例談轉(zhuǎn)化思想在解答不等式證明問題中的應(yīng)用

李振文 李丹

證明不等式問題經(jīng)常出現(xiàn)在各類試題中，此類問題的綜合性較強(qiáng)，有時(shí)僅運(yùn)用不等式知識(shí)很難使問題得解，需運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將問題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，如將其轉(zhuǎn)化為方程問題、幾何問題、函數(shù)最值問題等，然后運(yùn)用方程、幾何、函數(shù)知識(shí)等來求解.下面結(jié)合實(shí)例來談一談如何巧妙運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想證明不等式.

一、將問題轉(zhuǎn)化為方程問題

在證明不等式受阻時(shí)，可將問題轉(zhuǎn)化為方程問題來求解.需將不等式中的變量看作方程中的未知數(shù)，根據(jù)目標(biāo)不等式的特點(diǎn)和已知關(guān)系式構(gòu)造方程，再通過解方程或利用方程的性質(zhì)證明不等式.通常會(huì)根據(jù)解題需求構(gòu)造一元二次方程，以便利用一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系來解題.

由f（x），f（α），f（y）成等差數(shù)列得：2f（α）=f（x）+f（y），

又∵g（x），g（β），g（y）成等差數(shù)列，

∴2g（β）=g（x）+g（y）

∴2（1-sinβ）=（1-sinx）+（1-siny）②，

設(shè)a=1-sinx，b=1-siny，

由③④得：a+b=2（1-sinβ），ab=（1-sinα）（1-sinβ）

將a，b看作一元二次方程t-2（1-sinβ）+（1-sinα）（1-sinβ）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

由△>0可得：1-sinα<1-sinβ，

∴sinα>sinβ，

∴α>β.

解答本題，需先將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于1-sinx，1-siny的關(guān)系式，然后將其看作一元二次方程的兩根，根據(jù)韋達(dá)定理構(gòu)造出一元二次方程，便可根據(jù)判別式△>0，建立關(guān)于α、β的關(guān)系式，從而證明α>β.解答本題的關(guān)鍵是，根據(jù)一元二次方程的兩根與系數(shù)之間的關(guān)系構(gòu)造一元二次方程，將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題來求解.運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，能巧妙地轉(zhuǎn)換解題的思路.

二、將問題轉(zhuǎn)化為幾何問題

有些不等式證明題中含有絕對(duì)值、根式、平方式、高次冪等，此類不等式很難化簡(jiǎn)，此時(shí)可深入挖掘這些代數(shù)式的幾何意義，畫出相應(yīng)的圖形，將問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，借助圖形來進(jìn)行分析，根據(jù)點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系建立關(guān)系式，從而證明不等式.

三、將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題

有些不等式證明問題較為復(fù)雜，此時(shí)我們可根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，?gòu)造出函數(shù)模型，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.如將f（x）≥a轉(zhuǎn)化為f（x）≥a;將f（x）≤a轉(zhuǎn)化為f（x）≤a;將f（x）>g（x）轉(zhuǎn)化為f（x）>g（x）;將f（x）max