基于收縮反步的不確定機(jī)械臂軌跡跟蹤控制

孟憲洋 尤海榮 何 平 張 果李 恒

(1.四川輕化工大學(xué)自動(dòng)化與信息工程學(xué)院,四川自貢 643000;2.人工智能四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,四川自貢 643000;3.東北大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,遼寧沈陽(yáng) 110819;4.華中農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院,湖北武漢 430070;5.香港理工大學(xué)智能建造實(shí)驗(yàn)室,香港九龍 999077)

1 引言

隨著機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展,機(jī)械臂作為機(jī)器人的核心部件,其應(yīng)用領(lǐng)域正在迅速拓寬[1].如代替人類從事重復(fù)且持久(工業(yè)流水線)、惡劣且危險(xiǎn)(涉及核及化學(xué)武器)等性質(zhì)的任務(wù).這些任務(wù)都需要對(duì)期望軌跡進(jìn)行高精度的軌跡跟蹤.但是,由于機(jī)械臂是一個(gè)具有時(shí)變、強(qiáng)耦合性質(zhì)的非線性系統(tǒng)[2],存在模型不確定、未知外部干擾和測(cè)量誤差等問(wèn)題.因此,實(shí)現(xiàn)不確定機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制非常具有挑戰(zhàn)性.

針對(duì)機(jī)械臂的軌跡跟蹤問(wèn)題,國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者進(jìn)行了大量的研究,提出了許多有效的方案.當(dāng)前主流的控制方法有:滑?？刂品╗3]、自適應(yīng)控制法[4]、模糊控制法[5]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制法[6]等.滑模變結(jié)構(gòu)控制作為常用的控制方案,對(duì)參數(shù)變化及匹配不確定性、未知外部干擾和時(shí)滯等方面都具有強(qiáng)魯棒性,核心是利用盡可能大的切換增益來(lái)減少擾動(dòng)的影響.但也造成了嚴(yán)重的抖振敏感問(wèn)題,從而導(dǎo)致機(jī)械臂的磨損.基于自適應(yīng)反演非奇異快速末端滑模控制可以很好的解決機(jī)械臂的擾動(dòng)和不確定性問(wèn)題,不僅瞬時(shí)響應(yīng)快而且可以有效的減小抖動(dòng)[7].針對(duì)機(jī)器人的高精度運(yùn)動(dòng)控制,采用樣本延遲測(cè)量單元來(lái)消除機(jī)械臂的非線性和不確定性,非奇異終端滑模自適應(yīng)無(wú)模型控制方法展現(xiàn)出良好的跟蹤性能[8].此外,采用延時(shí)估計(jì)方法對(duì)系統(tǒng)模型和外部干擾進(jìn)行估計(jì),并把時(shí)延估計(jì)誤差看作外部干擾也能夠?qū)崿F(xiàn)機(jī)械臂的軌跡跟蹤[9].雖然自適應(yīng)控制法在面對(duì)受控系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí),可以通過(guò)及時(shí)的辨識(shí)以調(diào)整控制規(guī)律.但需要嚴(yán)格的實(shí)時(shí)性,否則無(wú)法實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤控制目標(biāo).在無(wú)干擾的情況下,利用自適應(yīng)反演控制策略,可以使得機(jī)械臂的軌跡跟蹤誤差是全局漸進(jìn)一致穩(wěn)定的[10].基于任務(wù)空間分布的自適應(yīng)控制策略對(duì)解決電機(jī)發(fā)熱可能引起參數(shù)漂移的問(wèn)題具有良好的效果[11].此外,還可以利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊邏輯等方法逼近系統(tǒng)的不確定性[12],并將學(xué)習(xí)到的結(jié)果與常規(guī)的控制方法相結(jié)合,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)械臂的軌跡跟蹤.基于自適應(yīng)模糊滑?？刂撇呗跃褪菍⒛：壿嬇c滑模控制相結(jié)合來(lái)解決具有未知非線性動(dòng)力學(xué)的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制問(wèn)題[13].而基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的滑模自適應(yīng)控制方法就是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與自適應(yīng)滑?？刂葡嘟Y(jié)合,不僅實(shí)現(xiàn)了機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制,而且減弱了滑模引起的抖振問(wèn)題[14].將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型與終端滑模相結(jié)合,以徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)逼近機(jī)械臂模型中各個(gè)元素,可以實(shí)現(xiàn)無(wú)模型控制[15].但是,這些控制方案需要實(shí)時(shí)在線學(xué)習(xí)模型的參數(shù)信息,且設(shè)計(jì)復(fù)雜.

