平面平臺型6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型選擇與參數(shù)優(yōu)化

王啟明 張漢祖 蔣江月 宋 景 覃俊雄

(上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 上海 200093)

0 引言

與串聯(lián)機(jī)構(gòu)相比，并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有剛度大、承載能力強、運動精度高等優(yōu)點，與此同時，6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)不同于傳統(tǒng)Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其驅(qū)動裝置安裝于基座而非連桿，因此6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)還具有慣性小、速度快、重心低等優(yōu)點。

由于6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)越性能，其在眾多領(lǐng)域得到了應(yīng)用。胡圣鑫[1]鑒于星載SAR天線陣面調(diào)整機(jī)構(gòu)剛度大、天線架背與陣面之間間距小、調(diào)整精度高等要求，選擇了構(gòu)型Ⅰ機(jī)構(gòu)作為基礎(chǔ)構(gòu)型，將雅可比矩陣的條件數(shù)作為機(jī)構(gòu)運動性能的評價指標(biāo)，將全局誤差系數(shù)作為機(jī)構(gòu)運動精度的評價指標(biāo)，通過優(yōu)化得到了具有更高靈巧度和運動精度的設(shè)計參數(shù)。光電封裝系統(tǒng)中的六自由度運動平臺應(yīng)具有行程大、精度高、穩(wěn)定性好等特點，HOU等[2]提出采用柔性鉸鏈的機(jī)構(gòu)作為光電封裝平臺，并對其進(jìn)行了逆運動學(xué)建模。郭抗等[3]根據(jù)光刻物鏡中光學(xué)元件軸向調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)軸向結(jié)構(gòu)緊湊、調(diào)節(jié)精度高的使用需求，設(shè)計一種光學(xué)元件軸向調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)，為提高機(jī)構(gòu)可靠性和降低制作成本，將6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的6個運動支鏈分為3對，每對共用一個移動副，最后制作了樣機(jī)，進(jìn)行了試驗驗證；王宗平等[4]對提出的機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動力學(xué)分析，該機(jī)構(gòu)具有剛度高、運動精度高等優(yōu)點。6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的應(yīng)用還有：仿生下頜平臺[5]、送料機(jī)械手[6]、空間望遠(yuǎn)鏡副鏡調(diào)整機(jī)構(gòu)[7]、地震模擬器[8]、仿生機(jī)械馬[9]等。

工作空間、靈巧性等運動學(xué)性能是衡量一個機(jī)構(gòu)優(yōu)良的重要評價指標(biāo)[10]。張偉中等[11]以規(guī)則圓臺工作空間體積和全局運動/力傳遞性能為目標(biāo)函數(shù)，通過粒子群算法對2-PUR-PSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化。孫小勇等[12]通過優(yōu)化數(shù)學(xué)模型對6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間和動力學(xué)特性進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化。許允斗等[13]提出了一款構(gòu)型為R(2RPR)R/SP-RR的五自由度混聯(lián)機(jī)器人，并綜合考慮工作空間與力傳遞效率等指標(biāo)對其并聯(lián)結(jié)構(gòu)部分進(jìn)行了關(guān)鍵尺度優(yōu)化。李仕華等[14]提出了一種基于球面5R機(jī)構(gòu)的空間二維指向機(jī)構(gòu)，以工作空間、靈巧性和承載能力作為優(yōu)化指標(biāo)，采用圖譜法對機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計。HOU等[15]以3-PSS/S并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間大小和性能為優(yōu)化目標(biāo)，采用遺傳算法進(jìn)行尺度參數(shù)優(yōu)化。張良安等[16]提出改進(jìn)混沌粒子群算法，并利用該算法對Ahut-Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行尺度優(yōu)化。葉偉等[17]提出了一種用于微創(chuàng)手術(shù)的遠(yuǎn)中心并聯(lián)機(jī)構(gòu)，通過分析運動/力傳遞指標(biāo)的性能，表明機(jī)構(gòu)在工作空間內(nèi)性能良好，以優(yōu)質(zhì)空間為目標(biāo)對機(jī)構(gòu)進(jìn)行了尺度優(yōu)化。目前，鮮有文獻(xiàn)研究平面平臺型6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型選擇與參數(shù)優(yōu)化問題，該領(lǐng)域仍需深入研究。

