分?jǐn)?shù)維下基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型的期權(quán)定價

宋麗娜，朱 荻

(東北財經(jīng)大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與人工智能學(xué)院，遼寧大連 116025)

§1 引言

期權(quán)是一種活躍在國內(nèi)外金融市場的衍生產(chǎn)品之一.我國內(nèi)地市場上證50ETF期權(quán)和滬深300ETF期權(quán)分別于2015年2月9日和2019年12月23日上市交易.內(nèi)地期權(quán)市場的擴(kuò)容，一方面豐富了金融市場，有利于吸引大量資金進(jìn)場;另一方面應(yīng)該認(rèn)識到風(fēng)險管理的緊迫性和重要性.充分發(fā)揮期權(quán)雙刃劍作用的關(guān)鍵是對其合理定價.經(jīng)典的期權(quán)定價方法包括Black-Scholes模型[1-5]，二叉樹模型[6]和倒向隨機(jī)微分方程[7]等.其中，Black-Scholes模型的問世為研究者提供一種思路，利用偏微分方程的理論和方法研究期權(quán)定價問題.隨著研究工作的發(fā)展，[8]引入Schr?dinger型非線性偏微分方程替換線性Black-Scholes方程作為期權(quán)定價模型.針對這一模型，[9]首次提出金融畸形波解，成功刻畫金融市場中資產(chǎn)價格波動的怪波現(xiàn)象.經(jīng)典模型的改進(jìn)和完善一直以來都是專家學(xué)者的重點研究工作.歸因于大量實證研究發(fā)現(xiàn):金融資產(chǎn)價格變動存在長記憶性.[10-15]利用分?jǐn)?shù)Browain運動取代標(biāo)準(zhǔn)Browain運動建立分?jǐn)?shù)次Black-Scholes模型在分形市場下定價期權(quán).

分?jǐn)?shù)階偏微分方程是對整數(shù)階偏微分方程的統(tǒng)一和推廣，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子是一個積分-微分算子，能夠有效地刻畫事物發(fā)展的歷史依賴性，是分形幾何和分形動力學(xué)建模的有效工具.分?jǐn)?shù)階偏微分方程已被引入定價理論.目前所涉及的模型可分為三類，一是時間分?jǐn)?shù)階偏微分方程，[16]在修正的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義下給出時間分?jǐn)?shù)階Black-Scholes方程.二是空間分?jǐn)?shù)階偏微分方程.[17]在三種特殊的L′evy過程FMLS，CGMY和KoBoL下推導(dǎo)出金融市場中帶有Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的擴(kuò)散方程.[18-21]對上述兩種分?jǐn)?shù)階期權(quán)定價模型進(jìn)行解法研究.第三是時空分?jǐn)?shù)階偏微分方程.在修正的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)下，[16]給出帶有一個分?jǐn)?shù)階參數(shù)的Black-Scholes方程，[22]得到雙參數(shù)的分?jǐn)?shù)階Black-Scholes模型.之后，[23]給出帶有交易費的時空分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型，并利用中國內(nèi)地市場的上證50ETF期權(quán)說明結(jié)果的有效性.[24]采用Caputo和Riesz-Feller分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)利用Green函數(shù)推導(dǎo)分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程定價歐式期權(quán)并且利用Mellin-Barnes積分表達(dá)式給出定價公式.在Caputo導(dǎo)數(shù)下，朱元國等將分?jǐn)?shù)階不確定微分方程引入期權(quán)定價模型[25-26].

分?jǐn)?shù)階微積分和分?jǐn)?shù)階偏微分方程在期權(quán)定價問題中的應(yīng)用在近幾年得到快速發(fā)展，但是不可否認(rèn)，眾多問題有待進(jìn)一步解決，諸多方面有待進(jìn)一步完善和提高.新型定價模型和定價方法仍然是學(xué)術(shù)研究者和市場參與者關(guān)注的重點.隨著分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義有多種形式，例如，分?jǐn)?shù)階Riesz導(dǎo)數(shù)，Grünwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)等.其中，Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)是對Grünwald-Letnikov導(dǎo)數(shù)定義的擴(kuò)展.在此定義下，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零并且進(jìn)行Laplace變換時對初值條件的要求與整數(shù)階微積分一致.鑒于此，Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)被廣泛地應(yīng)用于物理，力學(xué)和工程等研究領(lǐng)域.與已有模型不同，本工作依據(jù)金融市場的分形特征利用對沖技術(shù)建立帶有Caputo型導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階期權(quán)定價模型.本文余下安排如下:§2推導(dǎo)出時空分?jǐn)?shù)階期權(quán)定價方程;§3利用改進(jìn)的求解技術(shù)獲得分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型的半解析解;§4將所得結(jié)果引入中國內(nèi)地期權(quán)市場，利用數(shù)據(jù)對分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型進(jìn)行解釋;最后，§5給出結(jié)論和討論.

