解題教學(xué)中培養(yǎng)初中學(xué)生發(fā)散性思維能力的措施

陳艷陽

[摘? 要] 解題能力與發(fā)散性思維的培養(yǎng)有著密不可分的聯(lián)系. 文章以一道題的教學(xué)為例，探討如何在解題教學(xué)中有目的、有計(jì)劃、有意識(shí)地?cái)U(kuò)大學(xué)生的解題思路，鼓勵(lì)學(xué)生在解題中充分發(fā)揮想象力，多角度看待問題，從而突破學(xué)生的思維定式，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的魅力，培養(yǎng)發(fā)散性思維.

[關(guān)鍵詞] 發(fā)散思維;解題;觀察;

隨著新課改的推進(jìn)，發(fā)展學(xué)生的發(fā)散性思維成了教育的熱點(diǎn)話題. 波利亞認(rèn)為：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)解題. ”究竟怎樣發(fā)揮每道數(shù)學(xué)題的價(jià)值，讓學(xué)生從一道道試題中感知數(shù)學(xué)獨(dú)有的魅力，培養(yǎng)發(fā)散性思維呢？為此，筆者以一道題的教學(xué)為例，展示如何鼓勵(lì)學(xué)生從不同視角觀察問題，讓學(xué)生通過不同視角，逐步揭開問題的神秘面紗，大膽表達(dá)自己的思維過程，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

試題? m為大于1的正整數(shù)，它的三次冪能分裂成多個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和（如23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19等）. 若m3經(jīng)分裂后，若奇數(shù)為103或1003，求m的值.

分析? 本題屬于一道能力題，于考試而言具有區(qū)分度的作用. 初步預(yù)估，此題的難度系數(shù)在0.2-0.3之間. 為了培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，筆者以此題的教學(xué)為例，引導(dǎo)學(xué)生充分展示自己的思維過程，讓學(xué)生從同伴的思維中拓展視野，獲得新的解題思想，提高解題能力.

從統(tǒng)計(jì)學(xué)生自主解題的結(jié)果來看，本題的正確率較高，但解題方法各不相同. 由此可見，數(shù)學(xué)的解題方法并沒有絕對(duì)性，從不同視角出發(fā)，會(huì)有不一樣的解題思路. 為了拓寬學(xué)生的思維廣度，筆者將學(xué)生從不同維度思考的解題方法羅列出來，并加以分析，為培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維與核心素養(yǎng)奠定一定的基礎(chǔ).

生1：根據(jù)題意，若從13=1出發(fā)進(jìn)行思考，則有：

13=1，

23=3+5，

33=7+9+11，

43=13+15+17+19，

…

從該組數(shù)據(jù)來看，這是從1開始的一組有規(guī)律的關(guān)于正整數(shù)的等式. 該等式的左邊都是一個(gè)立方數(shù)，最右邊是一個(gè)寶塔型的有規(guī)律的奇數(shù)，從上往下整體觀察是從1開始的連續(xù)奇數(shù)，且與左邊的底數(shù)有關(guān)（底數(shù)是幾，就是連續(xù)幾個(gè)奇數(shù)的和）. 書寫成寶塔形后，依次觀察數(shù)據(jù)：1，5，11，19，29，…，其規(guī)律為m（m+1）-1.

13=? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1

23=? ? ? ? ? ? ? ? ?3+5

33=? ? ? ? ? ? ? 7+9+11

43=? ? ? ? ?13+15+17+19

53=? ? ? 21+23+25+27+29

m=9，m（m+1）-1=89;m=10，m（m+1）-1=109. 因?yàn)?09>103>89，所以m=10.

依照此規(guī)律，我們可以確定1003所對(duì)應(yīng)的m為32. 這與學(xué)生在小學(xué)里遇到過的楊輝三角模型高度類似，教師也可趁機(jī)帶領(lǐng)學(xué)生區(qū)分這兩個(gè)模型的異同點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的類比思想.

生2：根據(jù)已知條件可知，所有等式的左側(cè)都是立方，右側(cè)是幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和（數(shù)量與數(shù)值與左側(cè)底數(shù)有關(guān)），底數(shù)是幾就是幾個(gè)連續(xù)的奇數(shù)相加，同時(shí)下一個(gè)立方中出現(xiàn)的第一個(gè)奇數(shù)與上一組式子的最后一個(gè)奇數(shù)互為相鄰的關(guān)系. 如：

13=1，

23=3+5，

33=7+9+11，

43=13+15+17+19，

…

103=91+93+95+97+99+101+103+105+107+109

由此可知103存在于103所對(duì)應(yīng)的式子中，所以m=10.