近年來(lái),收縮理論伴隨著黎曼幾何的發(fā)展[16]而提出,且在非線性控制方面進(jìn)行了一定的應(yīng)用[17].其中收縮反步控制是以收縮理論為基礎(chǔ)引入反步法的一種收縮分析控制方法.JOUFFROY等人首次設(shè)計(jì)了基于收縮穩(wěn)定性理論的反步控制器[18].此外,基于收縮分析的狀態(tài)反饋控制方法可以用來(lái)解決不確定參數(shù)和外部干擾的全驅(qū)動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)的跟蹤問(wèn)題[19].與滑動(dòng)面的滑?？刂品椒ㄏ嘟Y(jié)合,則可以解決具有不確定性的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題[20].更進(jìn)一步,利用收縮理論來(lái)研究水下航行器的增量穩(wěn)定性[21].本文從四旋翼無(wú)人機(jī)的跟蹤控制命令中得到啟發(fā)[22],將基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和微分幾何的收縮理論[23],即增量穩(wěn)定收斂分析方案[24]運(yùn)用到機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制.相比已有的研究成果,本文的創(chuàng)新之處在于:1)本文設(shè)計(jì)了非線性干擾觀測(cè)器,實(shí)現(xiàn)對(duì)未知干擾的有效觀測(cè);2)擴(kuò)展了收縮反步控制方法的應(yīng)用范圍,解決了機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制問(wèn)題.最后,在二連桿機(jī)械臂上進(jìn)行對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn),不僅證明了本算法具有良好的魯棒性,而且具有結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、計(jì)算效率高的優(yōu)點(diǎn).

2 收縮理論

考慮以下非線性系統(tǒng)

其中:x是系統(tǒng)(1)的n維狀態(tài),f是非線性向量場(chǎng)且各階偏導(dǎo)數(shù)存在.此外,進(jìn)一步假設(shè)系統(tǒng)是光滑的.收縮理論[23]的概念與微分幾何密切相關(guān),粗略地講,就是對(duì)狀態(tài)進(jìn)行參數(shù)化以觀察任意兩條軌跡距離的變化.

則系統(tǒng)(1)是收縮的,任意給定兩條軌跡上兩點(diǎn)的距離L將會(huì)指數(shù)收斂到零.這里M(x,t)是對(duì)稱正定矩陣,也稱度量矩陣.λ是正常數(shù),也稱收縮率.

引理2考慮如下具有擾動(dòng)形式的動(dòng)力系統(tǒng):

3 機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型

考慮圖2所示的二連桿機(jī)械臂,其拉格朗日模型為

圖1 距離收縮圖示Fig.1 Distance contraction illustration

圖2 2-DOF機(jī)械臂Fig.2 2-DOF robot manipulator

因此,不確定二連桿機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程可以表示為

4 基于干擾觀測(cè)器的收縮反步法控制設(shè)計(jì)

機(jī)械臂系統(tǒng)控制設(shè)計(jì)主要目標(biāo)是使實(shí)際角度qs跟隨到期望角度qd.由于未知干擾信號(hào)ds的存在,在設(shè)計(jì)控制器時(shí),首先,使用干擾觀測(cè)器對(duì)干擾進(jìn)行觀測(cè)得到觀測(cè)信號(hào).然后,對(duì)機(jī)械臂系統(tǒng)采用收縮反步法進(jìn)行控制設(shè)計(jì),得到最終控制力矩τ,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的控制.其控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖3所示.