§2 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)期權(quán)定價方程

在本文的工作中，采用對沖組合建立分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)期權(quán)定價模型，故對市場作以下假設(shè).

I 對沖組合Πt在時間段[t，t+dt]的價格變化滿足下面等式

其中St表示標(biāo)的資產(chǎn)的價格.

II 標(biāo)的資產(chǎn)價格的變化遵循下列分?jǐn)?shù)次指數(shù)方程

其中μ，σ分別表示期望回報率和標(biāo)的物的波動率.Bα(t)表示帶有Hurst指數(shù)α的分?jǐn)?shù)Brownian運動.方程(2)的形式來自文獻(xiàn)[22].

III 在分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)下，設(shè)有E(dΠt)rΠt(dt)α.

α作為Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，有如下定義.

定義2.1[27]在Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義下，函數(shù)f(x)的α階導(dǎo)數(shù)定義為

其中m-1(x)

方程(1)的設(shè)計源于Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義下的廣義中值定理.

引理2.2[28]設(shè)f(x)[a，b]，(a，b]，且0＜α ≤1，那么有

其中(a，b].

根據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分，分?jǐn)?shù)階偏微分方程和期權(quán)定價理論，得到以下結(jié)論.

定理2.3基于假設(shè)I -III，期權(quán)價格V(S，τ)滿足下列時空分?jǐn)?shù)階偏微分方程，

其中df是分形維數(shù).τT -t，T表示期權(quán)的到期日.

證首先，建立對沖組合

基于假設(shè)I，對沖組合(6)在時間段[t，t+dt]的價值變化是

為實現(xiàn)Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)建模，本工作假設(shè)定價模型有一個變量可分離函數(shù)解V(S，t)，即

回顧C(jī)aputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義下的廣義Taylor級數(shù)展開式.

利用廣義Taylor公式(9)，將V1(S)和V2(t)展成帶有相同階數(shù)α的廣義Taylor級數(shù)，則有

將表達(dá)式(11)代入方程(7)中，并令

可以得到下面表達(dá)式

借助于假設(shè)III，本工作建立如下形式的分?jǐn)?shù)階偏微分方程，

利用[29-30]，文獻(xiàn)[22]建議將金融市場的期權(quán)價值變化作為一種分形傳輸系統(tǒng)，為此設(shè)期權(quán)價格與總流通率滿足下列方程

其中df是分形維數(shù)，γ是一個傳輸指數(shù).

這里將股票市場作為分形介質(zhì)，Y(S，t)有表達(dá)式

最終可以建立時空分?jǐn)?shù)階偏微分方程

其中

進(jìn)一步作變量代換

得到

方程(18)的最右端是一個修正的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).正如文獻(xiàn)[16]指出:當(dāng)函數(shù)是可微的，修正的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義下產(chǎn)生的結(jié)果與Caputo導(dǎo)數(shù)定義產(chǎn)生的是一致的.文獻(xiàn)[31]也給出等價關(guān)系證明.所以，本工作直接采用Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義下的方程(5)，連同初邊值條件，建立時空分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)期權(quán)定價模型，定價標(biāo)準(zhǔn)的歐式和美式期權(quán).

§3 優(yōu)化的半解析解

本節(jié)研究期權(quán)價格V(S，τ)滿足方程(5)和下列初邊值條件組成的初邊值問題，

首先利用變量代換

使邊界條件齊次化，方程(5)轉(zhuǎn)化為

根據(jù)Caputo型導(dǎo)數(shù)的L算法[32]，采用下面分?jǐn)?shù)階微商的近似公式

由于經(jīng)典的Black-Scholes方程含有二階偏導(dǎo)數(shù)，為接近這一點，在下面的計算過程中，考慮1＜2α ≤2.

在空間點Sn上，利用優(yōu)化方法求解方程.為此改寫方程(20)為

根據(jù)經(jīng)典的Adomian分解法[33]，可以構(gòu)造以下一階近似解，

這里Jγ表示Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分算子，即

將該積分算子作用于Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)得到等式

在空間變量離散的框架下，本工作采用優(yōu)化技術(shù)獲得半解析解，

其中ω是收斂控制參數(shù).

更一般地，可以建立以下表達(dá)式定義的級數(shù)解，

§4 應(yīng)用與分析

借助于數(shù)學(xué)計算軟件Matlab，將§3的結(jié)果應(yīng)用到期權(quán)市場.在對滬深300ETF期權(quán)和上證50ETF期權(quán)進(jìn)行應(yīng)用分析的同時對所建立的時空分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)期權(quán)定價模型進(jìn)行解釋.

