基于圖論的多桿式栽植機構(gòu)構(gòu)型綜合與方法研究

孫 良 鄭廣輝 葉治政 俞高紅

(1.浙江理工大學(xué)機械與自動控制學(xué)院， 杭州 310018； 2.浙江省種植裝備技術(shù)重點實驗室， 杭州 310018)

0 引言

栽植機構(gòu)是移栽機械的核心工作部件[1]。不同的栽植方式往往需要配置合適的栽植機構(gòu)，而農(nóng)作物復(fù)雜多樣化的農(nóng)藝要求對低成本、個性化栽植機構(gòu)的創(chuàng)新設(shè)計提出了挑戰(zhàn)。因此，開展栽植機構(gòu)數(shù)字化設(shè)計與綜合研究，對探索發(fā)現(xiàn)更多具有優(yōu)異作業(yè)性能的栽植機構(gòu)構(gòu)型具有重要意義。

多連桿栽植機構(gòu)由于具有結(jié)構(gòu)簡單、可實現(xiàn)作業(yè)軌跡豐富等優(yōu)勢，目前廣泛應(yīng)用于水旱田栽植機械中。現(xiàn)有的多連桿栽植機構(gòu)存在不同構(gòu)件數(shù)下的多種構(gòu)型。四桿機構(gòu)是能滿足植苗運動的最簡單機構(gòu)，唐賓等[2]針對曲柄搖桿式分插機構(gòu)[3]運動慣性大、高速作業(yè)受限等缺點進(jìn)行動力學(xué)分析，經(jīng)過優(yōu)化改進(jìn)，提高了插秧的工作效率。何小晶等[4]對雙曲柄五桿栽植機構(gòu)進(jìn)行了運動學(xué)分析，通過人機交互的方式，探究各連桿長度對植苗軌跡的影響，得到一組運動軌跡與姿態(tài)良好的栽植機構(gòu)。金鑫等[5]添加凸輪構(gòu)件，設(shè)計了一種凸輪-六桿式機構(gòu)，用于導(dǎo)苗管式移栽機，保證了移栽過程中植苗的垂直姿態(tài)。日本對半自動蔬菜移栽機進(jìn)行相應(yīng)研究，提出了一種七桿式栽植機構(gòu)。陳建能等[6]對七桿式栽植機構(gòu)進(jìn)行參數(shù)分析與優(yōu)化，得到一種多桿栽植機構(gòu)，有立苗率優(yōu)、加速度及波動范圍小的優(yōu)勢。王斌[7]、鄭士永[8]對多桿開溝式栽植機構(gòu)使用遺傳算法等方式進(jìn)行設(shè)計優(yōu)化，逐步改良了開溝式植苗機構(gòu)。為調(diào)整栽植頻率與整體前進(jìn)速度的關(guān)系，尹文慶等[9]提出一種八連桿栽植驅(qū)動機構(gòu)，該機構(gòu)適合蔬菜苗移栽且栽植情況良好。

綜上可知，在栽植苗方面，不同桿件數(shù)都有其代表的機構(gòu)，但從目前多連桿機構(gòu)的應(yīng)用情況看，栽植機構(gòu)構(gòu)型單一；國內(nèi)學(xué)者更多從現(xiàn)有構(gòu)型的優(yōu)化設(shè)計著手，圍繞尺度層面開展優(yōu)化設(shè)計，但實際研究往往會受到構(gòu)型約束。因此，進(jìn)行栽植機構(gòu)的構(gòu)型綜合研究可探索更多潛在可用的機構(gòu)構(gòu)型，對機構(gòu)的創(chuàng)新設(shè)計至關(guān)重要。