圖3 控制器結(jié)構(gòu)框圖Fig.3 Block diagram of controller

4.1 擾動(dòng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

假設(shè)1假設(shè)未知干擾ds的時(shí)變方程有界,令其表示為=φ.這里φ是未知的有界函數(shù),即存在正標(biāo)量?,使得‖φ(t)‖≤?.常見(jiàn)的摩擦、飽和、平滑周期不確定性因素等不確定性擾動(dòng)均屬于此類情形.

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)有界不確定性干擾的有效觀測(cè)并增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性,可以設(shè)計(jì)干擾觀測(cè)器

定義干擾觀測(cè)的誤差為

由于假設(shè)1界定的擾動(dòng)項(xiàng)φ為時(shí)變有界的數(shù),式(6)的虛擬動(dòng)力學(xué)可表示為1https://zhuanlan.zhihu.com/p/71717022.

4.2 控制器設(shè)計(jì)

基于收縮理論的反步控制的詳細(xì)設(shè)計(jì)過(guò)程如下:

5 穩(wěn)定性分析

注2此處測(cè)地線γ(s)=s(·)+(1?s)(·)?為直線,對(duì)式(21)進(jìn)行路徑積分得到式(23)時(shí),當(dāng)指定誤差系統(tǒng)的初始軌跡γ(0)=w?=0,則對(duì)于系統(tǒng)實(shí)際產(chǎn)生的任意軌跡γ(1)=w.故而由以上分析可知:一旦證明系統(tǒng)收縮即可得出系統(tǒng)軌跡與期望軌跡之間的距離是有界的結(jié)論.

引理3當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意一個(gè)正定對(duì)稱矩陣Q,存在一個(gè)正定矩陣P滿足Lyapunov方程

則矩陣A是Hurwitz的.此外,如果A是Hurwitz矩陣,則存在唯一正定解P[30].

若考慮無(wú)擾動(dòng)估計(jì)環(huán)境,那么由式(14)和式(2)組成的系統(tǒng)可表示為

將跟蹤誤差e和輔助變量z1帶入上式并化簡(jiǎn)整理得

計(jì)算特征值λ(A ?I2)=?1±i,可知矩陣A ?I2是Hurwitz的.令Q=I4,由引理3求得其唯一正定解為P ?I2,其中,

綜上所述,在無(wú)擾動(dòng)的情況下,選取適當(dāng)?shù)膮?shù)可使矩陣A ?I2是Hurwitz的,證明本文所設(shè)的收縮反步控制律可使系統(tǒng)穩(wěn)定.

6 數(shù)值仿真

6.1 二連桿機(jī)械臂模型參數(shù)

為了驗(yàn)證上述所提方法的有效性,考慮動(dòng)力學(xué)模型如下所示的二連桿機(jī)械臂[29]

從花饃的制作工藝及流程來(lái)看，花饃制作需要復(fù)雜的工序，長(zhǎng)期以來(lái)，聞喜花饃都是由當(dāng)?shù)貗D女親手一個(gè)一個(gè)捏出來(lái)的，各種捏形都沒(méi)有教材可以參照，每逢有人家中辦事，都是全村婦女集體到一家來(lái)蒸饃，這樣主要由人來(lái)操作造成花饃的規(guī)?；a(chǎn)很有難度，機(jī)器花生產(chǎn)有難度，而要想獲得經(jīng)濟(jì)利益，必須要擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，聞喜花饃的制作非常講究。這就面臨了一個(gè)特別實(shí)際的問(wèn)題，在這個(gè)過(guò)程中如何處理好花饃的生產(chǎn)數(shù)量和口感質(zhì)量的關(guān)系，這個(gè)也是在確定市場(chǎng)定位時(shí)，需要考慮的，是側(cè)重花饃的食用性還是它的觀賞性，這個(gè)是急需解決的問(wèn)題。

其中g(shù)=9.8 m/s2是重力加速度.Js1和Js2分別表示每個(gè)連桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.ms1和ms2分別表示每個(gè)連桿的質(zhì)量.ls1和ls2分別是每個(gè)連桿的長(zhǎng)度.其動(dòng)力學(xué)參數(shù)如表1所示.