例4.1應(yīng)用半解析結(jié)果(25)和下面初邊值條件估計歐式看漲期權(quán).

數(shù)據(jù)來源:上證50ETF，滬深300ETF和相應(yīng)的期權(quán)數(shù)據(jù)來自中銀證券交易軟件

滬深300ETF在2019年的歷史波動率σ是0.1980，R/S分析法給出Hurst指數(shù)是0.6773.分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定價方程(5)中的參數(shù)df是一個Hausdorff維數(shù).文獻(xiàn)[34]建議分形維數(shù)可以近似等于2-Hurst指數(shù)，所以df取為1.3227.也就是說，由滬深300ETF組成的分形介質(zhì)的分形維數(shù)可以看作是1.3227.以執(zhí)行價格K4.5的滬深300ETF期權(quán)10002221作為樣本進(jìn)行應(yīng)用分析.無風(fēng)險利率r取作電子儲蓄債券的利息，約等于0.04.不失一般性，隨機(jī)選取2020年2月17日的交易數(shù)據(jù)τT -tSt4.064，Vt0.0596，估計次日的期權(quán)價格，并將2020年2月18日的St取為開盤價4.057.圖1展示分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，波動率，期權(quán)價格之間的關(guān)系曲線.令ω為0.1，在交易日2020/02/17，時間變量的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)γ與波動率σ之間的關(guān)系曲線如圖1(a)所示.這里，選擇α ＞0.5.同時，當(dāng)時間和空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)取不同值時，交易日2020/02/18的波動率σ與期權(quán)價格V(S，t)的關(guān)系曲線如圖1(b)所示.

圖1 關(guān)系曲線

當(dāng)α0.6773和σ0.1980時，參數(shù)ω與γ在2020年2月17日的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，得到四組關(guān)系式.如果γ0.3772，按圖2顯示的關(guān)系式計算ω為±0.52803947?1.1067955·10-16i和±2.0809089·10-16?0.73458464i.交易日2020年2月18日的標(biāo)的物滬深300ETF的價格St取為開盤價St4.057，利用本文的結(jié)果可以得到期權(quán)的價值為0.059198276-1.1156883·10-16i和0.060233499-2.6784167·10-16i.當(dāng)日實際值為0.0606.在γ分別取作0.3772 和0.6773，其他參數(shù)不變的情況下，觀測范圍擴(kuò)大為2020年01月02日-2020年06月22日的交易日.本工作的估計值，分?jǐn)?shù)次Black-Scholes公式[10]，Black-Scholes公式和實際值一同繪制在圖3中.實際上，結(jié)果有四組數(shù)值，由于數(shù)值彼此之間的差距并不明顯，所以本工作選擇其中一組值來繪制曲線.通過與真實值的對比，圖3顯示本工作的結(jié)果是有效的.

圖2 曲線ω-γ

圖3 α0.6773時歐式看漲期權(quán)價格對比

例4.2分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)期權(quán)定價模型在歐式看跌期權(quán)中的應(yīng)用.

該例所需滿足的初邊值條件為

以滬深300ETF期權(quán)10002230于2020年1月8日-2020年6月22日的交易數(shù)據(jù)為樣本，其執(zhí)行價格K為4.6.根據(jù)例4.1，確定參數(shù)

首個交易日，ω值選擇0即可.之后，利用前一交易日的滬深300ETF實際收盤價和滬深300ETF期權(quán)價格決定ω值.當(dāng)日期權(quán)價格的計算采用滬深300ETF的開盤價格.重復(fù)例4.1的計算過程，圖4描繪2020年01月09日-2020年06月22日的滬深300ETF期權(quán)價格的比較.其中，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)α的值除取Hurst指數(shù)外，還任意取為0.9，來顯示分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)取不同值時期權(quán)價格的對比.同時，圖5給出相應(yīng)的誤差對比圖形，描繪的是本工作的結(jié)果，分?jǐn)?shù)次Black-Scholes模型，標(biāo)準(zhǔn)Black-Scholes模型和真實值之間的絕對誤差的對比.從圖4和圖5可以得出結(jié)論:本文的算法是有效的.并且發(fā)現(xiàn):當(dāng)時間和空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)取不同值時，圖4和圖5中圖形(a)和(b)的走勢是相似的.

圖4 歐式看跌期權(quán)價格對比

圖5 誤差對比

例4.3應(yīng)用時空分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型估計美式看跌期權(quán).