針對以上問題，本文以多連桿栽植機構(gòu)為研究對象，基于圖論和組合優(yōu)化理論，開展適用于栽植作業(yè)的連桿式栽植機構(gòu)自動綜合方法研究，通過對9構(gòu)件內(nèi)的拓?fù)鋱D進(jìn)行相似點識別[10-12]、同構(gòu)判別[13-14]、功能點(機架、輸入與輸出點)選取，得到機構(gòu)功能拓?fù)鋱D；依據(jù)栽植機構(gòu)運動特征，在拓?fù)鋱D層面上提出篩選規(guī)則，得到特定桿件數(shù)下的所有可用構(gòu)型，建成機構(gòu)功能拓?fù)鋱D圖庫。最后，選取西蘭花幼苗栽植的農(nóng)藝要求作為機構(gòu)設(shè)計的約束條件，從某桿件數(shù)下機構(gòu)功能拓?fù)鋱D中挑選一種構(gòu)型，進(jìn)行栽植機構(gòu)參數(shù)調(diào)試并獲得期望軌跡。

1 拓?fù)鋱D構(gòu)型綜合

拓?fù)鋱D是點線組成的對實際物體的抽象圖形，可準(zhǔn)確表示物體內(nèi)組成部分的連接關(guān)系[15]。在機械設(shè)計領(lǐng)域中表示機構(gòu)連接關(guān)系及相關(guān)性質(zhì)的圖稱為運動鏈拓?fù)鋱D。運動鏈拓?fù)鋱D上的點，按照一定的規(guī)律標(biāo)注數(shù)字。其中，單色拓?fù)鋱D實心點代表構(gòu)件，線條代表運動副。圖1a所示單鉸運動鏈對應(yīng)單色拓?fù)鋱D如圖1b所示。

圖1 運動鏈及其對應(yīng)拓?fù)鋱DFig.1 Kinematic chain and its topological graph

1.1 構(gòu)型綜合過程

為獲取運動鏈拓?fù)鋱D，采用胚圖插點法[16-19]綜合不可分離單色運動鏈拓?fù)鋱D?？紤]到多連桿機構(gòu)在栽植機械中的實際應(yīng)用要求，主要開展9構(gòu)件內(nèi)的連桿機構(gòu)運動鏈的綜合研究，且設(shè)定所有構(gòu)件均為連桿，所有運動副均為轉(zhuǎn)動副。

圖2 同構(gòu)的機構(gòu)功能拓?fù)鋱DFig.2 Isomorphic mechanism topological graphs

為實現(xiàn)栽植機構(gòu)的創(chuàng)成，在獲取拓?fù)鋱D后，通過對運動鏈拓?fù)鋱D選取功能點得到9桿內(nèi)所有機構(gòu)功能拓?fù)鋱D[20]，并使用功能點組表示所選取功能點的位置。圖2a所示拓?fù)鋱D功能點組為(1,4,3)。其中第1位數(shù)字表示機架位置點，在拓?fù)鋱D中用實心圓標(biāo)注；第2位數(shù)字表示輸入位置點，在拓?fù)鋱D中用三角形標(biāo)注；第3位數(shù)字表示輸出位置點，在拓?fù)鋱D中用矩形標(biāo)注。在功能點選取過程中，由于受拓?fù)鋱D相似性的影響，存在機構(gòu)功能拓?fù)鋱D同構(gòu)情況。如圖2所示，頂點4與頂點5互為相似點，3種功能點位置均相同或相似，因此，圖2a與圖2b為同構(gòu)機構(gòu)功能拓?fù)鋱D?；橥瑯?gòu)的拓?fù)鋱D，能實現(xiàn)相同的運動效果，需要在拓?fù)鋱D綜合過程中除去。對機構(gòu)功能拓?fù)鋱D進(jìn)行相似點識別與同構(gòu)判別是避免同構(gòu)出現(xiàn)的可行方法之一。

1.2 相似性判別及應(yīng)用

為識別拓?fù)鋱D中的相似點，判別拓?fù)鋱D間的同構(gòu)，提出一種加權(quán)四次冪及加權(quán)最小距離矩陣的方法。為更好地展示相似點識別的過程，以圖3所示七桿式栽植機構(gòu)[21]及對應(yīng)拓?fù)鋱D為例，闡述相似點識別與同構(gòu)判斷的過程。