表1 二連桿機(jī)械臂的參數(shù)Table 1 Parameters of two-link manipulator

6.2 可靠性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文控制算法的有效性、可行性和可靠性,不失一般性,二連桿機(jī)械臂的初始狀態(tài)擬定為q0=[0.6 0.5]T,v0=[0 0]T,二連桿機(jī)械臂的期望軌跡分別擬定為q01=sin(0.5πt),q02=cos(0.5πt).控制器參數(shù)為kq=1,kv=3,與式(24)相一致.

在傳統(tǒng)滑?？刂粕弦胫笖?shù)趨近律可以有效的減弱抖振問(wèn)題,但只要控制中含有符號(hào)函數(shù)sgn(·),抖振現(xiàn)象在控制輸出中就不可避免,利用飽和函數(shù)連續(xù)變化的特征,用飽和函數(shù)中的雙曲正切函數(shù)

其中:控制器參數(shù)選取為Λ=diag{1,1},ε=0.8,k1=5.跟蹤誤差被定義為e=qs?qd,滑模面被設(shè)計(jì)為σ=+Λe.其實(shí)質(zhì)就是利用飽和特性減弱切換的不連續(xù)特性.

通過(guò)對(duì)本文所提方法(14)和基于指數(shù)趨近律的滑?？刂撇呗?25)進(jìn)行數(shù)值仿真,分別從位置軌跡跟蹤、位置軌跡跟蹤誤差和控制輸入等3個(gè)方面來(lái)進(jìn)行對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn),其仿真結(jié)果如圖4-9所示.

對(duì)比圖4和圖5的位置軌跡跟蹤曲線,可以看出,大約在3 s左右時(shí),二關(guān)節(jié)機(jī)械臂的每個(gè)關(guān)節(jié)位置跟蹤到了預(yù)定的軌跡曲線.因此,本項(xiàng)實(shí)驗(yàn)表明,通過(guò)收縮反步法設(shè)計(jì)的控制力矩能夠有效的實(shí)現(xiàn)二連桿機(jī)械臂的軌跡跟蹤.

圖4 關(guān)節(jié)1位置跟蹤曲線Fig.4 Position tracking curves of joints 1

圖5 關(guān)節(jié)2位置跟蹤曲線Fig.5 Position tracking curves of joints 2

分析圖6和圖7所呈現(xiàn)的位置跟蹤誤差曲線,調(diào)整時(shí)間約為5 s.隨后,位置跟蹤誤差曲線的波動(dòng)逐漸平穩(wěn)并趨向于零.兩種控制策略在穩(wěn)定誤差的調(diào)整時(shí)間段內(nèi)沒(méi)有明顯的差異.因此,本項(xiàng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明在收縮反步法的輸入控制力矩的作用下,可以保持被控對(duì)象“穩(wěn)”、“快”、“準(zhǔn)”的特性,其跟蹤誤差能夠有效的收斂到穩(wěn)定狀態(tài),使得機(jī)械臂能夠快速且穩(wěn)定的跟蹤到期望參考軌跡.