本文主要考慮基座和動平臺的球鉸副中心分別位于同一平面上的平面平臺型6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其構(gòu)型選擇與參數(shù)優(yōu)化的本質(zhì)是解決直線導(dǎo)軌在基座上的布置方式與尺寸綜合問題。給出4種典型的平面平臺型6-PSS機(jī)構(gòu)構(gòu)型，建立其運動學(xué)逆解模型并推導(dǎo)其雅可比矩陣，通過ADAMS仿真驗證其正確性；對比分析4種典型構(gòu)型機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間、轉(zhuǎn)動能力和靈巧性，確定平面平臺型6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的最優(yōu)構(gòu)型；針對最優(yōu)構(gòu)型分析其結(jié)構(gòu)參數(shù)對工作空間和靈巧性的影響規(guī)律，并以工作空間體積最大化為優(yōu)化目標(biāo)，得到最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)值，并對優(yōu)化后的機(jī)構(gòu)進(jìn)行誤差分析，以期為平面平臺型6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)提供設(shè)計依據(jù)。

1 平面平臺型6-PSS機(jī)構(gòu)運動學(xué)模型

1.1 機(jī)構(gòu)描述與坐標(biāo)系建立

本文研究的平面平臺型6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)主要由基座(6個驅(qū)動電機(jī)、6條直線導(dǎo)軌、6個滑塊)、下球鉸、6條長度相同的連桿、上球鉸、動平臺等組成，通過電機(jī)驅(qū)動滑塊運動，帶動連桿從而實現(xiàn)動平臺的六自由度運動。

結(jié)合圖1對平面平臺型6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的4種典型構(gòu)型進(jìn)行說明。構(gòu)型Ⅰ的導(dǎo)軌按照1-1-1-1-1-1分為6組，呈輪輻式布置，每條導(dǎo)軌的延長線通過基座中心；構(gòu)型Ⅱ的導(dǎo)軌按照1-2-1-2分為4組，呈十字形正交布置，2個一組的導(dǎo)軌相互平行；構(gòu)型Ⅲ的導(dǎo)軌按照2-2-2分為3組，呈120°對稱布置，每組2條導(dǎo)軌相互平行；構(gòu)型Ⅳ的導(dǎo)軌按照3-3分為兩組，呈橫向?qū)ΨQ布置，每組3條導(dǎo)軌相互平行。

如圖1所示，Ai、Bi(i=1,2,…,6)分別為動平臺和滑塊的球鉸副中心；B0i為滑塊初相位也就是滑塊位移為0時的球鉸副中心；Ai、B0i兩兩一組分為3組，分別均布在半徑為r和R的圓周上，呈120°對稱分布；每組動平臺球鉸副中心之間的夾角為θa；每組滑塊球鉸副中心之間的夾角為θb。6條連桿的長度均為L。6條直線導(dǎo)軌長度均為S0。4種構(gòu)型的導(dǎo)軌布置方式不同，但結(jié)構(gòu)參數(shù)相同。

如圖1所示，以動平臺中心為原點建立動坐標(biāo)系OAXAYAZA，以基座中心為原點建立靜坐標(biāo)系OXYZ。

1.2 運動學(xué)逆解

并聯(lián)機(jī)構(gòu)逆解是已知動平臺的位姿參數(shù)q=(x,y,z,α,β,γ)，反求6個滑塊位移Si(i=1,2,…,6)，Si表示滑塊球鉸副中心Bi到初相位B0i的距離。動平臺球鉸副中心Ai在動坐標(biāo)系中的坐標(biāo)矢量A′i=(A′ix,A′iy,0)T可由機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)得出，然后通過坐標(biāo)變換公式得到其在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)矢量Ai=(Aix,Aiy,Aiz)T，坐標(biāo)變換公式為

