巧妙變換圖形，提升解答立體幾何題的效率

王進(jìn)

立體幾何問(wèn)題都與圖形有關(guān)，對(duì)同學(xué)們的空間想象、直觀想象以及邏輯思維能力有較高的要求.在解題時(shí)，可將一些圖形進(jìn)行巧妙的變換，如平行變換、翻折變換、伸縮變換、旋轉(zhuǎn)變換等，利用平行變換、翻折變換、伸縮變換、旋轉(zhuǎn)變換圖形的性質(zhì)來(lái)解題，這樣可起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的效果，有利于提升解題的效率.

一、平移變換

平移變換是指將圖形或其中的一部分平行移動(dòng). 在此過(guò)程中，平移前后圖形的大小、形狀、面積都不改變，但是圖形中的點(diǎn)、線段、曲線的位置都發(fā)生改變，且改變的方向向量相等.通過(guò)平移變換，可將圖形平移到一些特殊的位置，這樣便可通過(guò)討論這些特殊的情形，找到解題的思路和方向.

例1.已知正三棱柱ABC-ABC的各條棱長(zhǎng)都是2，D為BC中點(diǎn)，求點(diǎn)A到平面ADC的距離.

解：如圖1，連接AC交AC于O，連接OD，易知OD∥AB，

則AB∥平面CAD，

則A到平面ADC的距離是AB上任意一點(diǎn)到平面ADC的距離，即為B到平面ADC的距離，

由D為BC中點(diǎn)知，B到平面ADC的距離即為C到平面ADC的距離，

由AD⊥BC知，平面ADC⊥平面BBCC，

過(guò)C作CH⊥CD于H，則CH⊥平面ADC，

則CH的長(zhǎng)是A到面ADC的距離，

確定點(diǎn)到平面的距離是解答本題的關(guān)鍵.通過(guò)添加輔助線，使得OD∥AB，這樣便將點(diǎn)A平移到B點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)將B到平面ADC的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)C到平面ADC的距離，于是所求的距離為CH，根據(jù)勾股定理即可解題.通過(guò)平移變換，將點(diǎn)A平移到特殊點(diǎn)B，就能將點(diǎn)到面的距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離，這樣便將問(wèn)題簡(jiǎn)化.

二、旋轉(zhuǎn)變換

旋轉(zhuǎn)變換是指將圖形或其中的某一部分繞著一個(gè)點(diǎn)或一條直線旋轉(zhuǎn).在此過(guò)程中，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小、形狀、面積都不改變，但是圖形中的點(diǎn)、線段、曲線的位置都發(fā)生了改變，且旋轉(zhuǎn)的角度相等.將圖形旋轉(zhuǎn)到某一特殊位置，從而將不規(guī)則的幾何圖形變?yōu)橐?guī)則的幾何圖形，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)或運(yùn)算問(wèn)題，這樣能使問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單，易于求解.

例2.若四面體的一條棱長(zhǎng)為xcm，其余棱長(zhǎng)都為2cm，則（1）x∈________;（2）當(dāng)該四面體的體積最大時(shí)，x的值是多少？

解：如圖2，設(shè)PA=xcm，其余棱長(zhǎng)都為2cm，現(xiàn)讓△PBC繞著直線BC旋轉(zhuǎn).

⑵設(shè)點(diǎn)P到平面ABC的距離為d，

通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，可將圖形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的變化規(guī)律揭示出來(lái)，此時(shí)我們只要抓住旋轉(zhuǎn)圖形過(guò)程中的不變?cè)?，?jù)此列出關(guān)系式，利用極限思想就能快速求得問(wèn)題的答案.

三、翻折變換

翻折變換是指將圖形或其中的某一部分沿著某一條直線翻折.在此過(guò)程中，翻折前后圖形的大小、形狀、面積都不改變，圖形中點(diǎn)、線段、曲線的位置都發(fā)生了改變，但其相對(duì)位置不變.通過(guò)翻折圖形，便可改變圖形及其中點(diǎn)、線段、曲線的位置，再抓住翻折過(guò)程中的變量和不變量，即可快速解題.

例3.如圖3，ABCD是正方形，E是AB的中點(diǎn)，將△ADE和△BEC沿DE和CE折起，使AE與BE重合，記A與B重合后的點(diǎn)為P.（1）求證：PE⊥平面PDC;（2）求二面角P-CD-E的度數(shù).

（1）證明：因?yàn)锳BCD是正方形，將其翻折后使AE與BE重合，此時(shí)PE⊥PD，PE⊥PC，故PE⊥平面PDC.

（2）解：取CD中點(diǎn)F，連接PF，PE，在圖3中，AD=BC，ED=EC

而翻折后A，B重合為P，

故PD=PC，可知PF⊥CD，EF⊥CD，

則∠PFE是二面角P-CD-E的平面角.

則二面角P-CD-E的度數(shù)為30°

從正方形的性質(zhì)入手，結(jié)合圖形，便可快速找到一些垂直關(guān)系和相等關(guān)系，這也是將△ADE和△BEC翻折過(guò)程中的不變關(guān)系，再根據(jù)翻折后圖形中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系進(jìn)行分析，便可快速找到二面角P-CD-E的平面角，求得該角的大小.

例4.如圖5，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把△DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF⊥BF.（1）證明：平面PEF⊥平

面ABFD;（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

（1）證明：由已知可得BF⊥PF，BF⊥EF，

又PF∩EF=F，所以BF⊥平面PEF.

所以平面PEF⊥平面ABFD.

（2）解：如圖5，作PH⊥EF，垂足為H.

由（1）得，PH⊥平面ABFD.

又PF=1，EF=2

解答本題的關(guān)鍵是了解翻折前后線、面位置關(guān)系的變化情況，根據(jù)翻折的過(guò)程找到翻折前后線線位置關(guān)系中沒(méi)有變化的量和發(fā)生變化的量，這些不變的和變化的量反映了翻折后圖形的結(jié)構(gòu)特征，據(jù)此便可建立關(guān)系式，順利解題.

四、伸縮變換

伸縮變換是指將圖形或其中的某一部分伸長(zhǎng)或縮短.伸縮前后圖形的大小、形狀、面積、周長(zhǎng)都發(fā)生改變，圖形中點(diǎn)、線段、曲線的位置也發(fā)生了改變，但其相對(duì)位置不變.通過(guò)伸縮變換，可將不規(guī)則圖形變?yōu)橐?guī)則圖形，把不特殊、不熟悉的情形變成特殊的、熟悉的的情形，這樣便將復(fù)雜的、陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、熟悉的問(wèn)題.

解：當(dāng)EF→0時(shí)，

所以6<V<9，所以本題應(yīng)選D.

此解法是抓住了選擇題的特點(diǎn)，并通過(guò)伸縮變換EF，得到一些容易計(jì)算的特殊情形，據(jù)此求得幾何體體積的最值，結(jié)合所給的選項(xiàng)就能快速求得問(wèn)題的答案.

由此可見，運(yùn)用這四種變換圖形的性質(zhì)來(lái)解答立體幾何問(wèn)題，能收到意想不到的效果.在解題時(shí)，同學(xué)們可根據(jù)題意和圖形的特征，將圖形或其中的某一部進(jìn)行平移、伸縮、翻折、旋轉(zhuǎn)，尋找到特殊的情形，便可由此找到解題的思路.但是無(wú)論怎么變換圖形，同學(xué)們都要把握其中的變量和不變量.