分析? 該方法雖然簡(jiǎn)單、直接，但僅限于對(duì)數(shù)值較小的等式，于數(shù)值較大的問題（如1003）而言，這個(gè)方法過于麻煩，在書寫過程中也容易出現(xiàn)錯(cuò)誤. 故此方法雖簡(jiǎn)便，但不推薦.

生3：根據(jù)生1所書寫的寶塔圖來看，我們可從該模型的中間參數(shù)作為思維的起點(diǎn). 觀察發(fā)現(xiàn)，底數(shù)為奇數(shù)的時(shí)候，分布于中間的數(shù)分別是1，9，25，49…，觀察這組數(shù)據(jù)，不難發(fā)現(xiàn)這組數(shù)據(jù)每一個(gè)都是它們所在等式對(duì)應(yīng)的底數(shù)的平方. 根據(jù)這個(gè)規(guī)律可知：當(dāng)m=9時(shí)，該等式右側(cè)中間的數(shù)為81，與81相鄰且位于其右側(cè)的奇數(shù)分別有83，85，87，89四個(gè)數(shù)，與103相當(dāng)接近.

當(dāng)m=11時(shí)，等式右側(cè)中間的數(shù)為11，即121，與121相鄰且位于左側(cè)的五個(gè)奇數(shù)有111，113，115，117，119. 由此可得，103在m=10的行.

該生將目光鎖定奇數(shù)行，通過奇數(shù)行中“中位數(shù)”的特殊規(guī)律，獲得解題方法的思維讓大家眼前一亮. 這種方法拓寬了學(xué)生的視野，發(fā)散了學(xué)生的思維，讓學(xué)生獲得從不同視角看待問題的能力.

沿著該解題思路，求1003的m值時(shí)，首先要找到符合條件的“中位數(shù)”，當(dāng)m為31時(shí)，寫出與它鄰近的后15個(gè)奇數(shù);當(dāng)m=33時(shí)，寫出與它鄰近的前16個(gè)奇數(shù)，由此可確定1003所對(duì)應(yīng)的m值為32.

學(xué)生的思維在同伴解題方法的影響下，明顯得到拓展，此時(shí)有學(xué)生又提出新的解題方法.

生4：觀察每個(gè)等式右側(cè)的第一個(gè)數(shù)，依次為1，3，7，13，21，31，…，仔細(xì)分析這些數(shù)具有一定的規(guī)律性，為：m（m-1）+1，當(dāng)m=10，m（m-1）+1=10（10-1）+1=91;當(dāng)m=11，m（m-1）+1=11（11-1）+1=111. 91<103<111，所以m的值為10. 同樣，用這個(gè)規(guī)律也能較快找到1003所對(duì)應(yīng)的m值為32.

生5：在偶數(shù)的行，分別插進(jìn)一列數(shù)字：4，16，36…，這些新插進(jìn)的數(shù)恰好是底數(shù)的平方，由于這些數(shù)都是偶數(shù)，因此這些插入的數(shù)不會(huì)出現(xiàn)在每一行中. 若以該平方數(shù)作為中心的數(shù)，寫出與它鄰近且成對(duì)的奇數(shù)，這些數(shù)的平均數(shù)就是這個(gè)平方數(shù). 觀察新組成的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)在各行，中間的那個(gè)數(shù)都是完全平方數(shù)，且與等式左邊的底數(shù)相同. m=9時(shí)，中間的那個(gè)數(shù)為92=81;m=10時(shí)，中間的那個(gè)數(shù)為102=100（插入的偶數(shù)）. 以成對(duì)出現(xiàn)的規(guī)律來看，此行的十個(gè)數(shù)依次為：91，93，95，97，99，101，103，105，107，109. 由此可見m為10.

而當(dāng)m為32時(shí)，中間的數(shù)為322=1024，1024就是插進(jìn)去的那個(gè)偶數(shù)，此時(shí)以1024為中心，逐對(duì)寫出這些奇數(shù)，這些奇數(shù)中有一對(duì)為1003與1045，由此可確定1003在第32行.

觀察每一行數(shù)據(jù)的特征與規(guī)律，發(fā)現(xiàn)當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，m3=[m2-（m-1）]+…+（m2-2）+m2+（2+m2）+…+[m2+（m-1）];當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，m3=[m2-（m-1）]+…+（m2-1）+（1+m2）+…+[m2+（m-1）].