圖3 七桿式栽植機構(gòu)Fig.3 Transplanting mechanism with seven links

(1)提取拓?fù)鋱D并獲取鄰接矩陣

如果頂點i與頂點j相連，則鄰接矩陣A中，i行j列元素aij與i列j行元素aji為1，即滿足

(1)

則圖3中機構(gòu)的鄰接矩陣為

(2)計算加權(quán)矩陣

在拓?fù)鋱D中，為表征運動副對應(yīng)線條的特征，可在線條邊上賦予數(shù)值，即賦權(quán)[22]，也稱加權(quán)。根據(jù)鄰接矩陣A，可將每個頂點度數(shù)(即與頂點關(guān)聯(lián)邊的數(shù)目)的倒數(shù)作為加權(quán)數(shù)，記為本行(列)的元素，元素為0的位置則保持不變，將元素寫入矩陣對應(yīng)位置中，得到加權(quán)矩陣。該矩陣組成元素滿足

(2)

其中d是i、j兩頂點中最大的點度數(shù)，q表示對元素加權(quán)。由此得到的加權(quán)鄰接矩陣為

(3)獲取加權(quán)四次冪矩陣[23]

計算加權(quán)矩陣的四次冪得到

(4)計算加權(quán)最小距離矩陣

尋找頂點i到達(dá)頂點j所經(jīng)過的最短路徑，并按線條中的賦權(quán)值求和得到最小距離元素，記入矩陣中對應(yīng)位置，得到加權(quán)最小距離矩陣

(5)相似點的判斷規(guī)則

提取上述特征矩陣中每行編碼組成一組行向量，分別進(jìn)行降序排列，得到對頂點的兩種特征碼。特征碼表征點在圖中的固定位置、連接關(guān)系。如果同一拓?fù)鋱D中兩點代表的四次冪特征碼與最小距離特征碼都相同，則兩個點互為相似點，反之，則不是相似點。

例如，為識別頂點1與2和頂點1與3的相似性，分別取加權(quán)四次冪矩陣與加權(quán)最小距離矩陣第1行、第2行與第3行；均降序排列后，得到頂點1、2、3的兩種特征碼，如表1所示。

表1 3個頂點的特征碼Tab.1 Feature codes of three vertices

對比發(fā)現(xiàn)，頂點1與2的特征碼相同，頂點1與3特征碼不同，因此，頂點1與2相似，頂點1與3不相似。同樣，對全部特征碼依次對比之后，整理歸納出拓?fù)鋱D中所有點的相似信息并組成相似點集。如圖3中拓?fù)鋱D相似點集為：{[1,2];[3,4,6,7];[5]}。

除頂點相似外，在構(gòu)型綜合過程中，存在大量拓?fù)鋱D同構(gòu)問題。如圖4，3個拓?fù)鋱D標(biāo)號或形狀不同，但圖4a中每個頂點都可在圖4b、4c中找出與之對應(yīng)的點，3個拓?fù)鋱D互為同構(gòu)。同構(gòu)是圖與圖之間的性質(zhì)相同，而相似點是圖中點與點的性質(zhì)相同，兩者有一定的聯(lián)系，因此，依據(jù)相似點的識別方式可以判斷拓?fù)鋱D之間的同構(gòu)。同構(gòu)判別的過程是將特征矩陣每行中的元素降序排列之后，再進(jìn)行行間降序排列[24]。將變形后拓?fù)鋱D的特征碼矩陣進(jìn)行對比，矩陣相同即為同構(gòu)，反之為異構(gòu)。

圖4 同構(gòu)的拓?fù)鋱DFig.4 Isomorphic topological graphs

2 拓?fù)鋱D構(gòu)型篩選

拓?fù)鋱D中功能點的合理選取是機構(gòu)創(chuàng)成的關(guān)鍵，為避免因功能點選取而出現(xiàn)基本環(huán)中過約束等問題，建立機構(gòu)篩選規(guī)則，以刪除此類不合理構(gòu)型。