圖6 關(guān)節(jié)1位置跟蹤誤差曲線Fig.6 Position tracking error curves of joints 1

圖7 關(guān)節(jié)2位置跟蹤誤差曲線Fig.7 Position tracking error curves of joints 2

分析圖8和圖9,其為輸入力矩的動(dòng)態(tài)響應(yīng)變化曲線,其控制力矩是光滑的控制輸入曲線,同時(shí)產(chǎn)生周期性的輸入現(xiàn)象.而且從控制力矩中看出基于收縮反步控制策略與用于抑制抖振的改進(jìn)指數(shù)趨近的滑?？刂撇呗韵嘁恢?保證了機(jī)械臂系統(tǒng)對(duì)期望軌跡的良好的趨近和收斂特性.

圖8 關(guān)節(jié)1控制輸入Fig.8 Control input for joint 1

圖9 關(guān)節(jié)2控制輸入Fig.9 Control input for joint 2

從理論角度來(lái)看,一方面,由于滑動(dòng)模態(tài)需要在工程實(shí)踐中現(xiàn)場(chǎng)設(shè)計(jì),而系統(tǒng)的滑模運(yùn)動(dòng)又與被控制對(duì)象的參數(shù)變換和外界干擾無(wú)關(guān),另一方面,滑模變結(jié)構(gòu)控制對(duì)具有外界干擾和未建模動(dòng)態(tài)的非線性系統(tǒng)具有很強(qiáng)的魯棒性.因此,滑模變結(jié)構(gòu)控制比較適合機(jī)械臂的控制.然而,滑模控制作為一種不連續(xù)的控制方法,其控制輸出的抖振現(xiàn)象是不可避免的.而改進(jìn)后的指數(shù)趨近滑?？刂品椒ㄒ呀?jīng)具備良好的趨近特性和收斂特性,是一種較為成熟的機(jī)械臂控制方案.基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)與微分幾何的收縮理論,本文將增量穩(wěn)定收斂分析方法運(yùn)用到機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制,通過(guò)與常規(guī)且成熟的機(jī)械臂控制方案進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比,充分說(shuō)明了本算法不僅具有良好的魯棒性,而且具備設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)單,計(jì)算效率高的優(yōu)點(diǎn).

6.3 魯棒性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文控制算法的魯棒性,在前述相同的初始狀態(tài)q0=[0.6 0.5]T,v0=[0 0]T,和相同的期望軌跡q01和q02的條件下,考慮未知的外界干擾為ds=[ds1ds2]T=[?e?t?cost ?e?t+sint]T,與 假設(shè)1相一致.此時(shí)控制器參數(shù)為kq=1,kv=3.干擾觀測(cè)器參數(shù)為ks=999.

通過(guò)圖10和圖11的響應(yīng)曲線可以看出,當(dāng)系統(tǒng)中引入非線性干擾觀測(cè)器后,系統(tǒng)的輸出受干擾的影響進(jìn)一步減小,不僅使得機(jī)械臂關(guān)節(jié)角位置跟蹤性能有所改善,而且證明了干擾觀測(cè)器能很好的觀測(cè)到未知干擾,以便于減小干擾對(duì)系統(tǒng)的影響.

圖10 關(guān)節(jié)1位置跟蹤曲線(含干擾觀測(cè)器)Fig.10 Position tracking curves of joints 1(disturbance observer)

圖11 關(guān)節(jié)2位置跟蹤曲線(含干擾觀測(cè)器)Fig.11 Position tracking curves of joints 2(disturbance observer)

圖12是引入非線性觀測(cè)器后,實(shí)現(xiàn)對(duì)未知有界干擾有效觀測(cè)后的關(guān)節(jié)位置跟蹤誤差曲線.與圖10和圖11相對(duì)應(yīng),可以看出通過(guò)選取足夠大的收縮率,其跟蹤誤差曲線能收斂到穩(wěn)定狀態(tài).