教學(xué)思考：

從不同視角觀察與分析問題，會(huì)有不同的發(fā)現(xiàn). 本題大部分學(xué)生都能獲得正確答案，但解題的思路與方法卻有著千差萬別，有的方法簡(jiǎn)單快捷，有的方法煩瑣復(fù)雜，也有的方法標(biāo)新立異，讓人眼前一亮. 但不管用什么方法，最終指向的結(jié)果一致.

細(xì)細(xì)琢磨學(xué)生的解題過程，發(fā)現(xiàn)只要弄清試題數(shù)據(jù)之間存在的規(guī)律，即可找到解題的方法. 因此，數(shù)學(xué)解題時(shí)，只需要掌握問題的內(nèi)涵，從廣泛的角度去思考，即可獲得舉一反三的能力. 為此，筆者根據(jù)實(shí)際情況，總結(jié)了幾點(diǎn)在解題中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的方法.

1. 充分發(fā)揮想象力

發(fā)散思維的形成離不開想象力的支撐，而想象力的培養(yǎng)離不開對(duì)試題條件的利用. 因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生善于從試題中捕捉各種已知條件或隱含條件，以此為想象的著力點(diǎn)，進(jìn)行合理想象，對(duì)條件進(jìn)行再加工與創(chuàng)造.

如生5，在偶數(shù)的行分別插進(jìn)一列數(shù)字：4，16，36，…，再以這些數(shù)為中心點(diǎn)，成對(duì)添加相鄰的奇數(shù)，即可解決問題. 想象力的作用得到淋漓盡致的展現(xiàn)，學(xué)生就會(huì)突破常規(guī)解題思維，以數(shù)字的插入，讓解題變得得心應(yīng)手.

2. 多角度看待問題

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需靈活，不能揪著教材不放，亦不可人云亦云. 學(xué)生應(yīng)敢于從不同的角度去觀察、分析與總結(jié)問題，勇于與同伴或老師爭(zhēng)辯，大膽地表達(dá)自己的想法. 如此，才能體現(xiàn)出高質(zhì)量的多向思維. 因此，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生在解題時(shí)，給自己多設(shè)幾個(gè)“假如”之類的問題，不斷地廢舊革新，逐漸超越自己，突破自己.

如生4的解題方法，真可謂是橫看成嶺側(cè)成峰，觀察寶塔圖等號(hào)右側(cè)每一行的第一個(gè)數(shù)字依次為1，3，7，13，21，31，…，通過分析發(fā)現(xiàn)這些數(shù)存在的規(guī)律為m（m-1）+1，以此規(guī)律進(jìn)行解題，有種柳暗花明又一村的豁然開朗之感.

3. 突破思維定式

法國的貝爾納說：“學(xué)習(xí)最大的障礙絕非是未知的東西，而是我們已有的認(rèn)知. ”解題時(shí)，學(xué)生首先會(huì)以自己的生活與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)為思維的起點(diǎn)，人們往往更善于處理自己所熟悉的問題. 一旦遇到新事物時(shí)，受思維定式的影響，難免會(huì)對(duì)新思維與方法的構(gòu)建形成阻礙. 發(fā)散性思維的培養(yǎng)需弱化學(xué)生的思維定式，充分發(fā)揮想象，實(shí)現(xiàn)思維的創(chuàng)新.

如生2的解題方法屬于常規(guī)性的方式，雖然能獲得答案，但過程煩瑣. 為了尋求到更好的解題方法，部分學(xué)生選擇弱化思維定式的影響，換個(gè)角度從生1所寫的寶塔圖著手，發(fā)現(xiàn)底數(shù)為奇數(shù)的時(shí)候，分布于中間的數(shù)分別是1，9，25，49…，根據(jù)底數(shù)與這組數(shù)據(jù)存在的特殊關(guān)系而解出問題的答案. 此過程有效地提升了學(xué)生的發(fā)散性思維，為數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng)的提升奠定了基礎(chǔ).

總之，在解題中培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維是新課改的必然趨勢(shì)，也是提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效路徑. 作為教師，在解題教學(xué)中應(yīng)有目的、有計(jì)劃、有意識(shí)地?cái)U(kuò)大學(xué)生的解題思路，鼓勵(lì)學(xué)生從多個(gè)維度觀察與思考問題，在保證完成教學(xué)任務(wù)的前提下，有效地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力.