2.1 篩選規(guī)則

通過構(gòu)型分析總結(jié)，得到拓?fù)鋱D層面上的篩選規(guī)則：

(1)每個基本環(huán)中的自由度F必須小于輸入構(gòu)件數(shù)r，即存在某基本環(huán)中F

圖5 過約束的機構(gòu)功能拓?fù)鋱DFig.5 Overconstrained mechanism topological graph

圖6 機構(gòu)功能拓?fù)鋱D及對應(yīng)機構(gòu)運動簡圖Fig.6 Mechanism topological graph and corresponding kinematic sketch of mechanism

(2)當(dāng)基本環(huán)中自由度F等于輸入桿件數(shù)r時，則不得同時包含機架位置點、輸入位置點與輸出位置點3種功能點；否則其他環(huán)中構(gòu)件不能對輸出桿運動產(chǎn)生影響，此類構(gòu)件重復(fù)多余，機構(gòu)不合理。如圖6a所示，當(dāng)5、6為輸入位置點時，在環(huán)1-6-3-2-5-1中自由度等于輸入構(gòu)件數(shù)，環(huán)內(nèi)形成獨立運動。若3作為輸出桿時，環(huán)內(nèi)包含3種功能點，使得桿4與桿7對輸出桿的運動不產(chǎn)生影響，此類構(gòu)型應(yīng)當(dāng)去除。

(3)為保證輸出桿上軌跡不為單一嚴(yán)格的圓形，拓?fù)鋱D中機架位置點與輸出位置點的距離必須大于1；機架位置點與輸入位置點距離必須等于1。如圖7所示，機架位置點為1，輸出位置點為7時，無論最終植苗點在輸出桿上的位置如何改變，靜軌跡只能形成機架為圓心的圓或圓弧。

圖7 未滿足功能點位置要求的機構(gòu)功能拓?fù)鋱DFig.7 Mechanism topological graphs that cannot meet functional point location requirements

2.2 機構(gòu)功能拓?fù)鋱D篩選

將篩選規(guī)則應(yīng)用于機構(gòu)功能拓?fù)鋱D的創(chuàng)成中，并依據(jù)提出的相似點識別方式，將拓?fù)鋱D頂點的相似關(guān)系應(yīng)用到機構(gòu)功能拓?fù)鋱D繪圖過程中。具體需要進(jìn)行3次相似性的判斷，當(dāng)鄰接矩陣導(dǎo)入計算機之后，首先判斷相似點，選擇相似點組中的第一個元素(頂點)作為機架位置點，并將鄰接矩陣對應(yīng)位置元素標(biāo)記為2。由于篩選規(guī)則中機架與輸入桿之間位置關(guān)系的限制，要劃定當(dāng)前與機架位置點距離為1的點，作為可選輸入點。

由于二自由度機構(gòu)創(chuàng)成過程中相似點特性變異的影響，會存在如圖8所示九桿二自由度拓?fù)鋱D特例。通過相似點識別得此圖相似點集為{[1];[2,3];[4,5,6,7];[8,9]}，在不考慮環(huán)內(nèi)過約束的情況下，若選取點1作為機架點，按篩選規(guī)則，只能在[4,5,6,7]中選取2個頂點作為一種輸入組合，如選頂點4、7為輸入點。但實際上，頂點1作為機架位置點時，存在4、7與4、6兩組不相似的輸入組合。因此，對于多自由度構(gòu)型，只進(jìn)行相似點識別會出現(xiàn)輸入點組合漏選情況。