Ai=RA′i+T

(1)

其中

(2)

T=[xyz]T

(3)

式中R——旋轉(zhuǎn)變換矩陣

T——平移變換矩陣

c表示cos，s表示sin。

滑塊球鉸副中心Bi(i=1,2,…,6)在固定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)矢量Bi=(Bix,Biy,0)T可由機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)和滑塊位移Si得出。

根據(jù)運動過程中桿長長度不變，建立方程

‖Ai-Bi‖=L(i=1,2,…,6)

(4)

當(dāng)位姿參數(shù)q=(x,y,z,α,β,γ)和機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)已知時，求解式(4)可得到滑塊位移Si。

1.3 機(jī)構(gòu)雅可比矩陣

由剛體速度投影定理可知，連桿兩端球鉸副中心在連桿上的速度投影相等，以此建立等式。

第i個動平臺球鉸副中心的速度矢量為

VAi=VOA+ωA×(RA′i)

(5)

其中

式中VOA——動平臺坐標(biāo)原點速度矢量

ωA——動平臺繞動坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動角速度

動平臺球鉸副中心在連桿上的速度投影為

(6)

其中

Li=(Lix,Liy,Liz)T

式中Li——連桿方向向量

(7)

其中

mi=(cosθi,sinθi,0)T

式中θi——第i條導(dǎo)軌與X軸正方向的夾角

令VAiLi=VBiLi，則可得

(8)

式(8)中J6×6即所要求解的雅可比矩陣，反映了并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸入構(gòu)件和輸出構(gòu)件之間的傳動比。

1.4 誤差模型

本文主要研究結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差(驅(qū)動副安裝位置誤差、桿長誤差、動平臺球鉸副安裝位置誤差)對機(jī)構(gòu)末端位姿誤差的影響，采用矢量微分法求誤差模型，由矢量閉環(huán)公式可得

uili=RA′i+T-Bi

(9)

其中

ui=Li/li

式中ui——連桿方向單位向量

li——連桿實際長度

對式(9)兩端進(jìn)行全微分可得

δuili+uiδli=δRA′i+RδA′i+δT-δBi

(10)

參照文獻(xiàn)[18]對式(10)進(jìn)行推導(dǎo)和整理，得到結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差和末端位姿誤差的映射關(guān)系為

(11)

其中

δq=(δx,δy,δz,δα,δβ,δγ)T

式中 δq——機(jī)構(gòu)末端位姿誤差向量

δli——連桿長度誤差向量

JP——桿長誤差傳遞矩陣

JO——球鉸副中心位置誤差傳遞矩陣

δe——上下球鉸副中心位置誤差向量

1.5 運動學(xué)模型驗證

以構(gòu)型Ⅲ為例，設(shè)如表1所示結(jié)構(gòu)參數(shù)。初始位姿q=(0,0,420,0,0,0)T，時間t∈(0,5 s)，給定動平臺位姿變化函數(shù)

(12)

表1 機(jī)構(gòu)的一組結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 A set of parameter values of mechanism

利用Matlab位姿逆解求得上述給定過程的滑塊位移和其速度變化曲線；利用ADAMS模擬機(jī)構(gòu)運動得到仿真結(jié)果。將理論計算和運動仿真結(jié)果進(jìn)行線性擬合[19]，結(jié)果如圖2所示，二者位移最大誤差量級為10-2mm，速度最大誤差量級為10-2mm/s，均在允許范圍之內(nèi)，驗證了理論模型的正確性。

圖2 理論與仿真結(jié)果對比Fig.2 Comparison of theoretical and simulation results

2 不同構(gòu)型機(jī)構(gòu)運動性能

2.1 工作空間

并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間按照定義不同可分為完全工作空間、可達(dá)工作空間及靈活工作空間等[20]?？紤]到六維工作空間很難描述，本文主要分析固定姿態(tài)角為(0°,0°,0°)下的可達(dá)工作空間。

