論性能僅相差0.2 dB。

設(shè)定SNR=10 dB，K=16，T=4，圖7 給出基于TDIM 的軟輸出信號檢測算法在不同ADC 量化精度下BER 性能隨基站天線數(shù)M變化的曲線圖。當(dāng)基站天線數(shù)目較少時，MMSE 濾波矩陣的對角占優(yōu)性不明顯，TDIM 算法性能較差，與Cholesky 算法存在一定的差距；隨基站天線數(shù)目增加，由于mMIMO 系統(tǒng)陣列增益不斷提升，各量化精度下的BER 性能也得到改善。盡管ADC 量化比特取b=4(bits)時，其BER 性能與全精度ADC 仍存在一定差距，但相較b=3，2，1 情況，其性能提升非常明顯。同時，在全精度ADC 下，用戶數(shù)量一定時，隨著基站天線數(shù)量不斷增加，MMSE濾波矩陣的對角占優(yōu)性更加明顯，TDIM可取得近似Cholesky算法的檢測性能。

設(shè)定SNR=10 dB，M=128，T=4，圖8 給出基于TDIM 的軟輸出信號檢測算法性能隨用戶數(shù)變化的曲線圖。由圖8可知，在用戶數(shù)量較少，即系統(tǒng)負荷較低時，TDIM 的檢測性能非常優(yōu)良，這是因為當(dāng)接收天線數(shù)量一定，用戶數(shù)量越少，MMSE濾波矩陣的對角占優(yōu)性越明顯，而TDIM 在處理嚴格對角占優(yōu)矩陣時的優(yōu)勢也就越明顯。然而，隨著用戶數(shù)K的增加，用戶間干擾不斷增加，收發(fā)端天線數(shù)量比M/K減小，MMSE 濾波矩陣的對角占優(yōu)性不明顯，因此，本文所提出的基于TDIM 的軟輸出信號檢測性能有所下降，與Cholesky 算法的差距逐漸增大。當(dāng)ADC 量化比特數(shù)取4 時，其BER 性能接近全精度量化，這也從側(cè)面說明，基于TDIM 的軟輸出信號檢測算法在低精度ADC 量化下也同樣適用于用戶較多的場景。

6 結(jié)論

受硬件成本限制，mMIMO 基站通常采用低精度ADC 量化。然而，線性MMSE 檢測算法涉及高維矩陣求逆，導(dǎo)致多用戶mMIMO 系統(tǒng)信號檢測復(fù)雜度過大。于是，文中基于TDIM 提出一種低復(fù)雜度的軟輸出信號檢測算法，以迭代的形式完成對發(fā)送信號矢量的估計，并結(jié)合分塊矩陣求逆確定初始值，TDIM 在4 次迭代后即收斂。仿真結(jié)果表明，TDIM 以較低的復(fù)雜度可完成近優(yōu)的軟輸出信號檢測，同時，在量化精度為4（bits）時，該算法可取得接近全精度ADC 的性能，從而在性能和硬件成本間取得了較好的折中。需要強調(diào)的是，本文研究假設(shè)基站確知完美信道狀態(tài)信息，且用戶端配置單天線；對于非完美信道狀態(tài)信息場景及用戶采用多天線情形，我們將在后續(xù)研究中深入展開。