圖8 相似點特例Fig.8 Special case of similar vertices

為避免上述問題的出現(xiàn)，在綜合過程中，選取輸入位置點時，采取先選點、后同構(gòu)判別的策略。即先對所有輸入組合對應(yīng)構(gòu)型進(jìn)行標(biāo)記，之后對所有構(gòu)型進(jìn)行同構(gòu)判別，篩選掉同構(gòu)構(gòu)型，得到可行輸入組合。經(jīng)程序?qū)嵺`驗證，此方法可有效避免以上錯誤情況的出現(xiàn)。

同理，對已標(biāo)記機架與輸入位置點的構(gòu)型識別相似點并選取輸出點位置。對應(yīng)整理3種功能點位置，組成功能點組。其中，多自由度構(gòu)型中，中間位置數(shù)字表示多輸入位置點序號。如圖7所示七桿二自由度構(gòu)型中，功能點組合為(1,5,6,7)，其中點1為機架位置點，點5、6為雙輸入位置點，點7為輸出位置點。機構(gòu)功能拓?fù)鋱D篩選流程圖如圖9所示。

圖9 機構(gòu)功能拓?fù)鋱D篩選流程圖Fig.9 Flow chart of screening mechanism topological graph

2.3 機構(gòu)創(chuàng)新構(gòu)型選取

經(jīng)過上述篩選過程，得到機構(gòu)功能拓?fù)鋱D圖庫。為驗證篩選構(gòu)型的正確性，以七桿二自由度機構(gòu)為例，進(jìn)行栽植苗機構(gòu)的創(chuàng)新設(shè)計。列舉所有七桿二自由度構(gòu)型，共得出14組篩選結(jié)果。在該類新機構(gòu)的分析中選取一種與日本井關(guān)半自動蔬菜移栽機構(gòu)(圖10a)不同的構(gòu)型，即圖10b所示機構(gòu)功能拓?fù)鋱D。9桿內(nèi)機構(gòu)功能拓?fù)鋱D篩選結(jié)果如表2所示。

3 栽植機構(gòu)應(yīng)用實例

使用選取的七桿二自由度構(gòu)型，對其中構(gòu)件賦予長度，得到末端輸出位置的軌跡，調(diào)整桿長等條件達(dá)到植苗要求。理論上，得到的所有構(gòu)型均可調(diào)整得到可行軌跡。但由于拓?fù)鋱D不展示桿件長度等信息，在轉(zhuǎn)換為實際機構(gòu)過程中，機構(gòu)可能會存在回路缺陷。因此為驗證機構(gòu)功能拓?fù)鋱D的可用性，本文在6、7、8桿構(gòu)型庫中各選取一種篩選結(jié)果，進(jìn)行實例分析。

圖10 兩種七桿二自由度構(gòu)型篩選結(jié)果Fig.10 Two seven-link two-DOF screen results

表2 9桿內(nèi)機構(gòu)功能拓?fù)鋱D篩選結(jié)果Tab.2 Screen results of mechanism topological graph in 9-link

以西蘭花幼苗作為栽植對象，進(jìn)行栽植苗機構(gòu)設(shè)計。為滿足有效零速投苗[25]與作物大株距植苗運動軌跡參數(shù)需求[26-28]，現(xiàn)規(guī)定基本的園藝要求：株距設(shè)定為450 mm；植苗深度不小于30 mm；夾嘴植苗位置進(jìn)入地面和離開地面與前進(jìn)方向地面夾角至少保證在70°～110°之間；夾嘴植苗最低點與前進(jìn)方向地面夾角在80°～100°之間。

3.1 機構(gòu)運動學(xué)分析與模型建立

以七桿二自由度機構(gòu)為例，闡述構(gòu)型轉(zhuǎn)換為機構(gòu)的方法與過程。為方便運動學(xué)分析，將機構(gòu)簡圖中相關(guān)參數(shù)說明列于表3中。

表3 機構(gòu)簡圖相關(guān)參數(shù)說明Tab.3 Parameters description of mechanism diagram

圖11為圖10b所對應(yīng)的七桿二自由度機構(gòu)簡圖。建立如圖所示平面參考系，設(shè)構(gòu)件1和5為機構(gòu)輸入構(gòu)件，且具有相同速度(大小和方向)。