工作空間的約束條件主要有以下兩種：

(1)球鉸副轉(zhuǎn)角限制

球鉸副轉(zhuǎn)角φ定義為與球鉸副連接的連桿方向向量和球鉸副底座面的法向量之間的夾角。本文選擇球鉸副最大轉(zhuǎn)角φmax=45°，則各球鉸副的轉(zhuǎn)角應(yīng)滿足

(13)

式中φai、φbi——動平臺和滑塊上各球鉸的轉(zhuǎn)角

nai——與動平臺連接的球鉸副底座面的單位法向量

nbi——與滑塊連接的球鉸副底座面的單位法向量

(2)滑塊行程限制

受直線導(dǎo)軌長度限制，滑塊在各自運行方向行程亦受限，其位移約束為

0≤Si≤S0

(14)

采用極坐標(biāo)邊界搜索法[21]求解可達(dá)工作空間邊界。首先根據(jù)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)確定工作空間的最低邊界點(0,0,Zmin)和最高邊界點(0,0,Zmax)；其次用平行于XOY的平面將工作空間分為若干高度為Δz的子空間，在第i個子空間里，位置點的Z軸坐標(biāo)為zi，極角σ從0開始以增量Δσ增加到2π，在每一個極角方向上，極徑ρ從0開始以增量Δρ逐漸增加，直到位置點不滿足約束條件則停止搜索，并記錄下來該搜索方向的極徑ρj；然后開始下一個極角方向的搜索，該方法求解的工作空間體積可表示為

(15)

圖3為4種構(gòu)型的機(jī)構(gòu)可達(dá)工作空間及其投影輪廓圖。由圖3可知，4種構(gòu)型機(jī)構(gòu)在X、Y、Z方向可達(dá)工作空間范圍分別為：構(gòu)型Ⅰ 210、232、90 mm；構(gòu)型Ⅱ 201、193、76 mm；構(gòu)型Ⅲ 251、248、89 mm；構(gòu)型Ⅳ 173、286、55 mm。

圖3 4種構(gòu)型的平面平臺型6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間及其投影圖Fig.3 Reachable workspace and projection of 6-PSS parallel mechanism with planar platform

通過式(15)計算4種構(gòu)型工作空間體積分別為1.084 5×106、9.789×105、1.222 1×106、6.668×105mm3。構(gòu)型Ⅳ的工作空間體積相比于其他3種較小。構(gòu)型Ⅲ在各方向上的可達(dá)工作空間范圍和工作空間體積都相對較大。

2.2 轉(zhuǎn)動能力

采用邊界數(shù)值搜索法求解機(jī)構(gòu)在不同高度工作空間平面上的所能達(dá)到的最小轉(zhuǎn)角和最大轉(zhuǎn)角。由于機(jī)構(gòu)具有對稱性，因此只需對比繞X軸轉(zhuǎn)角α，工作空間k處的高度Hk為

Hk=Zmin+k(Zmax-Zmin) (0≤k≤1)

(16)

如圖4所示，構(gòu)型Ⅳ的轉(zhuǎn)動范圍略不同于其它3種構(gòu)型。構(gòu)型Ⅰ、構(gòu)型Ⅱ、構(gòu)型Ⅲ在各自工作空間高度1/2處到3/4處之間轉(zhuǎn)動范圍達(dá)到最大，繞X軸轉(zhuǎn)角α為[-18°,18°]，從圖4可知，前3種構(gòu)型的轉(zhuǎn)動能力相差不大。

圖4 4種構(gòu)型的機(jī)構(gòu)在不同工作空間高度上的繞X軸轉(zhuǎn)角α范圍Fig.4 Comparison of rotation capacity between different configurations

