線性隨機系統(tǒng)的微小傳感器故障檢測

牛藝春,劉詩洋,高 明,盛 立

(中國石油大學(華東)控制科學與工程學院,山東青島 266580)

1 引言

隨著現(xiàn)代工業(yè)對機器安全性與可靠性的不斷重視,故障檢測技術受到了學術界的廣泛關注,在過去幾十年里涌現(xiàn)出了豐碩的研究成果[1-5].縱觀現(xiàn)有的研究成果,定量分析的故障檢測方法可大致分為兩類:基于解析模型的方法和數(shù)據驅動的方法[1].數(shù)據驅動的方法利用數(shù)據處理技術,在系統(tǒng)模型未知情況下進行故障檢測,適用于大規(guī)模系統(tǒng).但是對于動態(tài)機理已知的系統(tǒng),基于解析模型的方法可利用精確的系統(tǒng)數(shù)學模型和可測數(shù)據構造殘差,其檢測性能通常要優(yōu)于數(shù)據驅動的方法[2].

如文獻[6-7]所述,故障可按照對系統(tǒng)影響的大小分為顯著性故障和微小故障.微小故障是指一類具有微小的異常征兆的故障,如齒輪磨損引起的故障[8]、電路系統(tǒng)中的電弧放電故障[9].由于故障幅值過小或者所處環(huán)境噪聲過大,微小故障對殘差信號的影響通常會被未知的干擾和噪聲所淹沒,常用的故障檢測手段難以檢測到微小故障.另一方面,微小故障經過一段時間可能演化為顯著性故障,對系統(tǒng)的安全運行構成重大威脅.因此,微小故障檢測問題成為了當前工業(yè)界和學術界亟待解決的棘手問題,具有重要的研究意義.

近年來,由于工業(yè)界的迫切需求,微小故障檢測技術得到了一定的發(fā)展[10-13].例如,文獻[10]研究了基于數(shù)據驅動方法的微小故障檢測問題.文獻[12]通過區(qū)間滑模觀測技術研究了中國高鐵牽引裝置中的微小傳感器故障檢測問題.文獻[13]基于Kullback-Leibler散度方法設計了線性隨機系統(tǒng)的微小傳感器故障檢測方案.在現(xiàn)有的基于模型的微小故障檢測方法中,通常只能定性地說明微小故障檢測的有效性,缺乏定量分析的結果.目前仍有一些關鍵問題有待解決,如故障誤報率和漏報率的實時評估、故障幅值與故障可檢測性之間關系的定量分析.

受上述文獻的啟發(fā),本文從定量分析的角度研究了一類線性隨機系統(tǒng)的微小故障檢測問題.本文的主要貢獻包括:1)基于移動加權平均方法設計了一種微小故障檢測算法;2)定量分析了故障幅值、故障檢測誤報率和漏報率以及移動平均方法的窗口長度之間的關系;3)給出了確保微小故障在統(tǒng)計意義下可檢測的最小窗口長度和最優(yōu)權值矩陣.

2 問題描述

考慮一類線性隨機系統(tǒng)

假設1(C,A)滿足能觀性判據.

其中Jth是設定的閾值.

考慮到系統(tǒng)(1)受到隨機噪聲的影響,可能發(fā)生故障誤報和漏報的情況.根據文獻[14],故障的誤報率和漏報率定義如下:

受到文獻[15]的啟發(fā),給出如下的故障可檢測性定義.

注1正如文獻[15]所述,由于隨機噪聲的影響,故障的誤報、漏報以及檢測時延通常是不可避免的.因此,本文綜合考慮了誤報率、漏報率和檢測時延,提出了故障在統(tǒng)計意義下的可檢測性定義,確保了在無故障時,誤報率低于給定上界;在故障發(fā)生一段時間后,漏報率也會低于給定上界.

隨機系統(tǒng)故障檢測的主要難點體現(xiàn)在如何區(qū)分故障與噪聲對評價函數(shù)的影響.對于微小故障而言,由于噪聲過大或者故障幅值過小,微小故障可能會被噪聲淹沒,漏報率遠遠超出給定上界.因此,本文的主要研究目標是設計合適的評價函數(shù)和閾值,確保微小故障滿足統(tǒng)計意義下的可檢測性.

3 主要結論

本節(jié)將給出微小故障檢測的設計方法,分析微小故障在統(tǒng)計意義下的可檢測性.

為了提高評價函數(shù)對故障的敏感程度,引入移動加權平均算法設計如下殘差:

我的姐姐們整天跟著父親下地，不是薅草，就是栽苗挖苕，總有干不完的活兒。母親雖然不允許我走出院子，但她有時候竟忘了我的存在。她喂了更多的雞和豬，每天要打幾背簍的草，還要切細剁碎，哄著那些牲口吃光。我沉悶極了，孤零零地坐在院子邊，等著有人經過時和我說上幾句話。

注5根據式(20),可以發(fā)現(xiàn)故障對評價函數(shù)的影響是動態(tài)變化的.在實際應用中,由于故障發(fā)生時刻kf是未知的,故障對評價函數(shù)的影響難以精確刻畫.本文利用Kalman濾波器的性質,分析了故障發(fā)生后評價函數(shù)的最終趨勢.在定理1中,設計最優(yōu)權值矩陣和最小窗口長度,確保了在故障發(fā)生一段時間后,可以使得漏報率低于給定指標.