圖11 機構(gòu)運動簡圖Fig.11 Kinematic sketch of mechanism

依據(jù)機構(gòu)運動簡圖，初步建立基本環(huán)矢量方程

LOA+LAC=LOE+LED+LDC

(3)

LOA+LAG=LOB+LBF+LFG

(4)

將矢量方程轉(zhuǎn)化為解析式形式

(5)

(6)

列出栽植點J靜軌跡方程為

(7)

3.2 新型機構(gòu)參數(shù)與仿真結(jié)果

基于上述運動學(xué)模型，編寫輔助設(shè)計程序[29-31]，優(yōu)化獲得新型七桿二自由度栽植機構(gòu)參數(shù)如下：LOA=75 mm,θ1=40°,L5=54 mm,θ5=50°,LAC=75 mm,LOB=56 mm,L6=93.5 mm,L4=56 mm,LAG=128.1 mm,L3=63.1 mm,LIJ=200 mm,θIJ=300°,LHI=240 mm,θHI=230°,α=0°,β=169.1°,XE=44.9 mm,YE=-27.7 mm,n=1 r/s,h=450 mm。

上述參數(shù)對應(yīng)機構(gòu)靜、動軌跡如圖12所示。

圖12 七桿栽植機構(gòu)理論軌跡Fig.12 Seven-link theoretical result

該機構(gòu)株距h=450 mm；前進(jìn)方向地面與夾嘴植苗最低點夾角α1=88°；前進(jìn)方向與夾嘴植苗入土點夾角α2=83.1°；與出土點夾角α3=85.3°；植苗最低點與地面距離，即植苗深度l=32 mm，基本滿足西蘭花植苗所需園藝要求。圖13所示為機構(gòu)仿真軌跡，其與理論軌跡一致，進(jìn)一步驗證了機構(gòu)設(shè)計的正確性。

圖13 七桿栽植機構(gòu)仿真軌跡Fig.13 Simulation result of seven-link planting mechanism

同樣，對六桿一自由度機構(gòu)及八桿一自由度進(jìn)行綜合，并各選一種構(gòu)型進(jìn)行栽植機構(gòu)運動學(xué)建模與仿真分析，結(jié)果如圖14、15所示。其中，株距均為450 mm；距離植苗最低點均為32 mm；其他運動參數(shù)均滿足西蘭花幼苗植苗的園藝要求。

圖14 六桿機構(gòu)理論與仿真軌跡Fig.14 Six-link theoretical result and simulation result

4 結(jié)論

(1)為使栽植機構(gòu)設(shè)計滿足復(fù)雜多樣化農(nóng)藝要求，通過基于相似點識別及特征碼信息的同構(gòu)判別與功能點選取的多連桿機構(gòu)創(chuàng)成方式，綜合并構(gòu)建6至9桿的多連桿機構(gòu)構(gòu)型庫。

(2)結(jié)合機構(gòu)運動要求，建立了拓?fù)鋱D層面機構(gòu)功能拓?fù)鋱D的篩選規(guī)則，并在構(gòu)型庫中篩選出適合于栽植機構(gòu)設(shè)計的六桿一自由度機構(gòu)14個，七桿二自由度機構(gòu)17個，八桿一自由度機構(gòu)510個，九桿二自由度機構(gòu)917個。

圖15 八桿栽植機構(gòu)理論與仿真軌跡Fig.15 Eight-link theoretical result and simulation result

(3)依據(jù)西蘭花幼苗栽植農(nóng)藝要求，在機構(gòu)功能拓?fù)鋱D圖庫中選擇3種不同于現(xiàn)存機構(gòu)的構(gòu)型。通過運動學(xué)建模及參數(shù)優(yōu)選，得到符合期望要求的運動軌跡，驗證了栽植機構(gòu)構(gòu)型綜合方法的正確性。