2.3 靈巧性

雅可比矩陣條件數(shù)K(J)可定量反映機(jī)構(gòu)輸入與輸出之間運動/力傳遞關(guān)系。通常1≤K(J)≤∞，一般采用雅可比矩陣條件數(shù)的倒數(shù)來表示機(jī)構(gòu)局部靈巧度，條件數(shù)越小，靈巧度越大，機(jī)構(gòu)運動/力傳遞性能越好[22]。局部靈巧度指標(biāo)計算式為

(17)

由于LCI只能判斷機(jī)構(gòu)在單個位形下的運動/力傳遞性能，利用全局靈巧度指標(biāo)GCI來評價機(jī)構(gòu)在整個工作空間里的運動/力傳遞性能，計算式為

(18)

式中n——工作空間內(nèi)離散點的數(shù)量

圖5 4種構(gòu)型的6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靈巧度分布圖Fig.5 Distributions of dexterity of four configurations of 6-PSS parallel mechanism with planar platform

圖6 不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對可達(dá)工作空間的影響Fig.6 Influence of different structural parameters on reachable workspace

綜上可知，構(gòu)型Ⅲ可達(dá)工作空間范圍、工作空間體積、不同工作空間高度上的靈巧度分布、全局靈巧度都較優(yōu)越，因此本文采用最優(yōu)構(gòu)型Ⅲ的6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

3 結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計

3.1 結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖6為6個結(jié)構(gòu)參數(shù)工作空間在Y=0平面上的投影輪廓圖。單個結(jié)構(gòu)參數(shù)改變，對工作空間投影的影響趨勢如表2所示。

表2 工作空間投影范圍的變化趨勢Tab.2 Variation trend of workspace projection

由圖6和表2可知，R增大，工作空間在X方向的投影范圍減小，在Z方向的投影范圍顯著增大，最高點下移，最低點顯著下移，當(dāng)R增大到一定值，工作空間最低位置不再下降，且由一點變?yōu)橐粋€平面；由圖6和表2可知，r減小，工作空間在X方向的投影范圍減小，在Z方向的投影范圍增大，最高點下移，最低點下移，當(dāng)r減小到一定值，工作空間最低位置不再下降，且由一點變?yōu)橐粋€平面；由圖6和表2可知，L減小，工作空間整體下移，工作空間在X方向和Z方向投影范圍變化較小，當(dāng)L減小到一定值，工作空間最低位置由一點變?yōu)橐粋€平面；由圖6和表2可知，S0增大，工作空間投影最高點無變化，工作空間在X方向和Z方向的投影范圍都顯著增大，當(dāng)S0增大到一定值，工作空間最低位置不再下降，且由一點變?yōu)橐粋€平面；由圖6和表2可知，θa增大或θb減小，工作空間在X方向和Z方向的投影范圍增大，最高點位置幾乎不變，最低點下移。

上文所述及圖6中工作空間最低位置為一點的情況如圖7所示，當(dāng)所有滑塊都到達(dá)最大行程時，動平臺下降到最低點。工作空間最低位置為一個平面的情況如圖7所示，球鉸副轉(zhuǎn)角已達(dá)到最大值，但所有滑塊尚未達(dá)到最大行程，此時滑塊仍可移動，從而工作空間最低位置形成一個平面。結(jié)構(gòu)參數(shù)改變，當(dāng)R越大、r越小、L越小、S0越大時均會出現(xiàn)不同程度的最低平面。

為了優(yōu)化構(gòu)型Ⅲ的結(jié)構(gòu)參數(shù)，通過式(15)、(18)計算機(jī)構(gòu)的工作空間體積和全局靈巧度，由此分析判斷各結(jié)構(gòu)參數(shù)對性能指標(biāo)的影響。如圖8a～8d所示，可知在一定的結(jié)構(gòu)參數(shù)范圍內(nèi)，工作空間體積V和全局靈巧度GCI呈正相關(guān)。如圖8e、8f所示，θa、θb對全局靈巧度GCI影響較大，但是對工作空間體積V影響較小。