定價美式期權(quán)與定價歐式期權(quán)的主要區(qū)別在于美式期權(quán)需要考慮提前行權(quán)的可能性.為避免套利，期權(quán)在每一點的價值不能小于內(nèi)在價值.對于這一點的數(shù)學(xué)描述，采取一種簡潔且有效的方法.在初邊值條件(28)基礎(chǔ)上，美式看跌期權(quán)的早期最優(yōu)執(zhí)行需要滿足下面表達(dá)式

由于美式期權(quán)數(shù)據(jù)獲取的局限性，本工作借用上證50ETF期權(quán)10002001的數(shù)據(jù)確定參數(shù)ω值，進(jìn)而繪制在分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)取不同值時美式看跌期權(quán)的價格曲線.應(yīng)用例4.1中提到的估計方法，確定參數(shù)

在每個時間點上，期權(quán)價格應(yīng)滿足以下等式，

隨機(jī)繪制一組結(jié)果.圖6顯示2019年10月24日-2020年6月22日的交易日中，美式看跌期權(quán)分別在γ0.3452，α0.6548和γ0.2，α0.7時的價格變化.在分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)取不同值時，模擬美式看跌期權(quán)的變化趨勢，結(jié)果符合規(guī)則，是可以理解的.

圖6 美式看跌期權(quán)

§5 結(jié)論和討論

本工作在Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義下，研究基于時空分?jǐn)?shù)階偏微分方程的期權(quán)定價問題.以標(biāo)準(zhǔn)歐式和美式期權(quán)問題為例，利用內(nèi)地金融市場滬深300ETF期權(quán)和上證50ETF期權(quán)的數(shù)據(jù)說明本工作的實際效用.以下是對整個工作的總結(jié)和進(jìn)一步的討論.

不同于已有文獻(xiàn)[16-17，22-26]，本工作的模型是在Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義下采用對沖技術(shù)建立的.眾所周知，Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在物理力學(xué)等方面表現(xiàn)出優(yōu)越性.由于分?jǐn)?shù)階微積分自身的復(fù)雜性，導(dǎo)致期權(quán)定價模型的建立存在諸多困難.本工作為建立新型模型，假設(shè)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)期權(quán)定價模型的解是一個變量可分離的函數(shù)，基于假設(shè)I-III，利用套期保值技術(shù)推導(dǎo)出單參數(shù)分?jǐn)?shù)階方程(13)，然后利用Heuristic Argument構(gòu)造雙參數(shù)方程(16).最后，通過將終端條件轉(zhuǎn)換為初始條件得到Caputo型時空分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)期權(quán)定價方程(5).

建立分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)期權(quán)定價模型求解的改進(jìn)框架.求解Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型是一個棘手的問題，所以只取到一階近似.對于這樣結(jié)果，如果只在標(biāo)準(zhǔn)的Adomian 分解法下進(jìn)行，很顯然得到結(jié)果是不理想的.為此，從解法上給以修正，加入收斂控制參數(shù)ω.基于同倫分析方法[35]，文獻(xiàn)[23]提出優(yōu)化的Adomian分解法.本文用ω2代替文獻(xiàn)[23]優(yōu)化算法中的ω.顯然，這種優(yōu)化算法是靈活的，多樣的.在對空間變量離散情況下，沿時間變量方向應(yīng)用改進(jìn)的Adomian分解法.從結(jié)果中可以看出，本工作建立的優(yōu)化算法是可行且有效的.該改進(jìn)思想可以應(yīng)用于廣義微分變換法，攝動法等諸多解析方法中，可以用于求解整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階偏微分方程.

在變量可分離的假設(shè)下，建立方程(5).并在半離散框架下，處理基于方程(5)的期權(quán)問題.諸多計算過程存在誤差.在實際應(yīng)用過程中，除利率r，波動率σ等常規(guī)參數(shù)外，本工作特別需要估計參數(shù)df，α，γ，ω.參數(shù)df，γ，α分別表示分形介質(zhì)的維數(shù)，時間和空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，是體現(xiàn)分形特征的重要指標(biāo)，能充分地反映市場的分形結(jié)構(gòu).但是，不可否認(rèn)，更多參數(shù)的參與會導(dǎo)致更大的誤差，并直接導(dǎo)致論證的復(fù)雜性.為此，本工作利用ω值來減少誤差，利用前一天的收盤價數(shù)據(jù)確定ω值，來計算當(dāng)天的期權(quán)價格.

在實證分析過程中，本工作采用開盤價計算當(dāng)日期權(quán)價格.這種設(shè)計的優(yōu)點是市場參與者可以利用滬深300ETF和上證50ETF的開盤價提前估計期權(quán)的收盤價，以便對實盤操作進(jìn)行及時有效的調(diào)整.本文不僅嘗試在Black-Scholes期權(quán)定價模型中引入Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，而且考慮實際的期權(quán)交易操作，有利于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)期權(quán)定價模型的理論和實踐研究.