圖12 關(guān)節(jié)位置跟蹤誤差曲線Fig.12 Position tracking error curves of joints

通過(guò)圖13的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出,通過(guò)選取足夠大的收縮率(如ks=999),干擾觀測(cè)誤差能夠收斂到原點(diǎn)附近的小鄰域內(nèi).干擾估計(jì)誤差ed(t)的近似值使其誤差不超過(guò)10?3.因此,本項(xiàng)實(shí)驗(yàn)證明了此非線性觀測(cè)器能實(shí)現(xiàn)對(duì)未知干擾的有效觀測(cè).

圖13 干擾觀測(cè)誤差曲線Fig.13 Disturbance observation error curve

在選取足夠大的收縮率(如ks=999)情況下,控制力矩的動(dòng)態(tài)響應(yīng)如圖14所示.關(guān)節(jié)1的輸入力矩在10單位左右,關(guān)節(jié)2的輸入力矩在2單位左右.可以看出,控制力矩的輸入仍然是符合工程實(shí)踐需求的,不會(huì)引起過(guò)負(fù)荷現(xiàn)象.

圖14 關(guān)節(jié)控制輸入Fig.14 Control input for joint

圖15和圖16是外界干擾向量ds在收縮率參數(shù)逐漸增大過(guò)程中所對(duì)應(yīng)的干擾觀測(cè)誤差變化曲線.其中,觀測(cè)誤差ei(i=1,2,3,4)是依次對(duì)應(yīng)的收縮率參數(shù)值分別為ks1=9,ks2=99,ks3=599,ks4=999的響應(yīng)曲線.且觀測(cè)誤差e4變化曲線與圖13的曲線相對(duì)應(yīng).因此,從上圖的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出,通過(guò)選擇足夠大收縮率ks,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)估計(jì)誤差能收斂到原點(diǎn)附近.

圖15 干擾觀測(cè)誤差ds1變化曲線Fig.15 Disturbance ds1 observation error curve

圖16 干擾觀測(cè)誤差ds2變化曲線Fig.16 Disturbance ds2 observation error curve

圖17呈現(xiàn)了二軸連桿機(jī)械臂在三維空間坐標(biāo)系下(t,qs1,qs2)的運(yùn)動(dòng)跟蹤軌跡.可以看出,通過(guò)收縮反步控制原理,二軸連桿機(jī)械臂可以在三維空間坐標(biāo)系下完美的跟蹤期望軌跡.

圖17 三維形式軌跡圖Fig.17 Three-dimensional form of trajectory figure

本文以不確定二連桿機(jī)械臂系統(tǒng)為被控制對(duì)象,以收縮理論為核心設(shè)計(jì)收縮反步控制器,將有界外部干擾的實(shí)際值與估計(jì)值誤差限定在特性收縮區(qū)域內(nèi),驗(yàn)證了在干擾外界干擾的情況下的魯棒性,證明了本算法設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、高效的特性.

7 總結(jié)

本文針對(duì)一類存在模型不確定、未知外部干擾的機(jī)械臂設(shè)計(jì)了收縮反步跟蹤控制器,該控制器包括收縮理論、反步法和干擾觀測(cè)器三部分.通過(guò)控制機(jī)械臂的關(guān)節(jié)角度使其跟蹤到期望軌跡.對(duì)于二階反饋聯(lián)接閉環(huán)系統(tǒng),以給定軌跡為中心的恒定半徑球開(kāi)始并始終包含在收縮區(qū)域中的任何軌跡保持在該球中,并指數(shù)收斂到給定的軌跡.但由于采用的是反步控制技術(shù),因此系統(tǒng)受到了嚴(yán)格的反饋形式約束.后續(xù)將繼續(xù)對(duì)增量穩(wěn)定性進(jìn)行研究,擴(kuò)展其應(yīng)用范圍.例如,將相關(guān)控制算法與七自由度冗余手術(shù)型機(jī)器人相結(jié)合,實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)程手術(shù)的人機(jī)協(xié)同控制[32].亦或是將相關(guān)理論推廣到機(jī)器人編隊(duì)[33]和多智能體一致性[34].