圖8 結(jié)構(gòu)參數(shù)與性能之間的關(guān)系Fig.8 Relationships between structural parameters and performance

究其原因，由第2.3節(jié)可知，如圖5所示，工作空間內(nèi)的點，其縱坐標(biāo)Z越小，局部靈巧度LCI越大; 由圖6、 8可知，機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)改變(R增大，r減小，L減小，S0增大)，工作空間均增大，主要是工作空間偏下部分體積增大所致；工作空間逐步偏下，縱坐標(biāo)Z減小，局部靈巧度LCI越大，而偏下部分體積越大，則高的局部靈巧度LCI比例增大，全局靈巧度GCI越大。隨著結(jié)構(gòu)參數(shù)在給定范圍內(nèi)繼續(xù)變化，出現(xiàn)了工作空間最低位置為一個平面的情況，此時工作空間增大變緩，而工作空間偏下部分體積又逐步減小，全局靈巧度開始減小且拐點之后工作空間體積和全局靈巧度不再呈正相關(guān)。

在參數(shù)優(yōu)化時，確保機(jī)構(gòu)在每組結(jié)構(gòu)參數(shù)下的工作空間最低位置是一個點，即可保證工作空間體積和全局靈巧度正相關(guān)，此時只需將工作空間體積作為優(yōu)化目標(biāo)，就可得到工作空間大、全局靈巧性好的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

3.2 優(yōu)化模型

工作空間體積V作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，可由式(15)計算得到。選取機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)為設(shè)計變量。為了參數(shù)優(yōu)化的標(biāo)準(zhǔn)化和普適性[23]，取導(dǎo)軌長度為固定值S0=200 mm，其他設(shè)計變量變化范圍如式(19)所示，則優(yōu)化模型為

(19)

3.3 優(yōu)化結(jié)果

采用粒子群算法求解上述優(yōu)化問題。該算法中，粒子擁有記憶功能會記錄自身最優(yōu)位置，受到自身經(jīng)驗的引導(dǎo)，同時基于信息共享機(jī)制受到群體經(jīng)驗的影響，使得粒子同時具有向自身最優(yōu)位置和全局最優(yōu)位置逼近的趨勢，具有較好的全局搜索能力和收斂速度[24]。粒子群算法的控制參數(shù)設(shè)置為：種群規(guī)模40，最大迭代次數(shù)80，學(xué)習(xí)因子1和2都取1.5，慣性權(quán)重為0.4～0.8。結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計的圓整結(jié)果如表3所示，其中解1和解2為挑選的局部最優(yōu)解，解3為全局最優(yōu)解。

3個解所對應(yīng)的工作空間投影圖如圖9所示，可知工作空間體積增大主要是由于豎直Z方向的可達(dá)范圍增加。3個解所對應(yīng)的靈巧度分布如圖10所示，可知同比例的工作空間高度Z所對應(yīng)的靈巧度亦增大。由表3可知，隨著工作空間體積增大，全局靈巧度也增大，驗證了工作空間體積和全局靈巧度正相關(guān)的結(jié)論以及優(yōu)化模型的正確性和有效性。

表3 優(yōu)化結(jié)果對比Tab.3 Comparison of optimization results

圖9 優(yōu)化結(jié)果對應(yīng)的工作空間投影圖Fig.9 Workspace projection maps of optimization results

解3對應(yīng)的機(jī)構(gòu)三維模型如圖11所示。3個解的共同點是動平臺上每組的兩個球鉸副之間的距離等于每組的兩條直線導(dǎo)軌之間的距離，即滿足2rsin(θa/2)=2Rsin(θb/2)。