由于非中心卡方分布的累積分布函數(shù)形式復雜,ψ可能難以得到,給出如下的推論.

綜上所述,給出系統(tǒng)(1)的微小故障檢測算法如下.

算法1微小故障檢測算法.

步驟1給定

步驟2利用MATLAB迭代計算出.若ny為偶數(shù),利用式(36)和定理1得到最小窗口長度N和權值Ξs.若ny為奇數(shù),利用推論1計算出合適的窗口長度N和權值Ξs.

步驟3當k ＞0時,系統(tǒng)運行,采集輸入輸出數(shù)據.

步驟4利用式(2)-(5),構造狀態(tài)估計器.

步驟5利用式(9)和式(14),計算殘差和評價函數(shù).若Jk≤Jth,則判定故障沒有發(fā)生;反之,則判定故障發(fā)生.

步驟6令k=k+1,返回步驟3.

注6正如文獻[17]所述,非中心卡方分布的累積分布函數(shù)是一個極度復雜的函數(shù).當自由度為偶數(shù)時,非中心卡方分布的累積分布函數(shù)可以通過如下公式求得[21]:

其中Qm(a,b)是廣義馬庫姆Q函數(shù),可通過MATLAB計算得到.此時,最小的窗口長度可通過試湊法得到.然而,當自由度為奇數(shù)時,無法直接計算出非中心卡方分布的累積分布函數(shù),此時,可利用推論1的結論求出合適的窗口長度.由于推論1中利用了不等式縮放,所得窗口長度要大于最小長度.

4 算例

為驗證上述方法的有效性,考慮如圖1所示的車輛橫向動力學系統(tǒng),系統(tǒng)模型如下[14]:

圖1 車輛橫向動力學系統(tǒng)Fig.1 Vehicle lateral dynamic system

表1 系統(tǒng)(37)的參數(shù)Table 1 The parameters of system(37)

當采樣時間為0.1 s時,系統(tǒng)(37)可以離散為具有如下參數(shù)的系統(tǒng)(1):

圖2 故障發(fā)生時的檢測結果Fig.2 The detection results when fault occurs

為了進一步驗證故障檢測器的誤報率,漏報率與窗口長度的關系,采用蒙特卡洛法,統(tǒng)計故障檢測器的實際誤報率與漏報率.給定誤報率為(f)=0.05,則閾值給定為Jth=5.99.定義實際誤報率為

其中:Z=100為仿真次數(shù),kf=1000為故障發(fā)生時刻,k0=0為仿真初始時刻,Δf為仿真過程中誤報發(fā)生的次數(shù).定義故障的實際漏報率為

其中kfinal=3000為仿真終止時間,為仿真過程中漏報發(fā)生的次數(shù),τ=500為檢測延時.給定窗口長度,利用式(36)計算出故障發(fā)生時的漏報率理論結果為.表2給出了不同窗口長度下的誤報率和漏報率的理論值與真實值的對比結果.仿真結果說明了在所設計的方法中,誤報率和漏報率的理論值與真實值幾乎一致.因此,可以通過調節(jié)移動加權平均方法的窗口長度,定量地調節(jié)故障檢測器的漏報率,與此同時,故障的誤報率不會受到影響.

圖3 故障發(fā)生時的檢測結果Fig.3 The detection results when fault occurs

表2 不同窗口下實際誤報率與漏報率Table 2 The actual false alarm rate and missed detection rate with different windows

注7與現(xiàn)有的基于模型的微小故障檢測方法[12-13]相比,本文定量分析了故障檢測器的誤報率,漏報率與移動加權平均方法的窗口長度之間的關系.通過理論分析和仿真驗證,都可以看出窗口長度的增大將有助于檢測更小幅值的故障,但是與此同時會引起更長的檢測時延.本文所設計的方法可以求得保障故障可檢測性的最小窗口長度,有效降低了檢測時延.

注8目前,已有文獻定量分析了故障檢測的誤報率與漏報率[14-15].例如,文獻[14]利用Neyman-Pearson準則、最大后驗概率準則或貝葉斯準則設計合適的閾值,在給定的指標下優(yōu)化誤報率和漏報率.然而,由于微小故障的幅值很小,上述方法所得的最優(yōu)誤報率和漏報率也可能遠高于設定值.本文基于移動加權平均方法設計殘差和評價函數(shù),引入了移動窗口可以有效提高評價函數(shù)對故障的敏感性,確保了故障幅值較小時誤報率和漏報率仍可以低于設定值.

5 結論

本文針對一類線性隨機系統(tǒng)研究了微小傳感器故障檢測問題.基于Kalman濾波算法,得到了隨機系統(tǒng)的濾波器.然后利用移動加權平均方法,設計了殘差和評價函數(shù).通過對故障幅值、窗口長度、誤報率和漏報率之間關系的定量分析,得到了最優(yōu)的權值矩陣和最小窗口長度,并分析了微小故障在統(tǒng)計意義下的可檢測性.最后,通過車輛橫向控制系統(tǒng)仿真實驗,驗證了所提算法的有效性.相比于現(xiàn)有故障檢測算法,本文方法可以通過改變窗口長度定量調節(jié)故障檢測器的誤報率和漏報率.在本文結果基礎上,后續(xù)可以開展的工作有:1)將本文的結果推廣到時變系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)中;2)考慮非高斯噪聲情況下的微小故障檢測問題;3)考慮網絡化現(xiàn)象對微小故障檢測的影響[22].