綜上所述，結(jié)合優(yōu)化結(jié)果可得出平面平臺型6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計原則。首先，按照構(gòu)型 Ⅲ 布置直線導(dǎo)軌，具體為2-2-2分為3組，呈120°對稱分布，每組的兩條導(dǎo)軌相互平行；然后，由實際應(yīng)用需求決定導(dǎo)軌長度S0，需獲得較大工作空間，則選用較大導(dǎo)軌末端布置圓周半徑R和較小的動平臺球鉸副布置圓周半徑r；通過調(diào)整連桿長度L，來使工作空間最低位置為一點，即動平臺在最低位置時，球鉸副轉(zhuǎn)角小于最大轉(zhuǎn)角；通過調(diào)整每組動平臺球鉸副夾角θa和每組導(dǎo)軌末端夾角θb，來滿足2rsin(θa/2)=2Rsin(θb/2)，即可得到運動性能優(yōu)越的平面平臺型6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)。本文為平面平臺型6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計提供了依據(jù)。

圖10 結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果所對應(yīng)的靈巧度分布Fig.10 Distributions of dexterity of optimization results

圖11 最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)對應(yīng)的三維模型Fig.11 3D model correspond to optimal structural parameters

3.4 誤差分析

由于零件制造和機(jī)構(gòu)裝配水平的限制，實際結(jié)構(gòu)參數(shù)與理論結(jié)構(gòu)參數(shù)不可避免地存在誤差[25]。并聯(lián)機(jī)構(gòu)誤差來源有驅(qū)動誤差、間隙誤差、變形誤差等。本文主要研究結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差，如驅(qū)動副安裝位置誤差δRi、δθb、桿長誤差δli、動平臺球鉸副安裝位置誤差δri、δθa。

由式(11)可知，任意一條支鏈有5項結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差，共有30項結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差，數(shù)量較多且不易同時進(jìn)行分析，所以本文將研究單條支鏈上單項誤差對機(jī)構(gòu)末端位姿誤差的影響，設(shè)長度誤差為0.2 mm、角度誤差為1°，取機(jī)構(gòu)在工作空間內(nèi)代表機(jī)構(gòu)升降、平移、俯仰、偏航等運動的幾個位姿點，應(yīng)用Matlab進(jìn)行仿真計算，結(jié)果如表4所示。

表4 單支鏈上單項誤差對機(jī)構(gòu)末端位姿誤差的影響Tab.4 Influence of structural parameter error on pose error of mechanism end

由表4可知，桿長誤差和上、下球鉸副中心位置誤差都是影響機(jī)構(gòu)末端位姿誤差的主要因素。不同位姿點對結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差的敏感度不一樣，但總的來說，桿長誤差δli對機(jī)構(gòu)末端位姿誤差的影響大于導(dǎo)軌末端布置圓周半徑誤差δRi的影響大于動平臺球鉸副布置圓周半徑δri的影響。

4 結(jié)論

(1)針對4種典型的平面平臺型6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型，根據(jù)坐標(biāo)變換及機(jī)構(gòu)幾何關(guān)系，建立了運動學(xué)逆解模型，通過剛體速度投影定理，推導(dǎo)了機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣，通過矢量微分法建立了誤差模型，并采用ADAMS仿真，驗證了運動學(xué)模型的正確性。

(2)繪制了4種構(gòu)型的平面平臺型6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間圖和靈巧度分布圖，求解了工作空間體積V和全局靈巧度GCI，經(jīng)過對比分析得出構(gòu)型Ⅲ的性能最優(yōu)。

(3)分析了構(gòu)型Ⅲ的結(jié)構(gòu)參數(shù)對其工作空間和靈巧性的影響規(guī)律，結(jié)果表明在一定的結(jié)構(gòu)參數(shù)范圍內(nèi)，工作空間體積和全局靈巧度正相關(guān)。

(4)以工作空間體積為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，以機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)為設(shè)計變量，通過粒子群優(yōu)化算法求解，得到了最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)，并與其他局部最優(yōu)解結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行對比，驗證了優(yōu)化結(jié)果的正確性，并對優(yōu)化后的機(jī)構(gòu)進(jìn)行了誤差分析，為平面平臺型6-PSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計提供了依據(jù)。